Лекция №3

Линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним с двумя параметрами и одним неизвестным

Уравнение вида ах=b, где х – переменная, а и b  некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной и двумя параметрами.

Определим, сколько корней  может иметь данный вид уравнений.

1. Если а≠0, b – любое число, то уравнение имеет единственный корень

Причем, х0, если a и b одинакового знака

                х0, если а и b  разных знаков

                х=0, если b=0.

2. Если а=0, то при b≠0 уравнение не имеет корней;

                      при  b=0 уравнение имеет  бесконечное множество корней.

Рассмотрим решения уравнений данного вида.

Пример№1   Решите уравнение (а-4)у=9-b

Решение:

Если а=4, b=9, то уравнение имеет бесконечное множество решений

Если а=4, b≠9, то уравнение не имеет корней

Если а≠2, b – любое число, то уравнение имеет единственный корень

Ответ: при а=4, b=9, то уравнение имеет бесконечное множество решений;

при а=4, b≠9, то уравнение не имеет корней; при а≠2, b – любое число, то  .

Пример №2  Решите уравнение  асх-с=а-3сх, где а и с – параметры.

Решение:

асх+3сх=а+с

с(а+3)х=а+с

ДЗП – любые числа.

Если с(а+3)=0 и а+с≠0, то уравнение не имеет корней

Объединим условия отсутствия корней в систему  

Система равносильна совокупности двух систем:  

Значит уравнение не имеет корней, если

1. с=0, а≠0
2. а=-3, с≠3.

Если с(а+3)≠0  (с≠0, а≠-3), то уравнение имеет один корень   х=

Если то уравнение имеет бесконечное множество решений. Система равносильна совокупности двух систем:

→

Ответ: при с=0 и а≠0; а=-3, с≠3, уравнение не имеет корней;

при с≠0 и а≠-3,   х= ;

при с=0 и а=0; а=-3 и с=3, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Пример №3  Решите уравнение:  4m-ny=1

Решение:  

ДЗП – любые числа

ny=4m-1

Если n=0 и  m=0,25, то уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если n=0  и  m≠0,25, то уравнение не имеет корней.

Если n≠0 и m – любое число, то .

Ответ: при n=0 и  m=0,25, то уравнение имеет бесконечное множество решений; при  n=0  и  m≠0,25, то уравнение не имеет корней; при  n≠0 и m – любое число, то .

Пример №4 Решите уравнение: (а+с)х=а+с

Решение:

ДЗП – любые числа

Если а+с=0 (а=-с), то уравнение имеет бесконечное множество решений

Если а+с≠0 (а≠-с), то х=1

Ответ: при а=-с,  уравнение имеет бесконечное множество решений;           при а≠-с,  х=1.

Пример №5 Решите уравнение: 5ах-10а=4сх-8с

Решение:

5а2 х-4асх=10а-8с

а(5а-4с)х=2(5а-4с)

ДЗП – любые числа.

Если а=0 и 5а-4с≠0, то уравнение не имеет корней

Объединим условия отсутствия корней в систему  →

Значит уравнение не имеет корней, если а=0 и с≠0

Если а≠0 и 5а-4с≠0 (с≠1,25а), то уравнение имеет  корень   х=

Если →то уравнение имеет бесконечное множество решений.

Возможен еще один случай, когда уравнение имеет бесконечное множество корней: а≠0 и 5а-4с=0. То есть а≠0 и с=1,25а.

Ответ: при а=0 и с≠0 уравнение не имеет корней;

при а≠0 и с≠1,25а,   х= ; при а=0 и с=0; а=0 и с=1,25а, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Пример №6  Решите уравнение: 5с2х+2сх+2ах-а=с+5а2х

Решение:

5с2х+2сх+2ах-5а2х=с+а

5(с2-а2)х+2(с+а)х=с+а

5(с-а)(с+а)х+2(с+а)х=с+а

(с+а)(5с-5а+2)х=с+а

Если с+а=0  (с=-а), то уравнение имеет бесконечное множество решений

Если с+а≠0 (с≠-а) и 5с-5а+2≠0, то уравнение имеет единственный корень

Если с+а≠0 и 5с-5а+2=0, то уравнение не имеет корней.

Ответ: при с=-а,  уравнение имеет бесконечное множество решений;

при с≠-а и 5с-5а+2≠0,  ; при с≠-а и 5с-5а+2=0, уравнение не имеет корней.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1. 3а+сх=2
2. ах-3=b
3. (а-с)у=а-с
4. 5=а-(сх-1)
5. ах-6с=3а-2сх
6. 3а2х-ах-с-3с2х=а+сх