Лекция №1

Лекция №1.

Введение. Основные понятия.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a,b,c – любые действительные числа, причём  , а так же а – первый или старший коэффициент, b – второй коэффициент, или коэффициент при х,  с – свободный член. 

Задание: заполните пропуски.

Запишите квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен – 4,2, свободный член  3,1, второй коэффициент 0, переменная обозначена буквой m.

Решение. Квадратное уравнение – это уравнение вида    где  коэффициенты  a,b,c - _________.

                                                                                                                                                                                            (числа; переменные)

          Число  а …0 называют первым или _______________ коэффициентом, b - _______________ коэффициент, с - ____________ член. По условию,  а = …, b = …, c = … .

         Ответ.   

Задание.

Составьте квадратное уравнение, у которого:

1. старший коэффициент равен 8, а коэффициент при х равен 5, свободный член равен 1;
2. старший коэффициент равен – 12 , коэффициент при х равен 3;
3. старший коэффициент равен 1, свободный член равен 4;
4. старший коэффициент равен 9, коэффициент при х равен – 2 , свободный член равен 3.

Ответ. 

Задание.

Используйте тренажёр  для определения коэффициентов в квадратном уравнении  (Определение коэффициентов: автор программы Кривоногов В.В.)

Если а = 1, то квадратное уравнение называется приведённым; если старший коэффициент отличен от 1, то квадратное уравнение называется неприведённым.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых, т.е. уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов  b, c равен 0.  Обратите внимание:  о   речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Задание:

Составьте квадратное уравнение, которое является:

1. полным и приведённым;
2. полным и неприведённым;
3. неполным и приведённым;
4. неполным и неприведённым.

Корнем квадратного уравнения  ax2 + bx + c = 0  называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трёхчлен ax2 + bx + c обращается в нуль; такое значение переменной х  называют также корнем квадратного трёхчлена.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Неполные квадратные уравнения и их решение

Примеры с решениями

Решить неполные квадратные уравнения:

а)    б) ;  в)  

        Решение. а) Имеем ; х(2х - 7) = 0.  Поэтому либо х = 0, либо 2х -7 =0, откуда х =3,5. Итак, уравнение имеет два корня:  0 и 3,5.

б)  Имеем  ;  - х (х - 5) = 0.  Уравнение имеет два корня: 0 и 5.

в)  Имеем   Получаем, что    Допускается более экономная запись:

г) Имеем    = 7; = 3,5. Уравнение имеет два корня:   И в этом случае можно записать короче:

д) Имеем  = - 10. Так как выражение   неотрицательно при любых значениях х, то уравнение

 = - 10  не имеет корней. Иными словами, нет ни одного числа, подстановка которого вместо переменной х  обратила бы это уравнение в верное числовое равенство. Иногда в таких случаях уточняют: нет действительных корней.

е)  Если , то откуда находим х =0 – единственный корень уравнения.

Тренировочные упражнения.

Решите уравнение:

1.   2)     3)     4)  

 5)   ;  8) ;  9)

      11)  

Ответ:1) 0 и -5; 2) 0 и 4,5; 3) 0 и 12; 4) 0 и  5) 0 и  8; 6) 0 и 3; 7) 3 и  - 3; 8) 0 и 19; 9) 5 и – 5; 10)    11)

12) корней нет; 13) 0; 14) корней нет.