Лекция №2

Опубликовано 05.11.2011 - 12:31 - Петрова Светлана Владимировна

Формулы корней квадратного уравнения.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл lekciya_2.docx60.24 КБ

Предварительный просмотр:

Лекция №2.

Формулы корней квадратного уравнения.

Получение формулы для решения

Формулу можно получить следующим образом:

ax2 + bx + c = 0,
ax2 + bx = − c,

Умножаем каждую часть на 4a и прибавляем b2:
4a2x2 + 4abx + b2 = − 4ac + b2
(2ax + b)2 = − 4ac + b2
2ax + b = \pm\sqrt{-4ac + b^2}  ,       итак, x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};

Правило (алгоритм) решения уравнения

 ax2 + bx + c = 0:

Квадратное уравнение с действительными коэффициентами a,~b,~cможет иметь от 0 до 2 корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac:

  • при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};       (1)

  • при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

x = \frac{-b}{2a};

  • при D < 0, квадратное уравнение  ax2 + bx + c = 0  корней не имеет.

Задание: заполните пропуски.

Решить квадратное уравнение – значит найти все _______________________ квадратного уравнения или  установить, что корней _________________ .

   

       Формула, по которой могут быть найдены корни квадратного уравнения :

                                     , где D =    или  

Если D > 0, то уравнение имеет __________________________________________________________________ .

Если D < 0, то уравнение имеет___________________________________________________________________ .

Если D = 0, то уравнение ________________________________________________________________________ .

Примеры с решениями.

  1. Решить уравнение  

Решение. Здесь а = 2, b = 4, c = 7,    Так как дискриминант отрицательный , то данное квадратное уравнение не имеет корней.

                  2.   Решить уравнение

Решение.  Здесь a = 4, b = - 20, c = 25,  Так как дискриминант равен 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

  1. Решить уравнение

           Решение.  Здесь a = 3, b = 8, c = - 11,  . Так как дискриминант положителен, то данное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (1)

             Ответ: 1;

   

 Задание.

Используйте тренажёр  для решения квадратных   уравнений  (Решение квадратных уравнений по формулам: автор программы Кривоногов В.В.)

Тренировочные упражнения.

  1. Найдите дискриминант квадратного уравнения:  а)   б)   в)

  1. Определите число корней уравнения: а)    б)    в)  

  1. Решите уравнение:  а)    б)     в)  

Ответы:  1. а)  49; б)  -6,31; в)  65.  2. а) 2 корня;  б) 1 корень; в) 1 корень.  3. а)  - 6 и 0,8;  б) 10 и 6; в)  25 и 1.