Лекция №3

Лекция №3.

Рациональные уравнения.

Рациональное выражение  -  алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х  с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.  Если r(x) – рациональное выражение, то уравнение r(x) = 0 называют рациональным уравнением.

Алгоритм решения рационального уравнения

1. Перенести все члены уравнения в одну часть.
2. Преобразовать  эту часть уравнения к виду алгебраической дроби
3. Решить уравнение p(x) = 0.
4. Для каждого корня уравнения p(x) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x)0 или нет. Если да, то это – корень заданного уравнения; если нет, то это – посторонний корень и в ответ его включать не следует.

Пример с решением.

Решить уравнение  

Решение.  Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Преобразуем уравнение к виду
2. Выполним преобразования левой части этого уравнения:  (одновременно изменили знаки в числители и знаменателе дроби). Таким образом, заданное уравнение принимает вид
3. Решим уравнение   Находим   
4. Для найденных значений проверим  выполнение условия 2х (х - 2) 0. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 – нет. Значит, 4 – корень заданного уравнения, а 2 – посторонний корень.

Ответ: 4.

Тренировочные упражнения.

Решить уравнение:

1.     б)         в)      г)      д)  

Ответы:  а) – 4 и 0; б) 3 и – 1; в) – 3 и 3;  г)  - 1 и 2; д)  5.

Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной.

Уравнение вида  ax4 + bx2 + c = 0   называют биквадратным.

Любое биквадратное уравнение решается с помощью следующего алгоритма:

• Вводят новую переменную  ;
• Решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у;
• Затем возвращаются к переменной х и решают уравнение относительно неё.

Пример с решением.

Решить уравнение 

Решение. Введём новую переменную . Так как то заданное уравнение можно переписать в виде  Это -  квадратное уравнение, корни которого найдём, используя известные формулы: получим     Но , значит, задача свелась к решению двух уравнений:  Из первого уравнения находим , а второе уравнение не имеет корней.

              Ответ:  

            Задание: заполните пропуски.

Решите уравнение  

Решение. Переменная входит в уравнение в ____________ степени и во второй степени. Такое уравнение называется  _______________________.  Чтобы его решить,  ___________________ переменной обозначают

                                                                                                        (четвёртую степень; квадрат)

новой буквой и решают получившееся _______________________________ уравнение.

                                                                         (квадратное; биквадратное)

Обозначим  …. буквой р. Получим уравнение    D =   Поскольку D …. 0, уравнение имеет    ______________________:  

                       (сколько корней)

    и          

Так как буквой p обозначено выражение ______  , то получим два уравнения: =____ и   = ___ .

Уравнение   = -2 _______________________ . Уравнение  _______________________ :

                                          (имеет корни; не имеет корней)                                        (имеет корни; не имеет корней)    

    Ответ: _____________.                                

Тренировочные упражнения.

Решите уравнение:

а)      б)   в)     г)     

Ответы: а)  - 1  и 1;   б)  - 1  и 1;     в)  - 2 и 1;  г)  - 5;  0 и 5.