Лекция №4

Лекция №4.

Рациональные уравнения  как математические модели реальных ситуаций.

                       Рациональные уравнения служат математическими моделями реальных жизненных ситуаций. Конечно, рассматриваемые ситуации в задачах несколько бывают идеализированными: вряд ли в жизни транспортные средства проходят весь путь с постоянной скоростью. На такую идеализацию математики идут сознательно.

Алгоритм рассуждений в решении задач:

• Составление математической модели;
• Работа с составленной моделью;
• Ответ на вопрос задачи.

            Ключевым этапом в решении задач является составление математической модели,  так как здесь осуществляется перевод условия задачи с обыденного языка на математический, т.е. выполняется серьёзная творческая работа.

         На этапе работы с составленной моделью проводится чисто техническая работа, действия по алгоритму решения рациональных уравнений.

Изучите решение следующей задачи.

Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 2км/ч?

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, тогда по течению реки она плывёт со скоростью (х + 2)км/ч,  а против течения – со скоростью (х - 2)км/ч. По течению реки, т.е. со скоростью (х + 2)км/ч, лодка прошла путь 10 км. Значит, время, затраченное на этот путь выражается формулой ч. Против течения реки, т.е. со скоростью (х - 2)км/ч, лодка прошла путь 6 км. Следовательно, время, затраченное на этот путь выражается формулой ч.

     По условию задачи на весь путь (т.е. на 10 км по течению 6 км против течения) суммарно затрачено 2ч. Итак, получаем +=2.  Это уравнение – математическая модель.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

  Имеем + - 2 = 0.  Выполним преобразования левой части уравнения:

Теперь заданное уравнение можно переписать в виде    Первое условие равенства дроби нулю приводит к уравнению 2х(8 - х) = 0, откуда получаем 2х = 0 или 8 – х = 0, т.е. х = 0 или х = 8.

Третий этап.  Ответ на вопрос задачи.

Нужно выяснить, чему равна собственная  скорость лодки, т.е. чему равно значение х?  Мы получили, что либо х = 0, либо х = 8. Первое значение нас явно не устраивает: собственная скорость лодки не может быть равной 0 км/ч. Второе значение правдоподобно и нас устраивает.

Ответ: собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

 Задание. Заполните пропуски.

На станции М, в середине пути  между станциями А и В, поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прибыть в  В по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на 12 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями – 120 км.

Решение.  Первый этап. Составление  ________________________________________________________.

Обозначим ___________________________________ величину буквой. В задаче надо найти ___________   

                                                  (известную; неизвестную)

       Поэтому вводим обозначение:

____  км/ч – скорость  поезда на участке от __ до __.  Чтобы выразить те величины, о которых говорится в условии, через букву,  которой  обозначено неизвестное, и известные величины, удобно читать ______________ задачи и записывать в виде выражений все встречающиеся в нём утверждения.  Читаем условие  с самого начала.  «На станции М  в середине пути между станциями  А  и В …».  Запомним, что АМ = ______; «… поезд был задержан на 10 мин». Эту информацию ___________________________ пока использовать.

                                            (можно; нельзя)

«Чтобы прибыть в B по расписанию, машинисту пришлось первоначальную  скорость поезда увеличить на 12 км/ч». Эту информацию можно записать в виде буквенного выражения:

   (… + …)км/ч – скорость поезда на перегоне от … до ….

«Найдите первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями  -  120 км». Учитывая, что М является  __________________________ пути, можно записать: …. км – путь АМ;  ….  – путь  МВ. 

    Зная пройденный путь и скорость движения на каждом из перегонов, можно узнать, за какое ______________ пройден этот перегон:ч – время , за которое поезд прошёл путь АМ ;  ч – время , за которое поезд прошёл путь ____ . Остаётся использовать информацию о том, что поезд был задержан на  …. мин. Именно на  столько больше времени затрачено на прохождение пути  ______.  Но  время движения поезда выражено в __________,      а    время

                                                                            (АМ, МВ)                                                                                   (часах, минутах)

задержки  - в  _________________.    Нужно выразить время задержки в ____________________.

                                (часах, минутах)

Так как 1 минута = , 10 минут = ….ч. Это позволяет составить___________________:

             _________________ - _________________ = __________.

Второй этап. Работа с составленной   _____________________.  Перенесём все слагаемые в ______________ часть уравнения и приведём дроби к общему ___________________:

      После приведения подобных членов получим

Устанавливаем, при каких значениях переменной равен 0 __________ дроби: ………………=  0.

Корнями уравнения являются числа …… и …….

Третий этап.  ______________  на вопрос задачи.

Значение   ……. нас не устраивает, так как скорость движения не может быть …………

Ответ. Первоначальная скорость поезда ______ км/ч.

Задание. Решите следующие задачи самостоятельно.

1. Лодочник проплыл 3 км по течению реки и 3 км против течения за то же время, за которое мог бы проплыть плот 4 км по течению. Собственная скорость лодки равна 6 км/ч. Найдите скорость течения.
2. Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд сократил на 1 час время, затрачиваемое им на прохождение пути в 720 км. Найдите первоначальную скорость поезда.
3. Несколько учащихся разделили поровну между собой 360 тетрадей. Если бы учащихся было на 3 меньше, то каждый получил бы дополнительно 6 тетрадей. Сколько было учащихся?

Ответы: 1. 3 км/ч. 2. 80 км/ч. 3. 15 учащихся.

Задание.

Выполните тест.

     1.Решите уравнения: 

                          1)                        2)    

           Ответы: 1) А.1,1;   Б.11;     В.  -11

              2) А.-0,5; -1/3;   Б.10; -0,5;      В.  ½; 1/3

    2.  Докажите, что уравнение не имеет корней:   

                                   .

    3.Катер прошёл 42 км против течения и 27 км по течению, затратив на путь по  течению на 1ч меньше, чем на путь против течения. Какова  скорость катера против течения, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч?

 Ключ к тесту: 1.  1)  В.  2)  В.    2.         корней нет.   3.    21 км/ч.