Главные вкладки

    ВАРИАЦИОННЫЙ ФУНКЦИОНАЛ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

    Кивиревский Иван Анатольевич

    Вариационное исчисление для компактных экстремумов в H1 возник- ло недавно ([1], [2], [3]).

    Начиная с 20–х годов прошлого века и вплоть до настоящего време- ни, основное внимание математиков, исследовавших чрезвычайно важные для приложений вариационные задачи в пространствах Соболева, уделя- лось задачам на абсолютный экстремум и условный абсолютный экстре- мум (см. [4], [5], [6]). Краткий обзор классических условий абсолютного экстремума рассмотрен в п. 2.1. Однако такой подход жестко ограничи- вает класс допустимых интегральных функционалов.

    Глубинные причины отсутствия неабсолютных локальных экстрему- мов у вариационных функционалов в пространствах Соболева были вскрыты в замечательной теореме И.В. Скрыпника ([7]). Теорема утвер- ждает, что основной вариационный функционал


    дважды дифференцируем по Фреше только тогда, когда в окрестности данной точки интегрант чисто квадратичен по y:

     

    f (x, y, y) = P (x, y) + Q(x, y) · y + R(x, y) · (y)2.

    Этот результат исключает (в неквадратичном случае) применение тра- диционных аналитических методов нахождения локального экстремума и по сути свидетельствует об отсутствии неабсолютных локальных экс- тремумов в рассматриваемой ситуации.

    Таким образом, компактные экстремумы в H1 играют примерно ту же роль, что и локальные экстремумы в C1, т.е. локальное вариационное исчисление в H1 превращается в локально компактное исчисление.

    Основной объект, рассмотренный в этом дипломе, — компактные экс- тремумы (или Kэкстремумы) вариационных функционалов в про- странстве Соболева H1 функций одной переменной.

    Диплом построен следующим образом. В первой главе (см. [8], [9]) изложены основы общей теории компактных экстремумов функциона- лов в гильбертовом пространстве. Здесь выясняется, что «K–понятия»

     

     

    (K–экстремумы, K–непрерывность, K–дифференцируемость и т.д.) хо- рошо работают, когда известна удобная система универсальных компак- тов, поглощающих все остальные компакты. В гильбертовом простран- стве такую систему образуют компактные эллипсоиды. Фундаменталь- ную роль играет тот факт, что индуктивный предел шкалы банахо- вых пространств, порожденных K–эллипсоидами, совпадает с исходным гильбертовым пространством. Это позволяет получить K–аналитические условия для K–экстремумов, аналогичные классическим.

    Во второй главе (см. [14], [5], [7]) переходим к вариационным функци- оналам в H1 и рассмотрим их K–аналитические свойства. Базовым здесь является понятие псевдоквадратичного интегранта, допускающего пред- ставление в виде

    f (x, y, y) = P (x, y, y) + Q(x, y, y) · y + R(x, y, y) · (y)2,

    коэффициенты которого ограничены локально по y и глобально по x и y. Такой подход позволяет уйти от традиционных жестких квадратичных оценок интегранта и существенно расширяет класс исследуемых функ- ционалов. Рассмотрены вейерштрассовские псевдоквадратичные классы гладкости W K2(z), W 1K2(z) и W 2K2(z), попадание интегранта в которые гарантируeт, соответственно, K–непрерывность, K–дифференцируемость и повторную K–дифференцируемость Φ(y). При этом классические ана- литические свойства у Φ(y), как правило, отсутствуют (как и следовало ожидать, с учетом теоремы Скрыпника ([7])). Описаны простые доста- точные условия попадания интегранта в вейерштрассовские классы, поз- воляющие легко строить конкретные примеры.

    В третьей главе (см. [12], [17], [18], [14]) рассмотрим ряд классических, как необходимых, так и достаточных условий локального экстремума в C1 обобщен на случай K–экстремума вариационного функционала в H1 (уравнение Эйлера–Лагранжа, условие Лежандра, условие Лежандра– Якоби). В частности, выполнение классических достаточных условий экс- тремума в гладкой точке дает информацию и о негладкой части области реализации экстремума (не входящей в C1). Помимо этого, рассмотрено новое достаточное условие экстремума в терминах гессиана интегранта и подробно изучена обратная задача для уравнения Эйлера–Лагранжа, где ситуация заметно отличается от гладкого случая.

    Скачать:

    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com