Применение интеграла для описания физических процессов

Тема урока: «Применение интеграла для описания физических процессов».

Автор урока; Валова Ольга Викторовна.

Место работы: город Каменка, Пензенская область, МОУ СОШ№2.

Должность: учитель физики-математики.

Предмет: физика

Класс:11

Тема и номер урока в теме:2 урока

Базовый учебник: А.Г.Мордкович, «Алгебра и начала мат. анализа», 10-11 классы, 2015

Цель урока: показать использование интегралов для решения физических задач;

Показать связь математики и физики. Решение практических задач;

Развить навыки применения анализа, синтеза, обобщения, умение  делать выводы, развить сообразительность, наблюдательность;

Формировать уверенность в своих силах, активность, сознательное отношение учебе, умение работать в группах.

Формируемые метапредметные результаты:

1.личностные УУД: осознать  потребность и готовность к  самообразованию, осознавать единство и целостность  окружающего мира, возможности его познаваемости  и объяснимости  на основе  достижений науки (физики и математики).

2. регулятивные УУД: умение развить мотивы и интересы своей познавательной деятельности;

умение осуществлять контроль  своей деятельности в процессе достижения цели.

3. познавательные  УУД: умение выделять главное,

 умение ориентироваться в свей системе знаний и осознавать в необходимости  новых знаний ;

умение создавать, применять  и преобразовывать знаки, символы, модели и схемы для решения учебных задач.

Тип урока: интегрированный урок по алгебре и физике.

Формы работы учащихся: парная, групповая, фронтальная.

Необходимое техническое оборудование: проектор, карточки- задания.

Структура и ход урока:

1.Организационный момент. 1-2 мин

Приветствие обучающихся,  объявление темы урока( на доске записана тема урока- «Применение интеграла для описания  физических процессов») ,  проверка готовности учащихся к уроку.

2.Мотивация учебной деятельности учащихся: ( 1 мин)

Озвучить цели и задачи  урока :

Сегодня на комплексном уроке  математики и физике  мы рассмотрим возможности применения  математического аппарата  для решения задач , описывающие различные  физические процессы.

3. Проверка домашнего задания(6 мин):

 1.Интеллектуальная разминка - ученики сами друг другу задают вопросы подготовленные заранее( основные понятия по теме :  определение первообразной, геометрический смысл первообразной, основное  определение интеграла, что вы знаете об интеграле( свойства, теоремы), геометрический смысл интеграла…).

4.Актуализация опорных знаний: Конкретизировать полученные знания на уроках математики и физики.

 Мы сегодня с вами разберем схему   решения задач на приложения определенного интеграла.

1.Нахождение пути пройденного телом  при прямолинейном движении.

2. Вычисление работы  силы произведенной при прямолинейном движении.

3. Вычисление работы затраченной на растяжении и сжатие пружины.

4. Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пружину.

Задача: два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v1=(2t2+4t)м/с, второе- со скорость v2=(3t+2) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10с?

Проанализирем условие задачи:

Очевидно, перед нами задача на движение. В чем ее особенность? Скорость тел не является постоянным, они изменяются с течением времени. Как можно решить? ( Предлагаются  различные  версии, например: найти скорость в каждую секунду времени от 1 до 10 с и вычислить путь пройденными телами).

 С помощью  определенного интеграла можно решить  различные задачи по физике , которые  трудно и невозможно решить методом элементарной математики. Несмотря на разнообразие этих задач, они объединяются одной и той же схемой рассуждения при их решении. Искомая величина( путь, работа, давление т.д) соответствует некоторому промежутку изменения переменной величины, которая является переменной интегрирования. Эту переменную обозначают через Х, а промежуток ее изменения –через  [а, b].

Отрезок [а, b] разбивает а n равных частей. В каждой из которых можно пренебречь изменениями переменной величины. Этого можно добиться при увеличении числа разбиений отрезка . На каждой такой части задачу решают по формулам постоянных величин. Далее составляют сумму( интегральную сумму), выражающую приближенное значение искомой величины. Переходя к пределу при  n→∞,находят искомую величину  I в виде интеграла

I = , где f(x) – данная по условию задачи функция( сила, скорость и т.д) Рассмотрим общие схемы решения задачи разных видов.

2 тип задач: Вычисление работы переменной силы, произведенной при прямолинейном движении тела.

Пусть тело под действием силы F движется прямолинейно по прямой  s, а направление силы совпалает с направлением движдения. Необходимо найти работу, произведенную силой F при перемещении тела из положения a в положение b.

Если сила F постоянна, то работа находится по формуле    ( произведение силы на длину пути).

Пусть тело Ох ,движущееся по прямой ,действует сила F , которая  изменяется в зависимости от пройденного пути, т.е .Для того чтобы найти работу ,совершаемую силой F на отрезке  пути от  a до  b, разделим этот отрезок на n равных частей Δx . Предположим , что на каждой части Δx сила сохраняет постоянное значение .

Составим интегральную сумму ,которая приближенно равна значению произведенной работы: , т.е работа ,совершенная этой силой на участке от  a до b, приближенно мала сумме: .

 Итак, работа переменной силы вычисляется по формуле: .

3 тип задачи:

Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины. Согласно закону Гуку, сила F необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия.

Пусть х -величина растяжения или сжатия пружины. Тогда, F=kx,  где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины. Работа на участке Δx  выразится формулой ΔA≈FΔx , а вся затраченная  работа  или .

Если , то погрешность величины работы стремиться к нулю.

Для нахождения истиной величины работы ледует перейти к пределу:  4 тип задачи. Определение  силы давления жидкости на вертикально расположенную пластину.

 Из физики известно что сила Р давление жидкости на горизонтально расположенную площадку S,  глубина погружения  которой равна , определяется по формуле , где  –плотность жидкости .

Получим формулу для вычисления силы давления жидкости на вертикальную пластину произвольной формы, если ее верхний край погружен в воду на глубину а, а нижний на глубину  b.

Ширина каждой пластины зависит от формы пластинки и является функцией глубины х погружения данной полосы. Для пластинки постоянной ширины формула упрощается, т.к эту постоянную можно вынести за знак интеграла:  

Разбор задач по теме. Одна задача решается у доски или на отвернутой доске для дальнейшей проверке. Остальные можно использовать для самостоятельной работы в группах.

1. Скорость движения материально точки задается формулой                      =(4  м/с. Найти путь пройденный точкой за 4 с от начала движения:

Решение

2)Скорость движения изменяется по закону  м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 30ю секунду его движения.

Решение:

2. Скорость движения тела задана уравнением с v=(12t-3t)2 м/с. Определить путь , пройденный телом от начало движения и остановки.

Решение:

Скорость движения равна нулю в момент начала его движения и остановки. Найдем момент тела, для чего приравняем скорость к нулю и решим уравнение относительно t. Получим  

Следовательно,  

3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью ,которая изменяется по закону  м/с.  Найти наибольшую высоту подъема.

Решение: Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх; 29,4-9,8t=0 ( в момент наибольшего подъема скорость равна нулю); t=3с. Поэтому  .

5)Какую работу совершает сила  10 Н при растяжении пружины на 2 см?

Решение: По закону Гука сила F , растягивает пружину, прапорциональна растяжению пружины, т.е . F = kx используя условие, находим  (Н/М), т.е  F=500х. Получаем

6)Сила в 60 Н растягивает пружину  на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить ,чтобы растянуть ее до 20 см?

Решение:

 Имеем  ( Н/М) и ,следовательно , F=3000х. Так как пружину требуется растянуть  на 0.06(м), то тело

7)Определить силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м, а высота 5 м( считая шлюз доверху заполненным водой). Здесь у=f(х)= 20, а=0, b=5м,  кг/

Находим

.

8) В воду опущена прямоугольная пластинка, расположенная вертикально. Ее горизонтальная сторона равна 1м, а вертикальная 2м. Верхняя сторона находится на глубине 0,5м Определить силу давления воды на пластинку.

Решение:

Здесь у=1, а=0.5, b= 2+0.5=2,5(м), = 1000кг/.Следовательно,

9) Скорость тела задано уравнением  . Найти уравнение движения, если за время  тело прошло путь

Решение:

Имеем ds=v dt=(6+1) dt; тогда

подставим в найденое уравнение начальные условия s=60м,  t=3c,получим , откуда С=3.

Искомое уравнение примет вид .

Контроль и самопроверка знаний:(5-8мин)

Индивидуально каждый ученик получает карточку с задачами  решают, сдают на проверку. ( пример одной из карточек).

1. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100Н растягивает пружину на 0,01м.
2. Вычислить путь , пройденный точкой за 4 секунды от начала движения, если скорость точки ( м/с)
3. Тело движется прямолинейно со скоростью ( м/с). Найти путь, пройденный за первые 3 секунды.

Подведение  итогов урока :

1. Каким вопросом был посвящен урок?
2. Чему научились на уроке?
3. Какие теоритические факты обобщались на уроке?
4. Какие из рассмотренных задач оказали наиболее сложными ?  Почему ?

Домашнее задание.

Решить предложенную задачу в начале урока двумя способами.