Практическое занятие 2. Вычисление определителей второго и третьего порядка.
план-конспект занятия

Практическое занятие 2. Вычисление определителей второго и третьего порядка.

1. Для начала вспомним ранее изученный материал (ЧИТАЕМ).

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

А =

Обозначения:  А – матрица,  аij  - элемент матрицы,  i -  номер строки, в которой стоит данный элемент,  j -  номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение 2. Числа m и n называются размерностями матрицы.

Определение 3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется  определителем.

Определение 4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

1)          2) 

Определение 5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-» , располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Примеры:

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых                 ai j = bj + cj (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

ПИСЬМЕННО  ТЕТРАДИ. Выполните следующие задания:

№ 1. Вычислите определитель второго порядка:

а) ;

б)

№ 2.  Вычислить определитель матрицы третьего порядка  

а) А =

б) А =

в) А =