векторы на плоскости.Уравнения прямой на плоскости.
опыты и эксперименты на тему
Пособие для проведения самостоятельной работы по теме векторы. Краткая теория по теме векторы и уравнения прямой на плоскости.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 vektory_samostoyatelnaya_no1.docx | 22.75 КБ |
| vektory_teoriya.docx | 88.56 КБ |
| dlina_vektora.docx | 15.81 КБ |
| uravneniya_pryamoy_na_ploskosti.docx | 43.68 КБ |
| formuly_deleniya_otrezka_v_dannom_otnoshenii.docx | 69.34 КБ |
Предварительный просмотр:
Вариант ђ Дано А(-1;2) B (4;-3) C(1;2) D(4;5)
Вариант ξ Дано К(1;-2) М (3;5) Т(5;4) Р(-2;-7)
В - ђ Найти: В - ξ Найти:
__________________________________________________________________________
Вариант £ Дано Z(-2;4) B (5;2) R(2;4) O(5;-5)
Вариант ǽ Дано G(2;5) М (7;8) F(-5;-4) S(2;5)
В - £ Найти: В - ǽ Найти:
Вариант Ħ Дано V(3;2) B (-1;4) H(-1;2) D(4;0)
Вариант ψ Дано F(6;4) М (5;2) Т(2;4) E(5;-1)
В - Ħ Найти: В - ψ Найти:
__________________________________________________________________________
Вариант λ Дано X(2;5) C (4;8) I(2;4) M(1;-5)
Вариант ς Дано D(2;5) М (8;-5) Y(0;2) S(4;8)
В - λ Найти: В - ς Найти:
Вариант Œ Дано R(-3;5) J(5;1) I(-5;-5) U(0;5)
Вариант Ω Дано X(2;4) М (-5;3) Y(4;2) R(-5;1)
В - Œ Найти: В - Ω Найти:
Вариант Œ Дано R(-3;5) J(5;1) I(-5;-5) U(0;5)
Вариант Ω Дано X(2;4) М (-5;3) Y(4;2) R(-5;1)
В - Œ Найти: В - Ω Найти:
Предварительный просмотр:
Векторы.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными. Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда».
В
А
Вектор - направленный отрезок.
Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
коллинеарные векторы - векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой.
сонаправленные 
↑↑ 
противоположно направленные ↑↓
Если сонаправленные векторы Если противоположно направленные
имеют одинаковую длину, то векторы имеют одинаковую длину, то
они называются равные они называются противоположные
= 
↑↑ = 
↑↓
нуль-вектор вектор с нулевой длиной, такой вектор коллинеарен любому вектору.
компланарные векторы - три вектора компланарны, если будучи приведенные к общему началу, лежат в одной плоскости.
Действия над векторами заданными своими координатами
1.Сложение векторов: Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
2.Вычитание векторов:
Правило параллелограмма правило треугольника
Если на векторах построен параллелограмм,то его бОльшая диагональ сумма исходных векторов, а его меньшая диагональ разность этих векторов.
3. Умножение вектора на число: Произведением ненулевого вектора на число К
0 называется вектор
длина которого
на модуль числа К , а направление совпадает с направлением вектора
= 
Условие коллинеарности: Векторы коллинеарные если один вектор является результатом произведения другого вектора на число К
.
Ось - Прямая с выбранным положительным направлением и единицей измерения. Ось можно задать вектором, лежащим на ней и имеющим то же направление.
Проекция точки на ось: . м 
м
. l
Проекция вектора на ось:
В
l
Прямоугольная система координат (Декартова) -
Две взаимно перпендикулярные оси с общим началом
У ось ординат
1
0 
Х ось абсцисс
- единичный вектор сонаправленный оси - орт
Координаты вектора
У
B
A 
С
1
0 
Х
Точка А с координатами () и точка В с координатами (
)
Эти две точки задают вектор
Координаты вектора - проекции вектора на оси координат ( 
; 
)
Координаты вектора - разность координат конца и начала вектора.
Координаты вектора - коэффициенты при единичных векторах в
разложении вектора по ортам (
;
)
- разложение вектора на составляющие
Т.к. 
,то
Предварительный просмотр:
Длина вектора -это расстояние 
=
АВС 
= 
теорема Пифагора
скалярное произведение
- скалярное произведение двух ненулевых векторов
Или в координатах =
+
- Отсюда выражаем косинус угла между векторами:
Или в координатах:
- Если скалярное произведение равно 0 , то угол между векторами
- И наоборот если векторы перпендикулярны то их скалярное произведение равно 0
Предварительный просмотр:
Уравнения прямой на плоскости.
Любой не нулевой вектор перпендикулярный прямой l называется нормальным вектором этой прямой.
y
l
x
вектор перпендикулярный прямой l (нормальный вектор )
точки прямой l , известная
произвольная точка прямой l
тогда их скалярное произведение равно 0
(1) нормальное уравнение прямой.
Раскроем скобки:
пусть С=
(2) Общее уравнение прямой
y
l
- x
Любой не нулевой вектор параллельный прямой l называется направляющим вектором этой прямой.
вектор параллельный прямой l (направляющий вектор )
точки прямой l , известная
произвольная точка прямой l
тогда векторы коллинеарны и их координаты пропорциональны:
(3) каноническое уравнение прямой.
Уравнение прямой через две точки и
составим, используя свойство коллинеарности векторов
и
лежащих на одной прямой.
точки прямой l , известная
точки прямой l , известная
произвольная точка прямой l
(4) уравнение прямой через две точки (
и
Перепишем это уравнение применив свойство пропорции в виде:
(5) угловой коэффициент прямой.
- угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой (tg
к оси ОХ
(6) уравнение пучка прямых
Уравнение прямой проходящей через заданную точку и известным угловым коэффициентом
Раскроем скобки:
(7)- уравнение прямой с угловым коэффициентом.
b- начальная ордината (точка пересечения прямой с осью ОУ)
- угловой коэффициент прямой
Предварительный просмотр:
Формулы деления отрезка в данном отношении
Отрезок AB делится на две части с помощью некоторой точки M , которая, понятно, расположена прямо на нём:
В данном примере точка M делит отрезок AB таким образом, что отрезок АМ в два раза короче отрезка МВ и можно сказать, что точка М делит отрезок АВ в отношении 1:2 («один к двум»), считая от вершины А.
Математически этот факт записывают следующим образом: АМ:МВ=1:2, или чаще в виде привычной пропорции: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: λ=
.
Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .
..
Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости
Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
Пример 1
Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении , если известны точки
Решение: В данной задаче . По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку :
Ответ:
Равноценен второй способ решения: в нём отсчёт начинается с точки и справедливым является отношение: (человеческими словами, отрезок в три раза длиннее отрезка ). По формулам деления отрезка в данном отношении:
Ответ:
Пример 3
Точка принадлежит отрезку . Известно, что отрезок в два раза длиннее отрезка . Найти точку , если .
Решение: Из условия следует, что точка делит отрезок в отношении , считая от вершины , то есть, справедлива пропорция: . По формулам деления отрезка в данном отношении:
Сейчас нам неизвестны координаты точки : , но это не является особой проблемой, так как их легко выразить из вышеприведённых формул. В общем виде выражать ничего не стОит, гораздо проще подставить конкретные числа и аккуратно разобраться с вычислениями:
Ответ:
Формулы координат середины отрезка
Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении.
. И общие формулы чудесным образом преображаются в нечто знакомое и простое:
Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:
Пример 7
Параллелограмм задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.
Решение.
По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.
Способ первый: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :
В результате:
Способ второй: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :
Таким образом:
Ответ: