Учебно-методическое пособие "Логарифмы и логарифмические функции"
методическая разработка

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Дисциплина: Математика

Тема: «Логарифмы. Логарифмическая функция»

Составитель: Манжосова В. И.  - преподаватель

Аннотация

Данное пособие предназначено для студентов СПО 1 курса (базовый уровень) для самостоятельной работы.

Дидактические материалы в пособии снабжены решениями или указаниями сразу после их формулировки.

В пособии содержатся:

• дидактические материалы к теме программы, а также материалы, позволяющие организовать повторение изученного;
• самостоятельные работы по теме.

Каждый раздел включает;

•справочные сведения;

•примеры и задачи с подробными решениями;

•разноуровневые задачи для самостоятельной работы в двух вариантах, позволяющие организовать «плавную» дифференциацию работы с группой (каждое задание имеет условную балловую оценку степени его сложности).

• Используя балловую оценку заданий для самостоятельной работы и для подготовки к экзаменам, можно организовать: «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы каждому студенту предлагать конкретный балловый диапазон выполняемых заданий, помогая постепенно поднимать уровень своих математических знаний и умений;
• разнообразные виды частично-самостоятельных; самостоятельных и проверочных работ, предложив, например, к выполнению избыточный

иной оценки («3», «4» или «5»),

Обязательному базовому уровню знаний и умений соответствуют задания, оцененные в пособии, в основном, баллами 1, 2, 3,4.

Студенты, претендующие на отличную оценку, должны справляться с заданиями, оцененными в 1—7 баллов.

Содержание:

1. Логарифмы                                                                                       5
2. Свойства логарифмов                                                                     9
3. Десятичные и натуральные логарифмы                                      11
4. Логарифмическая функция и ее график                                      13

1. Логарифмы.

Логарифмом положительного числа b по основанию а (записывают logа b), где а > 0, а ≠ 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Равенство

где b > 0, а > 0, а ≠ 1 называют основным логарифмическим тождеством.

х = logab — корень уравнения ах = b. где а > 0. а ≠ 1, b> 0.

Примеры с решением

1. Найти  1) ;  2) ;  3) .

Решение.        1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) ;

2)

3) .

2. Вычислить :  1) ;  2) ;  3) .

Решение.        1) , так как .

2)Пусть . Тогда определению логарифма =

= 16 или . откуда

Пусть . Тогда по определению логарифма  

=27 , откуда

3. Выяснить при каких значениях x имеет смысл выраженное:

1) :  2) .

Решение.        1) Выражение  имеет смысл , когда

и Так как то  имеет

смысл при , т.е. при

2)Так как то  имеет смыл при

 и т.е. при  и

4. Решить уравнение 1) ;  2) .

Решение.        1)Из равенства по определению

логарифма следует, что ,  откуда .

2)Корень уравнения есть число

. В данном случае .

2. Свойства логарифмов

Справочные сведения

Если - любое действительное число,

то:

1. 
2. 
3. , в частности ,

Примеры с решениями.

1. Вычислить:

1)

2)

3)

Решение.

2. Зная, что  найти: 1) ; .

Решение.

1) ;

2) .

3. Даны числа: 1)1; 2)0; 3) . Записать каждое из них в виде логарифмов некоторого числа по основанию 2.

Решение. 

1) ;  2) :

3) .

Задание для самостоятельной работы

3. Десятичные натуральные логарифмы.

Справочные сведения

Вместо пишут lg b(читается: «десятичный логарифм числа b»)

Вместо пишут lg b(читается: «натуральный логарифм числа b»)

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму

по другому основанию:

 где b > 0,  n > 0, ,c > 0, .

Частные случаи формулы перехода:

a) где ;

б) ,где

Примеры с решениями

1. С помощью микрокалькулятора вычислить . Результат округлить до сотых долей.

Решение .

Микрокалькуляторы, позволяющие выполнять действия с логарифмами, имеют только клавиши вычисления десятичных и натуральных логарифмов, поэтому с помощью формулы перехода запишем данное число в

одном из возможных для вычисления видов:

 или .

Вычислив с помощью МК значение любой из этих дробей, получим .

2. Зная, что ., найти : 1) ; 2)

Решение. 1) ;

2)

3. Решить уравнение:

Решение.

1)Преобразуем правую часть уравнения

. Таким образом, , откуда 

2)Выразим все логарифмы через логарифмы по основанию 2,учитывая что

Тогда исходное уравнение запишется в виде , откуда ,т.е.

3)Перейдем отк логарифму по основанию 6:

Пусть , тогда исходное уравнение запишется в виде или ,откуда

.Если ,то  а если , то .

Ответ.         

Задание для самостоятельной работы

4. Логарифмическая функция и ее график

Справочные сведения

Логарифмическая функция – это функция вида , где а –

Заданное число , .

        Свойства логарифмической функции

1. Область определения – множество всех положительных чисел (x>0).
2. Множество значений – множество всех действительных чисел
3. График функции проходит через точку(1;0).
4. На промежутке x>0 функция является :

возрастающей (рис.11).                                убывающей(рис.12).

5. Функция принимает положительное значение (y>0):

При x>1 (рис 11)                                        при 0

6. Функция принимает отрицательные значения(y<0):

При 01 (рис 12).

При решении логарифмических уравнений и неравенствах используется следующие утверждения :

1. Если  то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .
2. Если  то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .
3. Если  то равенство справедливо тогда и только тогда, когда.

Примеры с решениями

1. Построить график функции  и с его помощью ;

1. найти  приближенное значение  и ;
2. сравнить 1 , 9 и 2.

Решение. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

На координатной плоскости отметим найденные точки (см. таблицу) и проведем через них плавную линию (рис. 13); при этом учитываем что функция  определена при .

1. По графику функции находим
2. Точка графика функции находим  с абсциссой 1.9 лежит 

Ниже прямой  значит

2. Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:

1)  2)

Решение .    1) Так как  то (по свойству 4 ) функция  - возрастающая .

2) Так как  то (согласно свойству 4) функция  - убывающая 

3. Изобразить схематически график функции :

1) ; 2)

Решение.    1) При схематическом построение графика функции  (рис 14 ) учитываем, что :

функция определена при ;

график функции проходит через точку (0;1);

функция возрастающая , поскольку основание логарифма .

Для более точного приближения схемы графика к графику функции  можно учитывать , что он проходит через точки (a;1) и  . В данном случае график функции проходит через точки (5;1) и  (рис .14).

2) Используя свойства логарифмической функцией  и зная , что график проходит через точки (1;0), ,(3;-1), строим схематически график функции  (рис. 15)

4. Сравнить числа 1) и;2) и.

Решение

1) Функция -возрастающая поскольку основание логарифма ; далее так как  то  

2) Функция -убывающая и поэтому  

5. Выяснить положительным или отрицательным является число

1)  2) .

Решение         1) Согласно свойству 6 функция  (основание логарифма ) при принимает отрицательное значение т.е.  (рис. 16)

2) В силу свойства 5 функция  (основание логарифма)  при принимает положительное значение , т.е. (рис. 17).

6. Сравнить с единицей число  если 1)  ;2) .

Решение         Иллюстрируя свойства 5 и 6 схема графиков логарифмических функции (возрастающих или убывающих. В зависимости от основания логарифма ), находим :

1) ; 2) .

7. Решить уравнения 1) ;2)

Решение

1) Согласно утверждению (1) (см. справочные сведения ) имеем  , откуда .

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ  ГОРОДА МОСКВЫ

«МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ

ИМ. А. А. НИКОЛАЕВА»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ОТКРЫТОГО УРОКА

Автор: Манжосова В. И.

преподаватель

Тема: «Производные»

Специальность: 23.02.01

Организация перевозок и управление на транспорте (по видам)

ОУД. 04. Математика

Пояснительная записка

Цели урока:  

• Обучающие:  систематизировать знания и умения по теме «Производная»: формулы и правила дифференцирования, геометрический и физический смысл производной, применение производной.
• Развивающие:  развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.
• Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, слушать товарищей,  точно, однозначно и лаконично формулировать свои ответы.

 План урока:

• Организационный момент. (1 минута)
• Проверка уровня знаний и умений, уровня познавательной самостоятельности учащихся. (40 минут)
• Подведение итогов урока. (4 минуты)

 Оборудование:      Компьютер,  мультимедийный система, индивидуальные  карточки – задания, карточка для работы в группе, лист самооценки самостоятельной работы.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и  умений.

Технология: урок с применением    информационно-коммуникативных технологий.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая

Вид урока по форме проведения: урок – игра.

Продолжительность: 90 минут.    Учебник: А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник  для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)   М.: Мнемозина, 2013

Конспект урока

1. Организационный  момент.   Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

Преподаватель:  Здравствуйте, ребята, садитесь. У нас сегодня на уроке присутствуют гости, давайте с ними поздороваемся.    

Ребята, если вы правильно  отгадаете ключевое слово, то узнаете тему нашего урока.

1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Имеет физический, геометрический смысл;

3) Бывает первой, второй, … ;

4) Обозначается штрихом.

Молодцы, тема нашего занятия “ Производная, всемогущая ”.

Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)

Цель нашего урока – повторить основные направления применения производной для решения различных (избранных) задач дифференциального исчисления.

Я желаю вам на уроке удачи, точных расчетов и вычислений.    

Активизация знаний обучающихся.  На одном из первых уроков изучения производной вы мне задали вопрос:

Мы изучили  производную. А так ли это важно в жизни? Применяется ли  производная в различных областях науки?

Постараемся ответить на этот вопрос сегодня на уроке.

А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвину гипотезу  /читаю гипотезу /

«Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

В ходе урока вы  подтвердите, либо отвергните данную гипотезу.

II. Актуализация знаний, умений, навыков. Ребята, у вас на столах лежат оценочные листы, за каждый правильный ответ, выполненное решение вы будете начислять себе по одному баллу.

Приложение 1. Оценочный лист

Преподаватель: Принято, что к соревнованию человек готовится, и свой день обычно начинает с зарядки, т.е. с разминки. Проведем разминку перед практической частью и мы.

1. Для этого возьмем кроссворд, который вам нужно было дома разгадать

по теме: «Производная»

По горизонтали
2. Производная чего равна нулю…
3. Как называется число, к которому стремится отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю
4. Какой смысл производной заключается в том, что скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени  (Механический)
5. Процесс изучения какого-либо объекта, например, функции.

По вертикали
1. Точки максимума и минимума называют точками  (Экстремума)
2. Точки области определения, в которых производная функции не существует, называются….. точками
4. Промежутки возрастания (убывания) функции это промежутки…

 Ставим баллы за правильно выполненное домашнее задание.

2. Цветок понятий  (ассоциативный куст)

Предлагаю составить цветок понятий: для этого нужно назвать понятия,  которые ассоциируются с темой «Производная».

Благодаря вашим понятиям у меня получился вот такой ассоциативный цветок.

Ставим баллы за ответы.

3.  «Корзинка правил» Вспомним правила нахождения производных. Необходимо  заполнить   пустые  места  в  равенствах,  записанных  на  доске)   2 учащихся выходят к доске

(U*V)! =……                       …..= (U!V –V!U)/V2                              (kx+b)!=

 (C*U)!  =  ....                                             ( U + V)!  =…….                            …=f1(g(x))*g1(x)

Ставим баллы за ответы.

Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.

4.  «Найди соответствие» 

Учитель:  Укажите соответствие между функцией и её производной: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. В таблице под каждой буквой, укажите номер её возможного значения. Ответ записать числом

Проверяем:               на слайде 2 136 574   Ставим баллы в оценочные листы.

 Преподаватель: Мы освоили приемы нахождения простейших производных суммы, разности, произведения и частного элементарных функций. Сейчас постараемся применить полученные знания при решении задач.

5. «Значение производной в точке»  Предлагаю,  вам задание, выполнив которое вы узнаете, как   И.Ньютон называл производную функции.

                                                        Ответ: ФЛЮКСИЯ – производная функции

Ставим баллы в оценочные листы.

6. Преподаватель:     «Задачи-картинки».   

Работа в парах:  пусть каждый знает,
Кто из вас быстрей решает?
Мне – таблицы вам раздать,
Вам – в них плюсы расставлять.

Каждая пара получает задание-таблицу, в клетках которой нужно знаком «+» указать соответствие “функция – график производной этой функции”.  Приготовить заполненную таблицу с пояснениями. Система оценки: каждый правильный ответ – 0,5 балла.   (максимум за задание – 3 балла). Проверка осуществляется с помощью слайда с устными комментариями.                                 (Ответы к заданию на слайде):

Ставим максимально 3 балла в оценочные листы.

7. Геометрический смысл производной

Преподаватель:    Предлагаю работу по вариантам по 1 к доске (карточки )

1 вариант     Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке t = 3 и определите вид угла между касательной и положительным направлением оси Ox.       (Ответ: tgα = 21, угол α - острый)

2 вариант     Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  y = f(x) в точке с абсциссой х0Ответ: k= -3

Преподаватель:    Какие знания вы применяли при выполнении данных заданий?

В чем заключается геометрический смысл производной? Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси  и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :                 и     Геометрический смысл:  k = f1(х)

Преподаватель:    Теперь поработаем с графиками:

а) На рисунке изображен график функции у = f (х) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 

Ответ: 4.                                                                  Ответ: -1.

Ответ: 2)

Ответ: 2)                           Ставим баллы за ответы в оценочные листы.

8.  Физический смысл производной.

Преподаватель:   Что вам необходимо знать о производной, чтобы решить данную задачу?       На слайде 5

Материальная точка движется прямолинейно по закону  s(t) = 6t² - 48t + 17, где  s(t) — расстояние от точки отсчета в метрах,   t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени  t = 9с.        

Ответ обучащихся: Необходимо знать физический смысл производной: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.    

Преподаватель:  вызвать желающего решить к доске.       

Решение.

1. Найдем производную функции   s(t)=6t2 – 48t +17:

s1(t) = 12t – 48

2. Найдем значение производной в точке t = 9: s1(9)=12*9 – 48=60

           Ответ: 60 м/с.              Оцените свою работу на уроке (лист самооценки).

Преподаватель: Давайте вспомним, что характеризует  производная в физике? Учащиеся: В физике производная характеризует скорость прямолинейного движения.

 III. Применение знаний и умений в новой ситуации.

1. Преподаватель:     а в каких науках вы ещё можете встретить задачи на скорость?

Учащиеся: на уроке химии – скорость химической реакции.

Вопрос: Какое определение  в химии вы даете скорости химической реакции? И как это записать?

Обучащиеся: Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.   Если С=С(t),где С-концентрация некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Отношение приращения ∆С/∆t- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t.

Преподаватель:     А как записываете?    ( ∆С/∆t )  

На языке математики концентрация – это функция, а время – аргумент.

Скорость химической реакции v(t) = С’(t) производной концентрации вещества, вступившего в химическую реакцию.

Преподаватель: Какой вывод можно сделать? Мы с вами вывели химический смысл производной, теперь решая химические задачи на нахождение скорости химической реакции вы будете использовать производную.  Давайте попробуем решить задачу: (слайд) Пусть количество вещества,  вступившего в химическую реакцию,  задается зависимостью:    C(t) = t2/2 + 3t –3 (моль).
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

      Решение:

v (t) = C‘(t);             v (t) = t + 3;         v (3) = 3+3 = 6.        Ответ: 6 моль/с. 

Преподаватель: С точки зрения химиков важно изучать скорость химической реакции?

Обучающиеся: Скорость химической  реакции –важна химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно,  другие идут очень медленно.

2. Применяется ли производная  в других областях науки? На этот вопрос помогут  ответить  3 группы (лабораторий), которые работали дома по применению производной в различных отраслях науки.

1-я группа  - применение производной в биологии;

2-я группа – применение производной в географии;

3-я группа – применение производной в экономике;

Слово предоставляем исследователям. (Выступление групп).

1-я группа - Биологический смысл производной.

Биологический смысл производной связан с популяциями. Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой.

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x(t). Пусть ∆t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t+∆t. Тогда  ∆у = x(t+∆t)-x(t) изменение числа особей организмов. Отношение ∆у/∆t - является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции.

На языке математики популяция микроорганизмов – это функция, а время – аргумент.

ВЫВОД:  Значит,  скорость роста популяции есть производная   численности популяции в момент времени t.

Слайд13:  Задача: Пусть зависимость между числом особей популяции микрooрганизмов   x(t)   и временем  t её размножения задана уравнением:         x (t) = 3000 + 100t2.              Найти скорость роста популяции    в момент t = 1 c.

2-я группа- «Географический смысл производной» заключается в росте численности населения. Предлагаю вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Пусть у = у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост населения за  Δt=t-t0 

Δy=k *Δt, где  к=кр – кс –коэффициент прироста                                                                                                                                                                                                                                    

(кр – коэффициент рождаемости,  (кс – коэффициент смертности)

Δy/Δt=k

При Δt→0 получим lim Δy/Δt=у’ (t)      Вывод: Рост численности населения равен производной численности населения в момент времени t.              

3-я группа - «Экономический смысл производной»

Экономический смысл производной связан с производительностью труда. Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время.  В экономике очень часто объем произведенной продукции задается формулой. Например, пусть объем продукции выпущенной в течение дня задан формулой  у = -2t³ +10t² +50t – 16, где t – время, выраженное в часах.  Для нахождения производительности труда в определенный промежуток времени t0, необходимо найти предельное значение средней производительности за период времени Δt, т.е. у´(t).

На языке математики производительность - функция, а время - аргумент.

 ВЫВОД: производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции. 

Задача: Вычислить  производительность  труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16, t– время (ч).

Решение: 1. Найдем производную у´(t) = -6t² +20t + 50

2. Найдем значение производной в течение каждого часа:

t=1  y’(1) = -6*1² +20*1 + 50= 64

 t=2  y’(2) = -6*2² +20*2 + 50= 66

t=3  y’(3) = -6*3² +20*3 + 50= 56

t=4  y’(4) = -6*4² +20*4 + 50= 34

t=5 y’(5) = -6*5² +20*5 + 50= 0            Вывод: После второго часа работы производительность работы начинает падать. Такой результат является следствием усталости, ухудшением условий в помещении и много других факторов, влияющих на производительность труда. Можно сделать вывод, что продуктивными являются первые два часа работы.

Предлагаю вам в качестве домашнего задания задачи:

Вычислить  производительность  труда во время первых 4 часов работы, если объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией и сделать выводы.

1 группа: у = -t³ +10t² +40t – 16,  t– время, ч.

 2 группа: у = -2t² +10t+50,  t– время, ч.

3 группа: у = -3t³ +20t² +100t – 6,  t– время, ч.

 4 группа: y = -0,5t³ + 20t² + 30t -4,  t- время, ч.

Преподаватель: Сделайте вывод «Производная, всемогущая?»

Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

10.Теперь повторим свойства функций и свойства производных

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x).

1. На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ..., x9.  Среди этих точек найдите все точки, в     которых производная функции y = f(x) отрицательна.

2)По графику функции y=f1(x) ответьте на вопросы:

Сколько точек максимума имеет эта функция?    (1)      назовите её?

Для этого определим знак производной на каждом из трёх интервалов. На интервале   -7< х<- 4 производная положительна – значит, на этом интервалах функция возрастает. На интервале

-4<х<0 производная отрицательна – значит, на этом интервале функция убывает. Значит х= - 4 - точка максимума

2. Назовите точки минимума функции.  (0)

На интервале  -4<х<0 производная отрицательна – значит, на этом интервале функция убывает. На интервале   0< х< 7 производная положительна – значит, на этом интервале функция возрастает. Значит,  х = 0 – точка минимума.

3.Сколько промежутков возрастания у этой функции?  (2)

4. Найдите длину промежутка убывания этой функции. (4) На интервале

-4<х<0 производная отрицательна – значит, на этом интервале функция убывает

III. Подведение итогов урока.  Выставление оценок.

Вы замечательно поработали. Надеюсь, этот материал вы не забудете, он пригодится вам в конце учебного года и на ЕГЭ. 

- Вспомните, каковы были цели, поставленные нами в начале урока?

- Достигнуты ли цели?

- Что удалось?

- Какой этап урока вам показался наиболее интересным?

- Что не получилось?

Понравился ли вам урок?  Вернемся к оценочным листам, те, кто набрал от 10-12 баллов получают «5»,8-10 – «4»                  ДЗ вы получили.

Молодцы! Я хочу пожелать, чтобы у вас была только положительная производная, чтобы знания ваши только возрастали.

И в заключение  урока  я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия - пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик   Морис Клайн.

Урок окончен. Спасибо за работу!