Открытый урок Сборка электрической цепи и измерение тока
методическая разработка на тему

Департамент  образования города  Москвы

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

П.Е.Евдокимов, И.А.Плотникова

План конспект открытого урока

(лабораторной работы).

Урок проведен17 сентября 2013 года со студентами группы 11Т по физике.

Москва

2013

Сборка электрической цепи и измерение силы тока.

____________________________________________________________________

План конспект открытого урока (лабораторной работы).

Урок проведен 17 сентября 2013 года со студентами группы 11Т по физике.

Методическая разработка урока по физике  на тему: «Сборка электрической цепи и измерение силы тока»/П.Е.Евдокимов, И.А.Плотникова. – М.: ГАОУ СПО ТК № 28. 2013. –  с.

Данная методическая разработка представляет собой конспект проведенного урока – лабораторной работы  по физике –и может быть интересна не только преподавателям физики, но и других дисциплин, в программах которых также есть лабораторные работы.

Автор ГАОУ СПО ТК № 28

2013-11-18

Тема урока – лабораторной работы:

«Электрический ток в электрической цепи»

Цели урока:

1. Образовательная: Изучить со студентами процесс прохождения тока в проводнике.
2. Развивающая: формировать умение анализировать предложенный материал,   сопоставлять и обобщать полученные данные, выделять главное, делать выводы.
3. Воспитательная: воспитывать интерес к изучаемой проблемы, воспитывать познавательные потребности.

 Вид урока: Лекция – беседа – самостоятельная работа.

 Оборудование урока: Учебно-методическое сопровождение урока

1.   Учебник «Электротехника с основами электроники» авторы Данилов И.А. и ИвановП.М.

2. Конспект урока.
3. Плакат «прохождения тока в проводнике»        

4. Макет структуры кристаллического вещества.
5. Описание лабораторной работы.

План урока:

1. Организационный момент- подготовка студентов к уроку, проверка присутствующих.

II.Работа по теме урока:

1.Фронтальная беседа по изучаемому материалу.

2.Объявление преподавателем  темы лабораторной работы

III. Закрепление изучаемого материала.

1.Самостоятельная работа студентов.

2. Фронтальная беседа по пройденному материалу

IV.Домашнее задание:

Преподаватель даёт задание студентам на дом: подготовить краткое сообщение о применении в технике измерительных приборов.

Ход урока

         Содержание темы:

При изучении  данной   темы,  много внимания было уделено понятию что же такое электрический ток. Эти понятия  дают чёткое для представления о прохождении электрического тока по провода и использования этого явления в технике. Однако если внимательно рассмотреть  всё  то, что происходит с проводником, по которому протекает электрический ток, то становится ясно, что начинать надо с самого начала.

Итак:

Электри́ческий ток — упорядоченное нескомпенсированное движение свободных электрически заряженных частиц, например, под воздействием электрического поля.

Такими частицами могут являться: в проводниках — электроны, в электролитах — ионы (катионы и анионы), в газах — ионы и электроны, в вакууме при определенных условиях — электроны, в полупроводниках — электроны и дырки (электронно-дырочная проводимость).

Электрический ток широко используется в энергетике для передачи энергии на расстоянии, а в телекоммуникациях — для передачи информации на расстоянии.

В медицине электрический ток используют в реанимации, электростимуляции определённых областей головного мозга. Электрические разряды применяются для лечения таких заболеваний, как болезнь Паркинсона и эпилепсия, также для электрофореза. Водитель ритма, стимулирующий сердечную мышцу импульсным током, используют при брадикардии и иных сердечных аритмиях.

Характеристики

Исторически принято, что направление тока совпадает с направлением движения положительных зарядов в проводнике. При этом, если единственными носителями тока являются отрицательно заряженные частицы (например, электроны в металле), то направление тока противоположно направлению движения электронов.

Скорость направленного движения частиц в проводниках зависит от материала проводника, массы и заряда частиц, окружающей температуры, приложенной разности потенциалов и составляет величину, намного меньшую скорости света. За 1 с электроны в проводнике перемещаются за счет упорядоченного движения меньше чем на 0,1 мм. Несмотря на это, скорость распространения собственно электрического тока равна скорости света, то есть скорости распространения фронта электромагнитной волны.

Различают переменный (англ. alternatingcurrent, AC) и постоянный (англ. directcurrent, DC) токи.

• Постоянный ток—ток, направление и величина которого слабо меняется во времени.

• Переменный ток — это ток, направление и величина которого меняется во времени.  

Среди переменных токов основным является ток, величина которого изменяется по синусоидальному закону. В этом случае потенциал каждого конца проводника изменяется по отношению к потенциалу другого конца проводника попеременно с положительного на отрицательный и наоборот, проходя при этом через все промежуточные потенциалы (включая и нулевой потенциал).В результате возникает ток, непрерывно изменяющий направление: при движении в одном направлении он возрастает, достигая максимума, именуемого амплитудным значением, затем спадает, на какой-то момент становится равным нулю, потом вновь возрастает, но уже в другом направлении и также достигает максимального значения, спадает, чтобы затем вновь пройти через ноль, после чего цикл всех изменений возобновляется.
Время, за которое происходит один такой цикл (время, включающее изменение тока в обе стороны), называется периодом переменного тока. Количество периодов, совершаемое током за единицу времени, носит название частота. Частота измеряется в герцах, один герц соответствует одному периоду в секунду.

Переменный ток высокой частоты вытесняется на поверхность проводника, этот эффект называется скин-эффектом.

Сила и плотность тока

Сила тока

Силой тока называется физическая величина, равная отношению количества заряда, прошедшего за некоторое время через поперечное сечение проводника, к величине этого промежутка времени.

Сила тока в системе СИ измеряется в Амперах.

По закону Ома сила тока для участка цепи прямо пропорциональна приложенному напряжению к участку цепи и обратно пропорциональна сопротивлениюпроводника этого участка цепи:

Плотностью тока называется вектор, модуль которого равен отношению силы тока, протекающего через некоторую площадку, перпендикулярную направлению тока, к величине этой площадки, а направление вектора совпадает с направлением движения положительного заряда в токе.

Согласно закону Ома плотность тока в среде   пропорциональна напряжённости электрического поля   и проводимости среды:

Плотность тока в системе  СИ  измеряется в амперах на квадратный метр.

Мощность

Закон Джоуля — Ленца

При наличии тока в проводнике совершается работа против сил сопротивления. Эта работа выделяется в виде тепла. Мощностью тепловых потерь называется величина, равная количеству выделившегося тепла в единицу времени. Согласно закону Джоуля — Ленца мощность тепловых потерь в проводнике пропорциональна силе протекающего тока и приложенному напряжению:

Мощность измеряется в ваттах

В сплошной средеобъёмная мощность потерь определяется скалярным произведением вектора плотности тока и вектора напряжённости электрического поляв данной точке:

Объёмная мощность измеряется в ваттах на кубический метр.

Ток смещения (электродинамика)

Иногда для удобства вводят понятие тока смещения. По определению, плотность тока смещения  — это векторная величина, равная быстроте изменения электрического поля во времени:

Дело в том, что при изменении электрического поля, также как и при протекании тока, происходит генерация магнитного поля, что делает эти два процесса похожими друг на друга. Кроме того, изменение электрического поля обычно сопровождается переносом энергии. Например, при зарядке и разрядке конденсатора, несмотря на то, что между его обкладками не происходит движения заряженных частиц, говорят о протекании через него тока смещения, переносящего некоторую энергию и своеобразным образом замыкающего электрическую цепь. Ток смещения в конденсаторе определяется по формуле:

,

где  — заряд на обкладках конденсатора,  — разность потенциалов между обкладками,  — ёмкость конденсатора.

Ток смещения не является электрическим током, поскольку не связан с перемещением электрического заряда.

Электробезопасность

Тело человека является проводником электрического тока. Сопротивление человека при сухой и неповрежденной коже колеблется от 3 до 100 кОм.

Ток, пропущенный через организм человека или животного, производит следующие действия:

• термическое (ожоги, нагрев и повреждение кровеносных сосудов);
• электролитическое (разложение крови, нарушение физико-химического состава);
• биологическое (раздражение и возбуждение тканей организма, судороги)

Основным фактором, обуславливающим исход поражения током, является величина тока, проходящего через тело человека.                                                                                              По технике безопасности электрический ток классифицируется следующим образом:

• безопасным считается ток, длительное прохождение которого через организм человека не причиняет ему вреда и не вызывает никаких ощущений, его величина не превышает 50 мкА;
• минимально ощутимый человеком переменный ток составляет около 1 мА;
• неотпускающим называется ток такой силы, при которой человек уже неспособен усилием воли оторвать руки от токоведущей части. Для переменного тока это около 10-15 мА, для постоянного — 50 мА;
• фибрилляционным порогом называется сила переменного тока около 100 мА, воздействие которого дольше 0.5 секунд с большой вероятностью вызывает фибрилляцию сердечных мышц. Этот порог одновременно считается условно смертельным для человека.

Рефлексия.

1.Каким прибором определяется сила тока?

2.   Что такое электрическое сопротивление проводника?

3.Каковы меры безопасности

Ход работы

1..        Рассмотрите источник электропитания и определите полярность его выходных гнезд.

2.        Рассмотрите панель с выключателем и определите:
- гнезда для подключения проводов;
- какому положению подвижной пластины ключа соответствует его условное обозначение на схемах.

3.        Рассмотрите панель с лампой и                                                Puс. 1

укажите на ней гнезда для подключения проводов.

4.        Рассмотрите соединительный провод и определите:
-для чего задняя часть штекера имеет отверстие;
-для чего металлический стержень штекера имеет прорезь.

5.        Рассмотрите амперметр и определите:

• какая из клемм прибора соединяется с положительным полюсом источника электропитания;
• какую максимальную силу тока можно им измерить;
• какова цена деления его шкалы.

6. Нарисуйте в тетради схему электрической цепи, изображенной на рисунке 1.
7. Соберите эту электрическую цепь.

Начинают сборку с того, что все детали электрической цепи располагают на металлическом планшете в том порядке, как это показано на рисунке 1. Затем соединяют проводом положительный полюс источника электропитания с гнездом амперметра, помеченным знаком "+". Потом амперметр соединяют с лампочкой. Далее лампочку с ключом и, наконец, ключ соединяют с отрицательным полюсом источника.

8. Проверьте, насколько собранная цепь соответствует ее условной схеме, нарисованной в тетради.
9. Проверьте, разомкнут ли контакт ключа.
10. Подключите вилку источника электропитания к розетке электросети кабинета, закрепленной на рабочем столе.
11. Замкните ключ. По отклонению стрелки амперметра и свечению лампочки убедитесь в том, что собранная цепь работает.

12. По показанию амперметра определите величину силы тока в цепи. Измеренное значение силы тока запишите в тетрадь рядом с нарисованной схемой.
13. Разомкните ключи,  разберите электрическую цепь. Для этого вначале отключите вилку источника питания от розетки, затем отсоедините провода от гнезд источника электропитания и только после этого завершите разборку остальной части цепи.
14.  Нарисуйте в тетради схему электрической цепи, изображенной на рис. 2. Укажите, в чем отличие этой схемы от предыдущей.

15. Нарисуйте в тетради схему электрической цепи, изображенной на рисунке 3. Укажите, в чем отличие этой схемы от предыдущей.
16. Соберите эту электрическую цепь и еще раз выполните действия, указанные в пунктах с 8 по 13.
17. Сравните значения силы тока, полученные в трех опытах, и сделайте вывод о величине силы тока в различных участках последовательной цепи.
18. Соберите эту электрическую цепь. Сборку по-прежнему начинают от положительного полюса источника питания.
19. Выполните действия, указанные в пунктах с 8 по 13.

Методическая разработка урока по физике  на тему: «Сборка электрической цепи и измерение силы тока».

_____________________________________________________________

Евдокимов Павел Евгеньевич – преподаватель физики и электротехники,

Плотникова Ирина Анатольевна, преподаватель физики и математики

Сдано в печать 21.11.2013 г.

Формат бумаги 60х90/16

Тираж 13 экз.

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

109382, Москва, ул. Верхние поля, 27

Тел./факс 8(495)359-65-29

E-mail: 28-2@prof.educom.ru 

                                    Департамент образования города Москвы

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Технологический колледж № 28»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

 ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА

СПЕЦИАЛЬНОСТИ:

 «Технология мяса и мясных продуктов»

«Товароведение и экспертиза потребительских товаров»

«Монтаж и эксплуатация холодильно- компрессорных машин и установок»

         «Экономика и бухгалтерский учёт»

Авторы:  преподаватели

 Плотникова И.А.

Соколова Л.А.

Москва2014г

   Методические указания по выполнению практических работ по математике (алгебре и началам анализа) содержат следующие позиции:

- цель работы;

- какие знания и умения должен приобрести студент по выполнении работы;

- краткие сведения по теории;

- образцы решения примеров и задач по теме;

- задания для самостоятельного решения;

- контрольные вопросы для проверки теоретических знаний;

- общие рекомендации по выполнению самостоятельной работы.

          Методические указания     предназначены для студентов второго курса и преподавателей математики профессиональных колледжей.

Практическая работа

Свойства матриц и определителей, действия над ними

Цель работы:

- научить студентов пользоваться свойствами матриц и определителей;

-выработать умение доводить решение задачи до логического конца;

- развивать алгоритмическую культуру;

В результате выполнения работы студент должен приобрести следующие умения:

-выполнять действия над матрицами о определителями;

Для выполнения практической работы необходимо:

1.Ознакомиться  с целями и задачами  данной практической работы.

2. Ознакомиться  с теоретической частью работы.

3. Разобрать  решённые примеры.

4. Ответить на контрольные вопросы.

5. Решить задания для самостоятельной работы.

6. Оформить решение заданий в тетради для практических работ.

Теоретическая часть

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

§1 ПОНЯТИЕ  МАТРИЦЫ.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел,    расположенных в n строк и m столбцов.

Для записи матрицы используются или двойные вертикальные или круглые   скобки.

                                           или    

Для краткого обозначения используют и одну большую латинскую букву (например, А), и символы, , иногда и с разъяснением: А= ,  где i – текущий номер строки (i  =1,2,3,…n),  j – текущий номер столбца (j = 1,2,3,…,m), -элемент матрицы А, стоящий в i –ой строке и  j – ом столбце.

Числа n и m называются порядком матрицы: n – количество строк, m –  количество столбцов. Говорят: матрица А размером n x m.

Если n=m, то матрица называется квадратной, ее размер n (или m).

Элементы квадратной матрицы  образуют главную диагональ матрицы А, идущую из левого верхнего угла в правый нижний угол. Элементы квадратной матрицы  образуют побочную диагональ матрицы А.

Пример:

А= - матрица размера 2 х 3; 2  строки, 3 столбца; .

В=- квадратная матрица 2-го порядка, элементы главной диагонали 5, 9, элементы побочной диагонали 11, -8.

Матрицы называются равными, если они одного порядка и соответствующие элементы равны.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Матрица, у которой элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Если в диагональной матрице элементы главной диагонали равны единице (остальные нули), то матрица – единичная.

 Пример 1.1.:

К=,   Р=, Е=, О=, Н=, Д=, С=.

Е – единичная матрица 4-го порядка

О - нулевая матрица 2-го порядка

Н – диагональная матрица 3-го порядка

К и Р – равные матрицы ( обе размера 2 х 3, все соответствующие элементы равны между собой)

Д – матрица –строка (количество строк – 1, количество столбцов 5)

С – матрица – столбец (количество строк – 4, количество столбцов – 1).

§2 Основные операции над матрицами.

2.1 Сложение.        

Складывать можно матрицы одного порядка.

Пусть даны две матрицы А и В одного порядка.

А=            В=, тогда С=А+В, если ,

где i =1,2,3,…,n;  j = 1,2,3,…,m;  т.е.

С=

Из определения операции сложения матриц следует, что она обладает всеми теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1. А+В=В+А,  т.е. подчиняется переместительному (коммутативному) закону,

2. (А+В)+П= А+(В+П),  т.е. подчиняется сочетательному (ассоциативному) закону.

Это означает, что при сложении матриц не обязательно заботиться о порядке следования слагаемых матриц.

        Пример 2.1:

1. Матрицы К и А складывать можно, результат  Б=К+А=. Убедитесь, что при сложении А+К результатом будет та же матрица Б.
2. Матрицы Н и А или К и Н складывать нельзя.

Для С=А-В следует поступить: С=А+(-1)В.

Пример 2.2. Найти сумму матриц  и .

Решение.

Вычислим элементы матрицы С = А + В, складывая элементы исходных матриц, стоящие на одинаковых местах:

Следовательно,

2.2. Умножение матрицы на число.

Матрицы любого порядка можно умножать на число. Для этого каждый элемент матрицы следует умножить на это число.

         Пример 2.3.:

.

 Эта операция подчиняется следующим законам:

1. ()А= (А) -  ассоциативный закон относительно числового множителя;

2.(А+В)=А+В – распределительный (дистрибутивный) закон      относительно суммы матриц;

3. (+)А=А+А  – дистрибутивный закон относительно суммы числовых   множителей.

Пример 2.4. Найти матрицу 5А – 2В, если

                .

Решение.

.

Итак, 5А – 2В .

2.3.  Умножение матриц

Внимание!  Умножать одну матрицу на другую не всегда возможно!.

Матрицу А можно умножить на матрицу В, если количество столбцов А равно количеству строк В. Например, матрицу К (см. примеры матриц выше) можно умножить на матрицу Н, но Н на К нельзя.

И сразу сделаем первый вывод по операции умножения двух матриц: оно не коммутативно. Итак, пусть А=и В=, где i=1,2,3,…,m;  j =1,2,3,…,n для А (порядок матрицы А – m x n), а для матрицы В:   i=1,2,3,…,n;  j=1,2,3,…,p (порядок матрицы В -  n x p).  Нужно получить  С=AB, С=,  где i=1,2,3,…,m;  j=1,2,3,…,p     (получается, что порядок матрицы С - m x p). Каждый элемент матрицы С определяется так:

 (i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,p).

 Т.е.

Отсюда следуют следующие свойства умножения матрицы А на матрицу В:

1.    –  ассоциативность;
2.   –   дистрибутивность.

!!!Коммутативность не выполняется. Для доказательства этого факта достаточно перемножить АВ и ВА для, например, следующих матриц:

А=  ,  В=.            АВ=,      а        ВА=.

Заметим, что в некоторых случаях коммутативный закон все-таки работает. Это относится к диагональным матрицам, и особо важны в этом отношении единичные матрицы и нулевые. Для них всегда АЕ=ЕА=А,  АО=ОА=О,  где Е – единичная матрица, О – нулевая матрица, А – квадратная матрица. Все три матрицы А, Е, О – одного порядка.

       Пример 2.5.

Дано: В=, А=, С= (2  8).

 Найти: АВ, ВА, ВС, СА, АС

      Решение:

1.АВ – найти нельзя, так как количество столбцов в А не равно количеству строк в В.

2.ВА= . ==.

3.CA=(2 8) = =(18).

4.AC =(2 8)== .

Пример 2.6. Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы

                            и .

Если произведение существует, вычислить его.

Решение.

Сравним размерности матриц А и В: A[3×2], B[2×2]. Следовательно,  поэтому произведение АВ[3×2] существует, а произведение ВА – нет.

Найдем элементы АВ:

(ab)11 = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (ab)12 = 0 · 6 + 3 · 8 = 24; (ab)21 = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;

(ab)22 = 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (ab)31 = 1 · 5 – 1 · 7 = -2; (ab)32 = 1 · 6 – 1 · 8 = -2.

Таким образом, , ВА не существует.

Пример 2.7. Найти АВ и ВА, если

                  .

Решение.

Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность.

A[2×4], B[4×2]. Следовательно, n = l = 4, m = k = 2, поэтому матрицы АВ и ВА существуют, причем АВ[2×2], BA[4×4].

Для вычисления элементов матрицы С = АВ элементы строк матрицы А умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы В:

                с11 = 2 · 2 + (-2)(-1) + 1 · 1 + 0 · 2 = 9

(сумма произведений элементов первой строки А на элементы первого столбца В; первый индекс вычисляемого элемента задает номер строки А, второй индекс – номер столбца В);

               с12 = 2 · 2 + (-2) · 0 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5;

               с21 = -3 · 3 + 1 · (-1) + (-1) · 1 + 1 · 2 = -9;

               с22 = -3 · 2 + 1 · 0 + (-1_ · 1 + 1 · 4 = -3.

Следовательно,

                             .

При вычислении элементов матрицы D = BA элементы строк В умножаются на элементы столбцов А:

 d11 = 3 · 2 + 2 · (-3) = 0;    d12 = 3 · (-2) + 2 · 1 = -4;   d13 = 3 · 1 + 2 · (-1) = 1;

 d14 = 3 · 0 + 2 · 1 = 2;        d21 = -1 · 2 + 0 · (-3) = -2;  d22 = -1 · (-2) + 0 · 1 = 2;

 d23 = -1 · 1 + 0 · (-1) = -1;  d24 = -1 · 0 + 0 · 1 = 0;       d31 = 1 · 2 + 1 · (-3) = -1;

 d32 = 1 · (-2) + 1 · 1 = -1;   d33 = 1 · 1 + 1 · (-1) = 0;     d34 = 1 · 0 + 1 · 1 = 1;

 d41 = 2 · 2 + 4 · (-3) = -8;   d42 = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0;     d43 = 2 · 1 + 4 · (-1) = -2;

 d44 = 2 · 0 + 4 · 1 = 4.

Таким образом,

                               . 

          Контрольные вопросы.

1. Дать определение матрицы.
2. Классификация матриц по размерам.
3. Что такое нулевая и единичная матрицы?
4. При каких условиях матрицы считаются равными?
5. Когда возможна операция сложения матриц и как вычисляется результат?
6. Как найти произведение матрицы на число?
7. Когда возможна операция умножения матриц? Какова размерность результата умножения?
8. По какому правилу вычисляется элемент матрицы - результата при перемножении матриц?
9. Какие матрицы называются взаимно обратными?

         Задания для самостоятельного решения.

Даны матрицы 
,   ,  ,   .

1. Какую матрицу нужно прибавить к матрице А, чтобы получить единичную матрицу Е?
2. Найти А+В.
3. Найти (-3)А.
4. Найти 5А.
5. Найти 2А+3В-2С.
6. Можно ли умножать матрицы и, если можно, указать размерность результата:
    а) ,  б) , в) .
7. Найти произведения АВ и ВА и сравнить результаты.
8. Найти АD и DА.
9. Найти АЕ и ЕА (Е - единичная матрица) и сравнить результаты.

Ответы

1. ;       2. ;       3. ;
4. ;    5. ;     6. а) можно, 2,5, б) нельзя, в) можно,2,15;
7. АВ = ,      ВА = ,    не равны;
8. , DA - не существует;     9.

         Самостоятельная работа № 1.

Матрицы. Операции над матрицами.

1.  Сложить матрицы А и В.

1)

2) ;

3) .

2.  Умножить матрицу на число .

1) ;

2) .

3.  Вычислить линейную комбинацию матриц.

1) ;

2) .

4.  Найти произведение матриц  А и В.

1) ;

2) ;

3) .

Список рекомендуемой литературы

1. Богомолов Н.В., Математика, Учебник для ССУЗов . – М.: Дрофа. 2010.  – 398 с.
2. Григорьев С.Г.Математика. Учебник для ССУЗов . – М.: Академия. 2010. – 384 с.        
3. Башмаков М.И. Математика. Учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования. – М.,: Академия. 2011. – 256 с.

Дополнительная литература

4. Г.Н. Матвеев  «Алгебра и начала анализа» ч.1. – М.: Наука. 2002. – 465стр.

Департамент образования города Москвы

Государственное автономное образовательное учреждение

Технологический колледж № 28

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

«Последовательности»

 ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА

СПЕЦИАЛЬНОСТИ:

 «Технология мяса и мясных продуктов»

«Товароведение и экспертиза потребительских товаров»

«Монтаж и эксплуатация холодильно- компрессорных машин и установок»

Авторы:  преподаватели

 Плотникова И.А.

Соколова Л.А.

Методические указания по выполнению практических работ по математике (алгебре и началам анализа) содержат следующие позиции:

- цель работы;

- какие знания и умения должен приобрести студент по выполнении работы;

- краткие сведения по теории;

- образцы решения примеров и задач по теме;

- задания для самостоятельного решения;

- контрольные вопросы для проверки теоретических знаний;

- общие рекомендации по выполнению самостоятельной работы.

          Методические указания     предназначены для студентов второго курса и преподавателей математики профессиональных колледжей.

Авторы: Соколова Людмила Александровна, Плотникова И.А.– преподаватели математики.

Рецензент и редактор Малькова Людмила Алексеевна, методист ГАОУ СПО ТК №28

Рукопись рассмотрена и обсуждена на заседании ЦМК естественнонаучных дисциплин, протокол № 2 от 23 октября 2013 г.

Практическая работа

Последовательности

Теоретическая часть

(Методические рекомендации)

Основные понятия.

Последовательность  - функция натурального аргумента. И функция и аргумент – дискретные величины. Больше того, аргумент принимает значения только из множества натуральных чисел.

Итак, если каждому натуральному числу   поставлено  в соответствие f некоторое число y, то говорят, что задана последовательность .

Для такой функции , .

Иногда пишут не , а , понимая, что значения аргумента:

1, 2, 3, …, n, …,   а  полученные значения функции  .

 называют общим членом последовательности.

Способы задания такой функции те же, что и функции непрерывного аргумента.

Например, если , то последовательность запишется в виде:

 или просто

 , или .

Графики такой функции можно строить тоже по-разному. Это либо привычная система координат:

Где на горизонтальной оси отмечаются значения аргумента: 1,2,3,…,n,… ,   а на вертикальной – соответствующие значения функции.

Либо числовая прямая:

И отмечаются только значения функции, понимая/подразумевая, что соответствующие  значения аргументов однозначно строго определены: 1,2,3,…,i,…  для каждого yi .

Последовательность задана, если указан способ получения любого ее члена.

Из всех ранее названных свойств функции для последовательностей представляют интерес некоторые из них, причем поведение аргумента строго задано  , т.е. .  В силу дискретности аргумента и дискретности функции не нужен анализ поведения функции в окрестности какой-то точки: можно просто вычислить значение функции. Так что, если уж и интересны какие-то свойства такой функции, то только при .

Ограниченность.

Последовательность  называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство

.

Геометрически это означает, что все значения функции находятся внутри интервала (-М;М).

Бывают последовательности, которые ограничены только сверху (определение дайте самостоятельно, это просто), либо только снизу. Таким образом, последовательность ограничена, если она ограничена и сверху и снизу.

 Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Для неограниченной последовательности при любом М>0 найдутся такие члены последовательности (хоть один), которые лежат вне интервала (-М;М).

Заметим, что число М не обязано быть «наименьшим».  

Например, последовательность {1/n} ограниченная. Она ограничена снизу числом 0 (либо числом –3; -0.7; и т.п.), сверху числом 1 (либо числом 6; 105; 3.09; и т.п.).

А последовательность {2n} неограниченная, так как нет такого числа М, чтобы для любого n  было бы меньше М.

Последовательность ,   т.е.    7, 7, 7, …, 7, …  - ограничена.

Пример:

 Дана функция/последовательность  , .

Выяснить, имеет ли она предел при .

Решение:

График этой функции:  

Ее значения 1; -1.

Выдвинуть гипотезу можно, например, А=0. И если взять , то в интервал (-0.3;0.3) не попадает ни одного значения функции. С таким же успехом опровергаются и все остальные предположения. Т.е. какой бы номер N не взять, найдется такой , что ни одно из f(n) не попадет в -окрестность А. Это означает, что данная функция не имеет предела ( что вовсе не противоречит здравому/бытовому смыслу). Так и пишут:   .

Если  предел  последовательности  существует и конечен, то такую последовательность называют сходящейся. Или, говорят, что последовательность  сходится  (сходится к А).

Если последовательность не имеет конечного предела, ее называют расходящейся.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Определение. Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого числи М>0 найдется такой номер N, что для всех n>N  выполняется неравенство .

Геометрически это означает, что какое бы число М>0 ни взяли, все члены последовательности , кроме может быть конечного их числа, лежат вне отрезка (-М;М).

Номер N, начиная с которого выполняется неравенство , вообще говоря зависит от М.

Примеры:  ;   ;  ;  .

Факт, что последовательность бесконечно большая, записывают так ,  или   .

Определение. Последовательность  называется бесконечно малой, если   или  .

Примеры: ;   ;   .

Другими словами, последовательность  называется бесконечно малой, если для любого положительного  найдется такое число N, что как только n>N, так , т.е. при   .

Теоремы о пределах.

Теорема 1 (связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями).  Если последовательность {уn} – бесконечно малая и все ее члены отличны от нуля, то последовательность  - бесконечно большая, и наоборот,  если последовательность {уn} – бесконечно большая, то последовательность  - бесконечно малая.

Пример: Последовательность   бесконечно малая при , а последовательность  - бесконечно большая при .

Теорема 2. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой/большой есть бесконечно малая/большая последовательность.

Замечание. Разность двух бесконечно больших последовательностей – неопределенность, которую нужно раскрыть: далеко не всегда в результате бывает ноль (или любая const). Неопределенность часто получается  и при делении как бесконечно малых, так и бесконечно больших.

Теорема 4. Для того, чтобы последовательность {yn} – сходилась к числу А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

.

Теорема 5. Если последовательность имеет предел, то он единственный. (Легко доказывается с помощью теоремы 4).

Теорема 6. Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание. Обратная теорема неверна. Например, последовательность   - ограничена, но она расходящаяся.

Теорема 7. Алгебраическая сумма/произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, ее предел равен соответствующей сумме/произведению пределов данных последовательностей.

Теорема 8. Если последовательности {xn}  и  {yn} сходятся, ,

, причем  при n=1,2,…   и , то последовательность  сходится и ее предел равен отношению пределов последовательностей {xn}  и  {yn}.

Замечание.  Если условия теоремы не выполняются, то появляются неопределенности. Раскрываются неопределенности по-разному,  в зависимости от последовательностей {xn}  и  {yn}.

Монотонность.

Определение. Последовательность {xn} называется возрастающей, если       x12<…nn+1<…;   неубывающей, если ; убывающей, если ; невозрастающей, если  .

Все такие последовательности называются монотонными.

Из определения монотонных последовательностей непосредственно следует: если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она ограничена; если монотонно убывающая последовательность ограничена снизу, то она ограничена.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Число е.

Рассмотрим последовательность .

Члены этой последовательности:

 .

Эта последовательность возрастающая (доказывается по определению возрастающей последовательности, пользуясь биномом Ньютона).

При любом n ее члены не превосходят 3 (доказательство этого факта есть в любом учебнике).

Итак,  последовательность - монотонно возрастающая и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Этот предел  обозначается буквой е (обозначение введено Л.Эйлером).

.

Это число больше 2 и меньше 3, т.е. 2).

Для более точного вычисления е использовался соответствующий ряд Тейлора. И его значение :

е=2.718281828459045… .

Как уже упоминалось, число е широко используется в математике, практических расчетах, например, показательная функция у= ех, логарифмическая функция  у= lnx (основание логарифма е).

Контрольные вопросы

1. Дать определение ограниченной последовательности.

2. Дать определение монотонной последовательности.

3. Дать определение  б.м.и б.б последовательности.

Задания для самостоятельного решения

 Задание 1. Дано:

1) ;   2) ;        3) ;   4) ;   5) ;     6) ;     7) ;        

 8) ;   9) ;        10) ;     11) ;       12) ;   13) ;        14) ;

15) ;     16) ;          17)  .

Надо для каждой последовательности

а) написать ее в  виде ;

б) для (1), (2), (3) дать геометрическую интерпретацию;

в) исследовать на монотонность;

г) исследовать на ограниченность;

д) исследовать на сходимость.

Пособие по математике для студентов 2-го курса

Соколова Людмила Александровна, преподаватель математики ГАОУ

ТК № 28

Плотникова Ирина Анатольевна, преподаватель математики ГАОУ ТК № 28

Сдано в печать 16.11.2013 г.

Формат бумаги 60х90/16

Тираж 30 экз.

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

109382, Москва, ул. Верхние поля, 27

Тел./факс 8(495)359-65-29

E-mail: 28-2@prof.educom.ru