Методические рекомендации по математике
методическая разработка на тему

Областное государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Ангарский техникум строительных технологий»

Элементы теории вероятности

Ангарск, 2014 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка……………………………………………………………4

Введение «Теория вероятностей»………………………………………………...5

Случайные события…………………………………………………………… …6-7

Алгебра событий…………………………………………………………………….7

Частота события и ее свойства………………………………….........................… 7-8

Классическое определение вероятности события…………………………………9

Элементы комбинаторики…………………………………………………………9-12

Основные теоремы……………………………………………………………….. 13-15

Задания для домашней контрольной работы……………………………………16-19

Список рекомендуемой литературы…………………………………………………20

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические рекомендации  для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины « Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО.

Изложение материала строится на основе изучения основных теоретических положений теории вероятностей. Методические указания написаны для обучающихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания. Цель методических указаний тем, кто окончил школу, но продолжает изучать математику. Данная тема имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, применение в прикладных задачах поможет в формировании логического мышления, в более строгом рассмотрении социальных закономерностей, расширению сферы математических знаний, общекультурного кругозора, но и указывают на их связь с реальностью, развивают умения применять эти знания в конкретных задачах. Приводимые примеры,  разъясняют общие положения теории. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы «Теория вероятностей».

Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, контрольные задания для самостоятельной работы,  список рекомендуемой литературы. Практическая часть реализуется на знаниях обучающихся, полученных в ходе теоретической подготовки.

Итоговая аттестация обучающихся проводится в соответствии с рабочей программой

 по специальности и завершается написанием итоговой письменной работы в форме экзамена.

Учебно-тематический план самостоятельных работ по учебной дисциплине «Математика».

- проработка конспектов занятий, учебной литературы;

- решать задачи методом перебора, а также  с использованием известных формул;

- вычислять вероятность событий, используя элементы комбинаторики;

- применять методы математической статистики.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

 «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».

Дьердь Пойа, венгерский математик

Теория вероятностей

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при массовых повторениях испытаний. Теория вероятностей –это наука, которая изучает закономерности наступления случайных событий, что позволяет оценить шансы наступления случайного события.
Возможность наступления случайного события зависит от условий, в которых оно рассматривается.
Умение оценивать вероятность наступления события очень полезно при принятии обоснованного решения, на пример стоит участвовать в лотерее или игре.

1. Случайные события

Основные понятия.

Под испытанием (опытом) понимается осуществление некоторого комплекса условий. Событием назовем всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Событие A в опыте называется достоверным, если при повторениях опыта оно всегда происходит.

Событие B в опыте называется невозможным, если при повторениях опыта оно никогда не происходит.

Событие в опыте называется случайным, если при повторениях опыта оно иногда происходит, иногда нет. Случайные события обозначаются  А, В, С и т.д.

Два события называются несовместными (совместными), если появление одного из них исключает (не исключает) появление другого. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если они попарно несовместны. Несколько событий в опыте называются совместными, если совместны хотя бы

два из них.

События в опыте называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Пример 1 Опыт - бросание игральной кости; события :

А1 - выпадение одного очка,

А2 - выпадение двух очков,

А3 - выпадение трех очков,

А4 - выпадение четырех очков,

А5 - выпадение пяти очков,

А6 - выпадение шести очков,

В - выпадение четного числа очков,

С - выпадение более семи очков,

D - выпадение не менее трех очков,

E - выпадение не более шести.

Достоверное событие в данном опыте - E, невозможное событие - С, остальные события - случайные. Первые шесть событий А1, А2, А3, А4, А5, А6 не могут быть выражены через более простые события и их называют элементарными событиями (элементарными исходами). Кроме того, они образуют полную группу несовместных равновозможных событий. Событие В можно выразить через более простые события : либо наступит А2, либо наступит А4, либо А6; следовательно , элементарным событием событие В не является.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Противоположные события обозначаются А и  (не А).

Пример 2. Опыт - два выстрела по мишени; события: А - ни одного попадания, - хотя бы одно попадание.

Достоверное событие в данном опыте - E, невозможное событие - С, остальные события - случайные. Первые шесть событий А1, А2, А3, А4, А5, А6 не могут быть выражены через более простые события и их называют элементарными событиями (элементарными исходами). Кроме того, они образуют полную группу несовместных равновозможных событий. Событие В можно выразить через более простые события : либо наступит А2, либо наступит А4, либо А6; следовательно , элементарным событием событие В не является.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Противоположные события обозначаются А и  (не А).

Пример 2. Опыт - два выстрела по мишени; события: А - ни одного попадания, - хотя бы одно попадание.

1) 0≤Р*(А)≤ 1, так как 0≤m≤n, следовательно, 0 ≤ ≤ 1

2) частота достоверного события равна 1, так как m=n.

3) частота невозможного события равна 0, так как m=0.

 2. Алгебра событий

Суммой или объединением событий А1, А2,..., Аn назовем событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

А1+А2+...+Аn=А1∪А2∪...∪Аn.

Произведением или пересечением событий А1, А2,..., Аn назовем событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

А1· А2·…·Аn =A1∩A2∩...∩An.

Пример 3. Опыт - два выстрела по мишени. Событие Аi - попадание в мишень при i - м выстреле (i =1;2).

Тогда событие В=А1+А2 - хотя бы одно попадание, событие С= 1+2 – хотя бы один промах, событие D= А1·А2 - попадание в цель дважды, Е= А1·2 + 1·А2 - ровно одно попадание.

3. Частота события и ее свойства

Если опыт воспроизведен n раз, а событие А произошло m раз, то частотой (относительной частотой) события А назовем Р*(А)=, т.е. отношение числа испытаний, в которых появилось событие А, к числу всех испытаний.

Свойства частоты.

4) Р*(А+В)=Р*(А)+Р*(В)-Р*(А·В).

Условной частотой события В относительно события А, обозначение Р*(В/А), назовем частоту события В при условии, что событие А уже произошло, то есть это число равно отношению числа опытов NAB, в которых произошли события А и В одновременно, к числу опытов NA, в которых появилось событие А, то есть P*(B / A) =

5) Р*(А·В)=Р*(А)·Р*(В/А).

Частота случайного события обладает свойством устойчивости, т.е. при увеличении числа опытов значения частоты события группируются около некоторого числа, характеризующего возможность появления данного события в данном опыте.

4. Классическое определение вероятности события

Исход опыта называется благоприятным событию А, если в результате опыта событие А свершилось. Вероятностью события A назовем число Р(А)=, где m – число благоприятных событию А исходов, n – число всех исходов в данном опыте.

Пример 4. Опыт- бросание игрального кубика. Событие А - выпадение числа очков, кратного 3. Пусть X – число очков, тогда все возможные исходы нашего опыта: (Х=1), (Х=2), (Х=3), (Х=4), (Х=5), (Х=6), равновозможны. Всего случаев n=6, благоприятных из них m=2, следовательно,

P(A) = = .

5. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов «Сколькими способами»?

При решении комбинаторных задач можно применять метод полного перебора, построение дерева возможных вариантов, правило умножения.

Задача 1. Сколько существует трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5, 7, если никакая из цифр не повторяется дважды.

Решение: На первом месте может быть любая из 4 цифр – 4 варианта, на втором месте – любая из трех оставшихся, это 3 варианта, наконец, на третьем месте – любая из двух, 2 варианта. Всего получается 4 * 3 * 2 = 24 возможности. (Решить задачу перебором вариантов и построением дерева возможных вариантов).

Ответ: 24 числа можно составить из данных цифр.

Задача 2. Сколько существует различных вариантов шифра замка, если код состоит из трех цифр.

Решение: Всего 10 арабских цифр. Первой в коде может стоять любая из 10 цифр. При каждом выборе первой цифры на второе место можно поставить любую из 10 цифр, значит, если бы код состоял из двух цифр, было бы 10 · 10 = 100 вариантов.
Для каждого набора кода из двух цифр есть 10 возможностей выбрать третью цифру. Значит, всего будет 10 · 10 · 10 = 1 000 различных вариантов кода.

Ответ: 1 000 вариантов кода (с повторением цифр)

Если бы все три цифры были разными, то первая цифра кода могла бы быть любая из 10. Так как вторая цифра не может совпадать с первой, то для каждого выбора первой цифры есть девять возможностей выбора второй цифры. Значит, всего будет 10·9=90 вариантов. Для каждого набора первых двух цифр остается восемь возможностей выбора третьей цифры. Значит, всего будет 10·9·8=720 вариантов.

Ответ: 720 вариантов кода (без повторения цифр)

Задача 3. В 9 классе 25 человек. Надо выбрать двоих дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Первым дежурным может быть любой из 25 учеников класса, а вторым может оказаться любой из 24 оставшихся. Применяя правило умножения, получаем 25·24=600 вариантов.
Однако при таком подсчете каждая пара дежурных оказалась сосчитана дважды: один раз при подсчете всех пар, в которые входит первый дежурный, и второй раз – при подсчете всех пар, в которые входит второй дежурный.
Значит, на самом деле было сыграно  = 300 вариантов.

Ответ: 300 вариантов.

Перестановки

В комбинаторике часто приходится решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений элементов называют перестановкой.
Напоминаю, что произведение нескольких первых натуральных чисел называется – факториал. Обозначение: n!; n! = 1 · 2 · 3 · … · n,где n – натуральное число.

Пример. Света, Люда и Женя договорились в течение трех дней по очереди поливать цветы в классе. Сколько у них есть способов установить порядок дежурства?

Решение: Первой поливать цветы может пойти любая из трех девочек. Тогда во второй день может пойти одна из двух оставшихся девочек, а в третий день последняя девочка. Значит, имеется 3 · 2 · 1 = 3! = 6 способов установить порядок дежурства.

Ответ: 6 способов.

Задача 1. Сколькими способами могут разместиться 5 покупателей в очереди в кассу?

Ответ: 120 (Р5 = 5! = 120)

Задача 2. Анаграмма – это «слово», полученное из данного слова перестановкой его букв (но не обязательно имеющее смысл). Сколько существует различных анаграмм слова «график»?

Ответ: 6! = 720 анаграмм.

Размещения

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.
Размещения обозначаются символом , где m – число всех имеющихся элементов, n – число элементов в каждой комбинации. (А – первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение», приведение в порядок). При этом полагают, что n<m.
Число размещений можно вычислить по формуле в факториальной форме:

Задача 1. Сколькими способами могут быть присуждены 1-я, 2-я и 3-я премии трем лицам, если число соревнующихся равно 10?

Ответ: 720 (А103 = 720)

Задача 2. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

Ответ: 1680

Сочетания

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n – натуральные числа, причем n < m).
Число сочетаний из m элементов по n обозначаются  (С – первая буква французского слова combination – сочетание).
Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:

Задача 1. Сколькими способами можно выбрать 6 разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?

Ответ: 462 (С116 = 462)

Задача 2. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Ответ: 210.

Имеется совокупность n объектов, назовем ее генеральной совокупностью. Из генеральной совокупности наудачу отбираем m объектов, эту отобранную совокупность назовем выборкой.

Выборка может быть упорядоченной, если порядок объектов (элементов) играет роль, и может быть неупорядоченной, если порядок элементов роли не играет.

Выборка может быть без повторений, если элементы повторяться не могут, и может быть с повторениями, если элементы в выборке повторяются.

Например, телефонный номер 260-61-51 - упорядоченная в выборка с повторениями из десяти цифр по семи.

Упорядоченная выборка из n элементов по m называется размещением, неупорядоченная выборка из n элементов по m называется сочетанием. Число размещений и сочетаний c повторениями и без повторений из n элементов по m можно найти из следующей таблицы.

Таблица 1

Пример 5. Два счета из десяти выполнены с ошибками. Найти вероятность того, что из четырех взятых на проверку счетов один счет окажется с ошибками.

Решение.Воспользуемся классической формулой Р(А)=, всего случаев , так как имеем дело с неупорядоченными выборками без повторений, благоприятных из них . Следовательно,

Запомните: 0!=1.

6. Основные теоремы

6.1 Теорема 1. Теорема сложения вероятностей.

Р(А1+А2+А3+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+...+Р(Аn) - Р(А1·А2) - Р(А1·А3) - … -Р(А1·Аn) - Р(А2·А3) - ... - P(An-1·An)+P(А1·А2·A3)+P(А1·А2·A4)+...+P(Аn-2·Аn-1·An)+...+ +(-1)n-1 P(A1·A2·...·An).

Следствие 1.

Если события А1, А2, ... ,Аnнесовместны, то

Р(А1+А2+А3+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+...+Р(Аn).

Следствие 2.

Вероятность суммы двух любых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, то есть Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В).

Замечание.

P(A) + P() = 1, откудаP() = 1−P(A).

6.2 Теорема 2. Теорема умножения вероятностей.

Условной вероятностью Р(А/В) событияАотносительно события В назовем вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Теорема умножения.

Р(А1·А2·А3·...·Аn)=Р(А1)·Р(А2/А1)·Р(А3/А1·А2) ·...·Р(Аn/А1·А2·А3·...·Аn-1).

Решение. Правило (теорема) умножения для двух событий. Вероятность произведения двух любых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно первого, то есть

Р(А·В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).

Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность события А относительно события Bравна безусловной вероятности события А, то есть Р(А/В)=Р(А). Нетрудно доказать, что если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

Следствие. Если события А и В независимы, то Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

Пример 6. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов. Какова вероятност

Рассмотрим события: А- студент знает ответ на первый вопрос, В- студент знает ответ на второй вопрос. Найдем Р(А·В).

Р(А·В) = Р(А)·Р(В/А) =

Определение. Несколько событий называют независимыми (или независимыми в совокупности), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следовательно, если А1, А2, ... ,Аn независимы, то справедливо правило умножения для независимых событий

Р(А1·А2·А3·...·Аn)=P(A1)·P(A2)·P(A3)·...·P(An).

Пример 7. Два студента выполняют независимо друг от друга задание. Вероятность того, что задание будет выполнено первым студентом 0,6; для второго студента эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что

• оба студента выполнят задание;

• только один из них выполнит задание;

• хотя бы один из них выполнит задание.

Решение.

События: А - задание выполнит первый студент, В - задание выполнит второй студент. По условию Р(А) = 0,6; Р(В)=0,8; следовательно, Р() = 1–0,6 = 0,4; P() = 1–0,8 = 0,2.

• Р(А·В) = /события А и В - независимые события / = Р(А)·Р(В) = 0,6·0,8 = 0,48.

• Р(А·+ ·B) = / A·и ·B - несовместные события /= Р(А·) + Р(·B) = Р(А)·Р() + Р()·Р(В) = 0,6·0,2 + 0,4·0,8 = 0,44.

• P(A+B)=/ А и В-совместные события /= Р(А)+Р(В)-Р(А·В)=0,6+0,8– –0,48=0,92.

6.3 Теорема 3. Формула полной вероятности

Пусть в результате опыта может появиться какое-либо из несовместных событий Н1, Н2,..., Нn, образующих полную группу. Событие А может появиться только вместе с одним из этих событий. События Н1, Н2,..., Нn называются гипотезами. Тогда вероятность события A равна P(A)=P(Hi)P(A/Hi).

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Пример 8. На стройку поступают блоки с трех баз, причем 50% с первой базы, 30% со второй базы, остальные с третьей базы. Вероятность того, что блок c первой базы бракованный - 0,09; со второй - 0,1; с третьей - 0,08. Найти вероятность того, что взятый наудачу на стройке блок окажется бракованным.

Решение.

Рассмотрим гипотезы:

Н1 -взятый наудачу блок поступил с первой базы,

Н2 -взятый наудачу блок поступил со второй базы,

Н3 -взятый наудачу блок поступил с третьей базы.

Тогда из условия Р(Н1)=50/100=0,5; Р(Н2)=30/100=0,3; Р(Н3)=(100-50-30)/100 = 0,2.

Событие А -взятый наудачу на стройке блок окажется бракованным.

По условию Р(А/Н1)=0,09; Р(А/Н2)=0,1; Р(А/Н3)=0,08.

Следовательно, по формуле полной вероятности

Р(А)=0,5·0,09+0,3·0,1+0,2·0,08=0,091.

6.4 Теорема 4. Формула Байеса (теорема гипотез)

Пусть в условиях предыдущей теоремы событие А наступило и мы нашли вероятность Р(А). Тогда вероятности гипотез в связи с появлением события А, т.е. найдем Р(Нi/А), равны  где i=1,2,...,n.

Пример 9. В предыдущем примере событие А наступило, т.е. взятый наудачу на стройке блок оказался бракованным. Определить вероятность того, что этот блок поступил со второй базы.

Решение.

.

6.5 Теорема 5. Формула Бернулли

Производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р. Вероятность того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно m раз равно Pn(m)=.

Пример 10. Каждый из пяти независимо работающих элементов отказывает с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что откажут три элемента из пяти.

Решение.

Р5(3)= =10·0,064·0,36 ≈ 0,23.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ЗАДАНИЕ №1 Случайные события

ЗАДАНИЕ №2. Элементы комбинаторики

Вариант 1.

Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11, 11, – 1.

Группу детского сада (20 человек) ведут на прогулку. Сколько существует способов поставить детей в пары в колонне?

Костя сдает экзамен по биологии. Ему нужно выучить 21 билет. Он знает 11 билетов, а два только прочитал. Какова вероятность того, что на экзамене он вытащит билет, который даже не читал?

Вариант 2.

Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда:15, 4, 12, – 3, 15.

В отряде 25 бойцов. Двоих надо отправить в разведку. Сколько существует вариантов это сделать?

Наташа выучила 12 билетов по информатике из 20. На три билета у неё нет ответов. Какова вероятность, что на экзамене по информатике ей попадется билет, которого она не знает?

ЗАДАНИЕ №3. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий.

1. В  лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность выиграть хотя бы один раз,  купив 3 билета?

2. У шести животных имеется заболевание, причем вероятность выздоровления равна 0,98. Какова вероятность того, что:

  а) выздоровят  все  шестеро  животных,

  б) выздоровят  четверо?

   3. В магазине работают 2 мужчин и 7 женщин. Трое из них должны пойти в отпуск летом. Кто именно – определяется жребием. Найти вероятность того, что летом в отпуск пойдет хотя бы один мужчина.

   4. Среди 10 документов, поступивших в офис, два оформлены с ошибками. Для проверки наудачу взяли 4 документа. Какова вероятность того, что среди ни окажется:

   а) хотя бы один неверно оформленный документ,

   б) только один  неверно оформленный документ.

   5. Рабочий обслуживает 3 станка, каждый из которых работает независимо друг от друга. Вероятность того, что станки потребуют ремонта равна соответственно: 0,4; 0,3; 0,2. Найти вероятность того, что придется ремонтировать все станки.

6. Среди 15 счетов 3 счета оформлены неверно. Ревизор наудачу берет 5 счетов. Найти вероятность того, что среди взятых счетов:

    а) два оформлены неверно,

    б) все оформлены верно.

7. В пачке 10 тетрадей, среди них 4 тетради в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых трех тетрадей хотя бы одна будет в клетку.

8. Из 20 методичек по математике 3 по теории вероятностей. Студент наудачу взял две методички.

   Найти вероятность того, что среди взятых:

    а) нет методичек по теории вероятностей,

    б) есть одна методичка  по теории вероятностей.

9.Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести научных работников необходимо сформировать комитет из 10 человек. Найти вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четыре научных работника.

10.В урне лежат 5 красных, 7 синих и 11 белых шаров. Какова вероятность, что вынутый шар окажется не белым?

ЗАДАНИЕ № 4. Теорема полной вероятности события.

1. Первый рабочий изготовил 40 деталей. Из которых 40 деталей, из которых 4 бракованных. Второй  абочий изготовил 30 таких же деталей, из которых 2 бракованных. Все изготовленные детали положены в одну тару и доставлены в ОТК. Найти вероятность того, что деталь, взятая на удачу контролером  ТК, соответствует ГОСТу.

2. Сборщик получил 3 ящика деталей: в первом ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных; во втором– 50, из них 10 окрашенных; в третьем – 30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика окажется окрашенной.

3. На трех пресс-формах изготавливают детали, причем на  первой  вырабатывается 50% всех деталей; на второй 30% и на третьей – 20%. При этом вероятность появления брака с первой пресс-формы составляет 0,05; со второй – 0,08; с третьей – 0,1. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, из числа изготовленных, соответствует стандарту.

4.Радиолампа поступает с одного из двух заводов с вероятностью 0,4 и 0,6 соответственно. Вероятность бесперебойной работы лампы составляет: для лампы первого завода – 0,1; второго завода – 0,2. Найти вероятность того, что лампа работает бесперебойно.

   5. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь будет бракованной?

6. Две литейные машины изготавливают по 250 однотипных отливок в смену, которые хранятся в одном месте. Для первой машины брак составляет 3%, а для второй – 2%. Найти вероятность того, что на удачу взятая отливка будет годной.

9.Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести научных работников необходимо сформировать комитет из 10 человек. Найти вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четыре научных работника.

10.В урне лежат 5 красных, 7 синих и 11 белых шаров. Какова вероятность, что вынутый шар окажется не белым?

ЗАДАНИЕ №5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа.                              

1. Вероятность малому предприятию быть банкротом равна 0,2. Найти вероятность того, что из    восьми малых предприятий сохранятся:

а) два,

б) более двух.  

2. На факультете насчитывается 1825 студентов. Найти вероятность того, что 1 сентября является днем рождения четырех студентов.

3. В среднем 20% пакетов акций продаются на аукционе по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций по первоначальной цене будет продано:

а) менее 2 пакетов,

б) хотя бы один пакет.

4. В поселке из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 300 имеют холодильники.

5. Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число поврежденных при транспортировке изделий составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10000 изделий будет повреждено:

а) 3,

б) менее трех.

6. Предполагается, что 10%новых малых предприятий прекращают деятельность в течение года.

     Найти вероятность того, что из 6 предприятий 2прекратят деятельность.  

7. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая страховая сумма будет выплачена по:

    а) трем договорам,

    б) менее двум договорам.

8.Контрольную работу по математике успешно выполняют 70 % студентов. Найти вероятность того,  что из 400 студентов работу выполнят 180.

9.Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что в учебнике есть опечатки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит:

     а) 5 бракованных книг,

     б) менее двух бракованных книг.

10. При проверке установлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 млн. руб.

      Найти вероятность того, что среди 1800 банков такой уставной фонд имеют:

       а) не менее 300,

       б)от 300 до 400.  

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб.пособие для втузов / Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. - 7-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2006. - 448 с.
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб.пособие для вузов / В.Е. Гмурман. -  9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2004. - 404 с.
3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб.пособие / В.Е.Гмурман. - 10-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 404 с.: ил.
4. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб.пособие для вузов / В.Е.Гмурман. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 404 с.
5. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.пособие / В.Е. Гмурман. - 11-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с. : ил.
6. Коробейникова, И.Ю. Теория вероятностей. Случайные величины: учеб.пособие / И.Ю.Коробейникова, Г.А.Трубецкая. - Челябинск: АТОКСО, 2004. - 86с.
7. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.для вузов / Н.Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 2006. - 573 с.
8. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / Н.Ш.Кремер. - М.: ЮНИТИ, 2003. -  543 с.
9. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. вузов / Н.Ш.Кремер. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2007. - 551 с.

Дополнительная:

1. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей: учеб. / Б.В.Гнеденко. - 7-е изд., испр. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 318 с.

Областное государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Ангарский техникум строительных технологий»

Логарифмы и их свойства

                                      методические указания к самостоятельной работе по учебной дисциплине «Математика» для обучающихся по специальностям СПО

СОДЕРЖАНИЕ

1. Пояснительная записка…………………………………………………4
2. Введение…………………………………………………………………5
3. Логарифмы и их свойства……………………………………………..6-7
4. Логарифмические уравнения…………………………………………7-12
5. Логарифмические неравенства……………………………………….13-17
6. Самостоятельная работа……………………………………………….18-20
7. Литература………………………………………………………………21

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО.

Изложение материала строится на основе формирования знаний основных свойств логарифмов. Введены определение логарифма, формулы действий с логарифмами, разобраны примеры решений логарифмических уравнений и неравенств. Модификация уравнений, формируются навыки решений с усложненными компонентами. Обучающиеся овладевают умениями решать логарифмические уравнения и неравенства c использованием определения логарифма, свойств логарифмов, метода подстановки. Материал содержит методы и приемы, которые позволяют эффективно решать логарифмические уравнения и неравенства, позволяют использовать их преподавателем на уроках.

 Раздел «Логарифмы» является наиболее сложной темой обучающихся. Методические указания написаны для обучающихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания. Цель методических указаний тем, кто окончил школу, но продолжает изучать математику. Данная тема имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления обучающихся, расширению сферы математических знаний, общекультурного кругозора. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства».

Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы,  список используемой литературы. Практическая часть реализуется на знаниях обучающихся, полученных в ходе теоретической подготовки.

Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках экзаменационной работы.

.Введение

  Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны.

   На всём протяжении XVI в. быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчётов. Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчётах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

   В результате появилось новое понятие в математике – логарифм. Понятие логарифма помогает установить обратную связь со степенью, построить единую теорию математики.

Историческая справка

   В наше время прогресс науки неотделим от достижений талантливых математиков-прикладников.   Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец. Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание предмета прикладного исследования.

                                                     Б. В. Гнеденко

         «Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу XVI века свойства прогрессий, - пишут М.В. Чириков и А.П. Юшкевич. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные  и дробные показатели.

   Логарифмы изобрели независимо друг от друга шотландский любитель математики Джон Непер (1550-1617) и также любитель математики – часовщик и мастер астрономических приборов швейцарец И. Бюрги (1552-1632), работавший вычислителем с астрономом И. Кеплером. Их цель была одна – желание дать новое средство арифметических вычислений.

   Они занимались вычислением логарифмических таблиц. При их составлении они руководствовались идеей, высказанной Архимедом, а затем более подробно исследованной М. Штифелем в работе «Общая арифметика» (1544 г.).

    Таблицы логарифмов и логарифмическая линейка свыше 350 лет оставались надёжным аппаратом для приближённых, но быстрых вычислений. Они в значительной мере содействовали ускорению научного и технического прогресса. Однако с появлением ЭВМ, а особенно с изобретением портативных микрокалькуляторов логарифмические таблицы практически потеряли своё значение вычислительного аппарата.

   Натуральные логарифмы имели и продолжают иметь не только практическое значение, но и чисто теоретическое в математическом анализе.

Учебно-тематический план самостоятельных работ по учебной дисциплине «Математика».

- систематическая проработка конспектов занятий;

- нахождение логарифмов чисел по основанию; выяснение, при каких значениях х существует данный логарифм;

- вычисления и решение уравнений с использованием различных свойств логарифмов; вычисления с применением логарифмических формул;

- нахождение х по данному его логарифму;

- вычисление логарифмов с помощью микрокалькулятора; выражение данного логарифма  через десятичный и вычисление его на микрокалькуляторе с точностью до 0,01; выражение данного логарифма через натуральный и вычисление на микрокалькуляторе с точностью до 0,01; выражение данного логарифма через логарифм с другим основанием;  

- выяснение, является ли положительным или отрицательным логарифмическое число; сравнение с единицей числа х в логарифмическом уравнении; выяснение, является ли возрастающей или убывающей данная логарифмическая функция;

- установление, какое из данных двух уравнений является следствием другого уравнения; решение логарифмических уравнений; решение систем уравнений;

- решение логарифмических неравенств; нахождение целого решения неравенства на данном отрезке.

Логарифмы

Определения:

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов:

Правила действий с логарифмами (a, b, c > 0)

1. логарифм произведения:

2. логарифм частного:

3. логарифм степени:

4. логарифм степенного основания:

5. логарифм корня:

6. переход к новому основанию:

Дополнительные формулы:

Логарифмические и показательные уравнения и неравенства обычно решаются путем приведения всех выражений, содержащих логарифмические и показательные функции, к одному основанию и последующей замены неизвестной, сводящей задачу к решению алгебраического уравнения или неравенства.

При решении неравенств используют свойства:

Логарифмические уравнения .

 Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

 Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида  .         (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение: .

Пример 1. Решить уравнения:

 a) b)       c)  

Решение. Используя утверждение 1, получим

 a) или x = 8;     b) или x = 1/3;     c)  или x =1

 Утверждение 2. Уравнение (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)         

Утверждение 3. Уравнение равносильно одной из систем         

f(x) = g(x),        f(x) = g(x),

h(x) > 0,        h(x) > 0,

h(x) ≠ 1,        h(x) ≠ 1,

f(x) > 0,        g(x) > 0.

 Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x)  и  

 или

 и   вообще говоря, неравносильны Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Приведем основные способы решения логарифмических  уравнений.

I. Использование определения логарифма 

Пример 2. Решить уравнения

 a)  b)         c)d.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

 5 +3

 или

 = 8 - 5,       = 1.

 Опять используя определение, получим

x - 3 = 2,     x = 5.

 Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

    =  = .

 Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

 b) Аналогично примеру a) получим уравнение  

 откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

 c) Аналогично примеру a), получим уравнение

= 9.

 Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение - 4x - 5 = 0 с решениями = -1 и = 5. После проверки остается лишь x = 5.

 d) Используя определение логарифма, получим уравнение

 (- 8x + 15) =

 или, после элементарных преобразований,

+ 6x-7 = 0,

 откуда = -7 и = 1. После проверки остается x = 1.

II. Использование свойств логарифма 

Решить уравнения:

a)

b)

с)

d)2

e)

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)                x > 0,

          x(x + 3) = x + 24,

           + 2x - 24 = 0,

            = -6,  

        Ответ: 4

 b)  

 откуда, используя определение логарифма, получим

 или

- 4x + 1 = 1/2(- 6x + 5),

 откуда получаем уравнение

- 2x - 3 = 0

 с решениями  = -1 и = 3. После проверки остается лишь x = -1.

 c) ОДЗ уравнения: x , получим уравнение :

Следовательно,  .

 d) ОДЗ уравнения - множество хопределяется из системы неравенств         

Получим равносильное уравнение:,

или ,

 получим равносильное уравнение

 (x - 2)|x - 4| = 1.

 Поскольку в ОДЗ x - 2 = |x - 2| уравнение можно записать следующим образом

 |x - 2||x - 4| = 1     или     | - 6x + 8| = 1

 последнее уравнение (см. свойства модуля) равносильно совокупности уравнений         

- 6x + 8 = 1,

- 6x + 8 = -1,

 откуда получим: = 3, = 3 +    и   = 3 -  Ï ОДЗ. Таким образом, корнями исходного уравнения являются  = 3   и   = 3 + .

е ) ОДЗ данного уравнения 1-2х, х,

,

Получим равносильное уравнение:

,  , решив уравнение второй степени, получим корни:

Учитывая ОДЗ, ответ: -2-.

III. Метод подстановки

 В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к алгебрическому уравнению относительно новой переменной. Например, уравнение F() = 0, где F(x) - алгебраическая рациональная функция, посредством подстановки  = t сводится к алгебраическому уравнению относительно t, R(t) = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) - 3lgx + 2 = 0,

b) 

c)

d)

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x Обозначив lgx = t, получим квадратное уравнение

- 3t + 2 = 0,

 решения которого = 1 и = 2. Следовательно, lg x = 1,lg x = 2,

 откуда = 10 и = 100. Оба корня входят в ОДЗ.

 b) ОДЗ уравнения - множество (1;). Поскольку  подстановкой t = получим квадратное уравнение

 4 - 3t - 1 = 0 ,

 решениями которого являются = -1/4 и = 1. Таким образом,         

= -1/4,      х-1=,   х=1+

= 1,           х-1=2,    х=3.

 c) ОДЗ уравнения - множество (0;+). Так как

100x = = =,  

10x = = =  

подстановкой t = lgx сведем исходное уравнение к квадратному уравнению

 + + t = 14

 или

 2+ 7t - 9 = 0

 откуда = -9/2 и = 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим  и = 10.

 d) ОДЗ уравнения - множество (0;1)(1;+).

 Поскольку  уравнение примет вид или 2· = 50, откуда = 25 или =      lgx = 2   x = 100.

IV. Уравнения, содержащие выражения вида 

Пример 5. Решить уравнения :

Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы         

.

В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому, логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2, получим равносильное уравнение

 или  

 Обозначив = t, получим квадратное уравнение

- t - 2 = 0

 Решениями, которого являются = -1 и = 2.

Следовательно, = -1,

                              = 2,

 откуда         x + 2 = 1/2,

                        x + 2 = 4

 или         = -3/2,  = 2. Оба корня входят в ОДЗ.

 b) ОДЗ уравнения - множество (0;1)и(1;+). Поскольку

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим

     или = 1, откуда x = 2.

Логарифмические неравенства 

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ ,   ≤ .

Пример 1. Решить неравенства

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак < ).

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

Областное государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Ангарский техникум строительных технологий»

Производная функций

методические указания к самостоятельной работе по учебной дисциплине «Математика» для обучающихся по специальностям СПО

 Ангарск, 2013г.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка………………………………………………………………………

Основные понятия…………………………………………………………………..

Формулы производных функций…………………………………………………

Примеры заданий с решениями………………………………………

Задачи для самостоятельного решения………………………………

Литература………………………………………………………

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины « Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО.

Изложение материала строится на основе понятия функции. Сначала читатель знакомится с понятием производной, потом с основными формулами производных функций. Нахождение производной сложной функции  вызывает трудности у студентов, так как в повседневной жизни с понятием производной встречаться не приходится.

Методические указания написаны для обучающихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания по теме « Производная». Цель методических указаний тем, кто окончил школу, но продолжает изучать математику. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы « Производная функции». Закреплению понятия производной служит рассмотрение примеров вычисления производной по определению. Следует иметь в виду, что основная цель их решения состоит в отработке понятия производной, а не в выработке навыков ее нахождения с использованием определения. Формулы дифференцирования полезно внести в таблицу, которой обучающиеся могут пользоваться в ходе решения задач.

Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы, контрольную работу, списки используемой литературы.

Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках экзамена.

Производная функции

Вводные замечания

Пусть это будут расстояния  Приращение пути  мы делим на приращение времени . Частное

В математике существует понятие дифференциальное исчисление. Источником дифференциального исчисления были два вопроса:

1. о разыскании касательной к произвольной линии,
2. о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Оба они привели к одной и той же вычислительной задаче, которая и легла в основу дифференциального исчисления. Эта задача состоит в том, чтобы по данной функции f(x) отыскать другую функцию f′′(x)  , получившей позднее название производной и представляющую скорость изменения функции f(x) относительно изменения аргумента.

В таком общем виде задача была поставлена Ньютоном и в исходной форме Лейбницем в 70-х и 80-х годах 17-го в. Но еще в предыдущие полвека Ферма, Паскаль и другие ученые фактически дали правила для разыскания производных для многих функций.

Ньютон и Лейбниц завершили это развитие; они ввели общие понятия производной, а также обозначения, очень облегчавшие вычисления.

Скорость

Чтобы определить скорость поезда, мы отмечаем, на каком километре пути он находился в момент времени , а затем в момент

движения в момент . Но чем меньше , тем точнее характеризуется эта быстрота. Поэтому скоростью в момент времени  называют предел, к которому стремится отношение

Определение.  Производной функции называется предел, к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Основные правила дифференцирования

Непосредственное вычисление производной функции с помощью предела представляет собой громоздкие вычисления. Значительно проще вычислять производные, применяя правила дифференцирования.

Правило 1. Дифференцирование постоянной.

Если y=C=const, то .

Правило 2. Дифференцирование алгебраической суммы.

Правило 3. Дифференцирование произведения

Правило 4. Дифференцирование частного

Производная сложной функции

Производная степенной функции

 Производная иррациональной функции.

Если , то

В частности, если       , то

Производные тригонометрических функций

Производная логарифмической функции

(

Производная показательной функции

В1. Найдите производную функции:

ЛИТЕРАТУРА

1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл./Ш.А. Алимов – М.: Просвешение, 5012.
2. Повторяем и систематизируем курс алгебры и начала анализа: / В.С. Крамор – М.: Просвещение, 2009.

3.        Гусев В.А. Математика : учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / С.Г.Григорьев,С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева.-М.: Академия,2011

4.        Выгодский М.Я. Справочник по высшей  математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ :Астрель, 2006. 3.        Кутасов А.Д. Пособие по математике для поступающих в вузы/ А.Д. Кутасов; под редакцией Г.Н.

5.        Яковлева. – М. : «НАУКА», 2005 – 93с.

6.        Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу / О.Н. Доброва. – М.: « Просвещение», 2008

Областное государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Ангарский техникум строительных технологий»

Тригонометрические уравнения

методические указания к самостоятельной работе по учебной дисциплине «Математика» для обучающихся по специальностям СПО

Ангарск, 2014 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка…………………………………………………………………..4

1.Введение………………………………………………………… ……………………. 5-8

2.Основные понятия

Тригонометрический круг…………………………………………………………… …9-10

Тригонометрическая таблица углов…………………………………………………….11

Тригонометрические формулы………………………………….........................… ……11-13

3.Простейшие тригонометрические уравнения………………………………………...13

4.Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным………………………...14-18

5.Однородные тригонометрические уравнения…………………………………………18-23

6.Самостоятельная работа

Приложение 1………………………………………………………………………………24-25

Приложение 2……………………………………………………………………………….26-27

Приложение 3……………………………………………………………………………….28-29

Литература………………………………………………………………………………….30

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины « Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО.

Изложение материала строится на основе формирования представлений об единичной окружности как основной модели тригонометрии. Введены понятия простейших тригонометрических уравнений, схемы их решений. Модификация уравнений, формируются навыки решений с усложненным аргументом. Обучающиеся овладевают умениями решать тригонометрические уравнения путем введения новой переменной, способом разложения на множители, однородные тригонометрические уравнения.

Раздел «Тригонометрия» является наиболее сложной темой обучающихся. Методические указанияспособствуют развитию логического мышления обучающихся, расширению сферы математических знаний, общекультурного кругозора.Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы «Тригонометрические уравнения».

Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Данная методическая разработка содержит введение, теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы,  список используемой литературы. Практическая часть реализуется на знаниях обучающихся, полученных в ходе теоретической подготовки.

Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках экзаменационной работы.

Учебно-тематический план самостоятельных работ по учебной дисциплине «Математика»

• проработка конспектов занятий, учебной литературы;
• сформировать умения решать простейшие тригонометрические уравнения;
•  решение уравнений, сводящихся к квадратным;
• решение уравнений вида asinx + bcosx = c;
• решение уравнений с помощью разложения левой части на множители;
• контрольная работа по теме: «Тригонометрические уравнения»

1.Введение

История развития тригонометрических понятий.

Тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии, однако тригонометрические функции, с помощью которых связываются элементы треугольника, - это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения - уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций, - изучаются методами алгебры. Таким образом, тригонометрия - раздел математики, использующий достижения других важных ее разделов.

Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Термин «тригонометрия» дословно означает «измерение треугольников». Его ввёл в употребление в 1595г. немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. Тригонометрия - раздел математики, который изучает зависимости между углами и сторонами треугольников, а также свойства тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса. К концу 17 века почти все эти функции были уже, по существу, известны. Правда, самого понятия тригонометрических функций, как и их обозначений, тогда ещё не существовало. Вместо них говорили о длинах некоторых хорд, касательных, секущих в окружности определённого радиуса. В тригонометрии изучались три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т. е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через её центр (сферическая тригонометрия).Изучение свойств тригонометрических функций началось при исследовании свойств сферической геометрии. Древние астрономы, наблюдая за движением небесных светил, обрабатывали измерения, необходимые для ведения календаря, определения время начала сева и сбора урожая и дат религиозных праздников. По звёздам определялся курс корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звёздным небом с незапамятных времён вели и астрологи. Естественно, все измерения, связанные расположением светил на небосводе, являются косвенные. Прямые — осуществлялись только на поверхности Земли. Но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами. И тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева или размеры острова в море, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие, а поскольку звёзды и планеты представлялись точками на небесной сфер то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Её считали разделом астрономии.

Отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы и астрологи Междуречья научились предсказывать положения Луны и Солнца, достигнув в этом больших успехов. От них мы унаследовали систему измерения углов в градусах, минутах и секундах, основанную на секундах в принятой ими шестидесятеричной системе исчисления. Первые по-настоящему важные достижения в математике, в частности в тригонометрии, принадлежат древнегреческим учёным.

В Древней Греции тригонометрия как часть астрономии достигла значительного развития. Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника, т. е. определения его элементов по двум данным элементам, из которых хотя бы один — сторона треугольника. Для решения этой задачи вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих различным центральным углам круга постоянного радиуса. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены астрономом-математиком Гиппархом из Никеи (II в. до н. э.). Гиппарх был основоположником приложения математики к географии, кроме того, он составил звездный каталог, довольно точно определил расстояние от Земли до Луны и ввел географические координаты — широту и долготу. Сочинения Гиппарха до нас не дошли. Но многие из них вошли в «Альмагест» — знаменитое сочинение древнегреческого астронома Клавдия Птолемея. Альмагест — классическое сочинение, в котором изложена античная теория движения небесных тел, геоцентрическая система мира. Эта система просуществовала до XVI в., когда появились труды Н. Коперника с изложением новой гелиоцентрической системы мира. «Альмагест» содержит элементы прямолинейной и сферической тригонометрии, описание астрономических инструментов, звездный каталог таблиц хорд и др. Таблица хорд Птолемея составлена в шестидесятеричной системе счисления через полградуса от 0 до 180° и играла такую же роль, как таблица синусов (т. е. полухорд), так как синус есть половина хорды окружности единичного радиуса, стягивающей дугу, соответствующую двойному углу. Таблицы синусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и линию косинуса. Техника тригонометрических вычислений (применявшихся для решения прямоугольных треугольников) получила значительное развитие в Индии. Так, для синуса 3°45' Бхаскара в своих таблицах указывает значение которое дает семь верных десятичных знаков. Дальнейшего развития тригонометрические таблицы достигли в трудах ученых стран ислама, которые ввели понятие линии тангенса. Абу-л-Вафа (X в.) пользовался также величиной, обратной косинусу (секансом) и синусу (косекансом), и составил таблицу синусов через каждые 10'. Самые точные таблицы в начале XV в. были составлены ал-Каши. Большой точности таблицы тригонометрических функций составил Региомонтан (1436—1476) и другие европейские ученые XVI—XVIII вв.В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. под названием «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к научению мудролюбивыхтщателей». В издании этих таблиц участвовал Л. Ф. Магницкий. Индийские ученые положили начало учению о тригонометрических величинах, которые они рассматривали в пределах первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в индийских астрономических сочинениях уже в IV — V вв. Заменив хорду синусом, индийцы вначале называли синус «ардхаджива», т. е. половина хорды («джива» — хорда, тетива лука), а позже просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», означающее по-арабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» было переведено в XII в. на латынь соответствующим словом sinus. Косинус индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до четверти окружности). В XV в. Региомонтан, как и другие математики, применял для понятия «косинус дуги (х)» латинский термин sinuscomplementi, т.е. синус дополнения, имея в виду . От перестановки этих слов и сокращения одного из них (cosinus) образовался термин «косинус», встречающийся в 1620г. у английского астронома Э. Гунтера, изобретателя логарифмической линейки.В IX — X вв. ученые стран ислама (ал-Хабаш, ал-Баттани, Абу-л-Вафа и др.) ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс, секанс и косеканс. В частности, ал-Баттани установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол можно определить отношением одного катета к другому. Происхождение названий двух тригонометрических функций, тангенса и секанса (термины, введенные в 1583 г. немецким математиком Т. Финком), связано с геометрическим их представлением в виде отрезков прямых. Латинское слово tangens означает касающийся (отрезок касательной), secans — секущий (отрезок секущей). Термины «котангенс» и «косеканс» были образованы в средние века по аналогии с термином «косинус». Все три термина вошли во всеобщее употребление в первой половине XVII в. Сферическая тригонометрия, непосредственно применявшаяся в астрономии, начала развиваться раньше плоской как часть астрономии и самостоятельно не существовала. Выдающийся ученый Насир ад-Дин ат-Туси (1201 — 1274), уроженец иранского города Туc, первый открыл путь к отделению тригонометрии от астрономии и выделению ее в самостоятельную дисциплину. Его труд «Китабаш-шаклал-кита» (книга о фигуре из секущих), называемый также «Трактатом о полном четырехугольнике», является первым в мире сочинением, специально посвященным тригонометрии. В нем достаточно полно изложено то, что было установлено раньше, а также отдельные исследования самого автора. Тригонометрический труд ат-Туси, как полагают некоторые ученые, оказал влияние на европейских математиков, в частности на Региомонтана.В XV в. Региомонтан сыграл в Европе примерно ту же роль, какую играл Насир ад-Дин в странах ислама за двести лет до него. Труд Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» в свою очередь - имел большое значение для дальнейшего развития тригонометрии. Другие работы в области тригонометрии принадлежат Копернику, Виету, Кеплеру. Таким образом, процесс накопления тригонометрических знаний привел к тому, что, начиная примерно с XIII в., накопленный материал стал подвергаться систематизации, составляя отдельную, все более самостоятельную область математики - тригонометрию. Принципиально новый этап в развитии тригонометрии состоял в установлении связей этой науки с алгеброй. Начало этому было положено в конце XVI в. Франсуа Виетом (1540—1603). Виет, французский математик, известный главным образом своими открытиями в алгебре, выпустил в 1579 г. в Париже обширные математические таблицы («Canonmathmaticus»), содержащие главным образом тригонометрические таблицы, в которых радиус круга принимала за 100 000. Уже в «Каноне» и особенно в XIX главе «Восьмой книги» Виет формулирует без доказательств всю систему утверждений сферической тригонометрии. Указанные теоремы косинусов Виет формулирует в предложениях 15 и 16 этой главы следующим образом:ТРИГОНОМЕТРИЯ – (от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

2. Основные понятия

Тригонометрический круг.

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или  радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси OX, а значение синуса — на осиOY .

3. И синус, и косинус принимают значения от O до .

4.Значение тангенса угла  тоже легко найти — поделив синус на косинус . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, тангенс, котангенс — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус, тангенс и котангенс— функции периодические. Период равен .

А теперь подробнее о тригонометрическом круге.

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси  против часовой стрелки, тогда принято записывать углы с знаком плюс, углы отсчитываемые по часовой стрелке принято записывать со знаком минус.

Полный круг — 360 градусов.

 Точка с координатами (1;0) соответствует углу в 0 градусов. Точка с координатами (-1;0) отвечает углу в 180 градусов , точка с координатами (0;1) — углу в 90 градусов , точка скоординатами (0;-1) – углу в 270 градусов. Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси OY) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу .

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (X), синус — ордината (Y) . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1.

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто:  360 градусов, то есть полный круг, соответствует  радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Тригонометрическая таблица

Для того, чтобы узнать значения тригонометрических функций для некоторых углов, используется тригонометрическая таблица. В таблице показаны значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° и 360°, а также значения этих углов в радианах.

Тригонометрические формулы

Основные тригонометрические тождества

sin² α + cos² α = 1

tg α · ctg α = 1

tg α = sin α ÷ cos α

ctgα = cosα ÷ sinα

1 + tg² α = 1 ÷ cos² α

1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулысложения

sin (α + β) = sinα · cosβ + sinβ · cosα

sin (α - β) = sinα · cosβ - sinβ · cosα

cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ

cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ

tg (α + β) = (tgα + tgβ) ÷ (1 - tgα · tgβ)

tg (α - β) = (tgα - tgβ) ÷ (1 + tgα · tgβ)

ctg (α + β) = (ctgα · ctgβ + 1) ÷ (ctgβ - ctgα)

ctg (α - β) = (ctgα · ctgβ - 1) ÷ (ctgβ + ctgα)

Формулы двойного угла

sin³α = (3sinα - sin 3α) ÷ 4

cos²α = (1 + cos 2α) ÷ 2

cos³α = (3cosα + cos 3α) ÷ 4

sin²α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8

sin³α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

cos 2α = cos² α - sin² α

cos 2α = 2cos² α - 1

cos 2α = 1 - 2sin² α

sin 2α = 2sin α · cos α

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулытройногоугла

sin 3α = 3sin α - 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α - 3cos α

tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)

Формулы понижения степени

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2

sin³α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4

cos²α = (1 + cos 2α) ÷ 2

cos³α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4

sin²α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8

sin³α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))

sin α · sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))

cos α · cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Переход от суммы к произведению

3. Простейшие тригонометрические уравнения.

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Уравнения вида sin x = a; cos x = a; a[-1,1] tg x = a; ctg x = a, где  x - переменная, aR называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

4.Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения.
Ответ:  

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Введем подстановку , тогда уравнение (2) примет вид

откуда .

 Так как , то корень не подходит. Следовательно,

Ответ: 

Пример3.Решить уравнение2соs2 х + 5sin х -4 =0

Решение.Если cos2х=1-sin2х, то уравнение приводится к квадратному уравнению относительно sin х:

2(1- sin2х) + 5sinх-4 = 0,

раскрываем скобки, переносим все в левую часть, получим

2 sin2х - 5sinх+2 = 0,

заменим sin х = y, уравнение примет вид

2y2 - 5y + 2 = 0.

Это уравнение является квадратным. Находим корни уравнения:

;

.

Так как у=sinх, тоили

Тогда:

sinх=2 не имеет решения, так как ⏐sinх⏐≤ 1.

Ответ:

Пример3.Решить уравнение 6tg х + 5сtg3х = tg 2х

Решение.ОДЗ: соsх≠ 0; sin3х≠ 0; соs2х≠ 0.

Запишем уравнение в виде 5tg х + 5сtg3х = tg 2х- tg х и подставим в него

,

,

получим:

.

Приводим к общему знаменателю обе части уравнения :

Числитель левой части уравнения можно представить как косинус суммы двух углов, а числитель правой части – как синус разности двух углов:

,

или

,

5соs22х= sinх ⋅sin3х.

Представим правую часть уравнения в виде полу разности косинусов, получим:

5соs22х=1/2 (соs2х–cos4х) ,

умножим обе части равенства на 2 и перенесем все в левую часть :

10соs22х - соs2х + cos 4х = 0,

соs4х представим как косинус двойного угла:

10соs22х-соs2х+(2cos22х-1)=0, отсюда 12соs22х-соs2х-1=0,

заменим соs2х=у, получим квадратное уравнение вида 12у2 – у – 1 = 0, находим корни :

,

,

подставив вместо у=соs2х, получим:

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ:

Пример2.Решить уравнение соs4 х - sin4х= sin х

Решение.Представим левую часть уравнения как разность квадратов, получим:

(соs2 х + sin2 х)( соs2 х - sin2 х) = sin х;

учитывая, что

соs2 х + sin2 х=1, а соs2 х - sin2 х = 1-2 sin2х,

подставим в исходное уравнение.

Теперь уравнение принимает вид:

1 - 2 sin2 х – sin х = 0 или 2 sin2 х + sin х -1 = 0.

Если заменить sin х = у, получим квадратное уравнение вида:

2у2 + у – 1 = 0.

Находим корни квадратного уравнения

Получим:

Примеры для самостоятельного решения:

1. Решить уравнение

Ответ: 

2. Решить уравнение

Ответ: 

3. Решить уравнение

Ответ: 

5.Однородные тригонометрические уравнения

Здесь мы познакомимся с довольно часто встречающимися на практике тригонометрическими уравнениями специального вида.

Определение. Уравнение вида: называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида: называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример 7. Решить уравнение 2 sin х-3соз х=0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соз х, получим:

Пример 8. Решить уравнение 2x + соs2x =0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соs 2 x, получим:

Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени:

Если коэффициент а отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член sin 2 х с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сое хне обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на соs 2 х. Что это даст? Смотрите:

Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg х.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении

коэффициент а равен 0, т.е. отсутствует член sin2 х. Тогда уравнение принимает вид:

Это уравнение можно решить методом разложения на множители:

Получились два уравнения, которые мы с вами решать умеем. Аналогично обстоит дело и в случае, когда с =0, т.е. когда однородное уравнение имеет вид   (здесь можно вынести за скобки sin х).
Фактически мы выработали алгоритм решения:

При решении  однородных тригонометрических уравнений, нужно помнить несколько важных вещей:

1. Свободный член можно преобразовать к квадрату синуса и косинуса с помощью основного тригонометрического тождества:

2. Синус и косинус двойного аргумента являются одночленами второй степени –  синус двойного аргумента легко преобразовать к произведению синуса и косинуса, а косинус двойного аргумента – к квадрату синуса или косинуса:

Рассмотрим несколько примеров решения однородных тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение:

Это классический пример однородного тригонометрического уравнения первой степени: степень каждого одночлена равна единице, свободный член равен нулю.

Прежде чем делить  обе части уравнения на , необходимо проверить, что корни уравнения  не являются корнями исходного уравнения. Проверяем: если , то , следовательно их сумма не равна нулю.

Разделим обе части уравнения на .

Получим: 

, где 

, где 

Ответ: , где 

2. Решим уравнение:

Это пример однородного тригонометрического уравнения второй степени. Мы помним, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то желательно это сделать. В этом уравнении мы можем вынести за скобки . Сделаем это:

Приравняем каждый множитель к нулю:

Решение первого уравнения: , где 

Второе уравнение – однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на . Получим:

, где 

Ответ:  , где ,

, где 

3. Решим уравнение:

Чтобы это уравнение «стало» однородным, преобразуем  в произведение, и представим число 3 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:

Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю:

Отсюда:

, где ,

, где 

Ответ: , где ,

, где 

4. Решим уравнение:

Мы видим, что можем вынести за скобки . Сделаем это:

Приравняем каждый множитель к нулю:

Решение первого уравнения:

, где 

Второе уравнение совокупности представляет собой классическое однородное уравнение второй степени. Корни уравнения  не являются корнями исходного уравнения, поэтому разделим обе части уравнения на  :

Отсюда:

Решение первого уравнения:

, где 

Решение второго уравнения:

, где 

Ответ: , где ,

, где ,

, где .

 «Простейшие тригонометрические уравнения»

Вариант 4

Решите уравнение:

1.                                 2.

Ответ:___________  Ответ:_____________

3.            Ответ:____________       4.

  Ответ:_____________     Ответ:____________            6.    

 Ответ:_____________

7.      8.    Ответ:______________________                                          Ответ:___________  

Приложение 3

Ответы к самостоятельной работе

«Тригонометрические уравнения»

Список  литературы:

1. Алгебра и начала анализа: учебн. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/ Ш.А. Алимов – М.: Просвещение, 2011г.
2. Алгебра и начала анализа: учебн. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/А.Н. Колмогоров – М.: Просвещение, 2010г.
3. Тригонометрия: учебн. 10 кл. общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев; под ред. Теляковского В.Н. – М.: Просвещение, 2012г.
4. Тесты при обучении решению тригонометрических уравнений: С. Лагунов – Математика, приложение к ПС, 2011г.
5. Уравнения и неравенства: М.И. Башмаков – М.: Наука, 2012г.