20.03.2020г. гр.836 Практическая работа по теме: «Решение простейших комбинаторных задач»
материал

Практическая  работа по теме: «Решение простейших комбинаторных задач».

Цель: научиться определять тип выборки, находить число перестановок, число сочетаний, число размещений.

Теоретический материал:

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

, где n!=1*2*3*…*n

Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно. Получаем=.

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

.

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно.

Свойства сочетаний:

Требования к отчетности:

1. Выполнять в рабочей тетради;
2. Фотографировать готовые решения;
3. Присылать на почту: vismyt89@mail.ru своевременно (подписывайте ФИО и номер группы), можно в ВКонтакте.

Вариант 1

1. Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными цифрами?

2. Сколькими способами из отряда в 20 человек можно выбрать командира и знаменосца?

3. Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 5 человек?

4. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3,4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

5. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

6. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра 0?

7. Покажите, что в следующей задаче рассматривается сочетание из n элементов по k, определите значения n и k и найдите число  для задачи: Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек?

б) Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?

8. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 2

1. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

2. Сколькими способами из группы в 25 человек можно выбрать менеджера и заместителя менеджера?

3. Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 7 человек?

4. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 2,3, 4 и 5? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

5. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

6. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 5,6, 7 и 8 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 8 будет дана цифра 0?

7. Покажите, что в следующей задаче рассматривается сочетание из n элементов по k, определите значения n и k и найдите число  для задачи: Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?

8. Из 18 объектов нужно отобрать 9 объектов. Сколькими способами это можно сделать?