Урок геометрии "Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах" (10 класс)
план-конспект урока

Тема урока «Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах»

Цели урока:

обучающие: создать условия для формирования основных понятий перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной, расстояния от точки до плоскости; рассмотреть свойства наклонных и их проекций; рассмотреть связь между перпендикуляром, наклонной и проекцией наклонной, закрепить эти понятия в ходе решения задач.

 развивающие: развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес, расширять представления учащихся об окружающем мире, поддерживать интерес к изучаемому предмету; содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность;

воспитывающие: воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету, ответственность и доброжелательность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы: проблемный, словесный (рассказ, беседа), наглядный, самостоятельная работа обучающихся.

Формы организации деятельности обучающихся: фронтальная,  индивидуальная

Методическая цель урока: активизация познавательной деятельности обучающихся на уроке изучения нового метриала повышение познавательного интереса к предмету, формирование прочных знаний; повышение мотивации через эмоциональную окраску урока; воспитание активной личности.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, чертежные принадлежности.

Ход урока.

1. Организационный момент. Проверка готовности к уроку. (2 мин)

Однажды я прочла высказывание: «Получать готовую информацию и запоминать ее может и компьютер, а человек должен думать». 

– Что в вашем понимании значит думать? (Анализировать, сравнивать, размышлять, делать выводы). Этим мы и займемся сегодня на уроке

Но прежде чем мы приступим к нашему уроку, я предлагаю провести небольшой психологический тест. На столах у вас лежат геометрические фигуры. Выберите понравившуюся вам фигуру и нарисуйте на нем ваше настроение на начало урока. Ваш выбор не случаен. Каждая фигура имеет психологический смысл.

Психологический тест

«Треугольник» символизирует лидерство. Самой характерной особенностью человека, выбравшего этот символ, является способность концентрироваться на главной цели. Это сильная, энергичная, неудержимая личность. «Треугольник» ставит ясные цели и старается, по возможности, их выполнить.

«Квадрат». Основные качества человека, выбравшего эту фигуру – трудолюбие, усердие, потребность доводить начатое дело до конца, упорство в достижении цели. Квадрат любит порядок: всё должно находиться на своих местах и происходить вовремя.

«Круг» – самая доброжелательная фигура. Обладатель этого символа счастлив, когда все ладят друг с другом; круг ощущает чужую радость и боль, как свою собственную. Это очень чувствительная и эмоциональная фигура.

2. Мотивация урока. (2 мин)

Ни для кого не секрет, что вся элементарная геометрия пришла к нам в основном с Египта и Греции. В далекие и древние времена геометрия использовалась как наука для измерения земли, а также очень тесно при строительстве. Все теоремы, законы и аксиомы выводили и доказывали, чтобы облегчить измерительные или строительные работы.

Тема нашего урока «Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах» очень важна для людей любого времени, так как перпендикуляр и наклонная основные ориентиры при практической деятельности человека. На уроке мы вспомним понятия «перпендикуляра», «наклонной», «проекции наклонной», расстояния от точки до плоскости, рассмотрим свойства наклонных и их проекций, а также установим связь между этими тремя отрезками, закрепим эти понятия в ходе решения задач, будем развивать логическое мышление, память, пространственное воображение на основе аккуратности, точности и взаимовежливости и уважения.

Запишите в тетрадях число и тему урока.

3. Актуализация опорных знаний. (5 мин)

Математический диктант: (верно – 1, не верно - 0)

Верно ли, что …

1. При пересечении прямые образуют 4 угла. +
2. Углом между пересекающими прямыми является больший из двух смежных углов. -
3. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. +
4. Через произвольную точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую. +
5. Если две пересекающиеся прямые параллельны двум перпендикулярным прямым, то они тоже параллельны. -
6. Через любую  точку пространства, не принадлежащую прямой, нельзя провести прямую, перпендикулярную данной. -
7.  Если прямая, перпендикулярна одной из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она перпендикулярна и второй прямой. +

Самопроверка: 1011001         (7 б.)

Устный опрос:

1. Что такое отрезок?
2. Что называют расстоянием от точки до прямой?
3. Сформулируйте теорему Пифагора.
4. Как располагаются прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости?

Сейчас при проведении локальных сетей или кабельного телевидения, актуальна проблема.

 «Проблема» Между двумя домами решили провести локальную компьютерную сеть. Сколько метров сетевого кабеля необходимо приобрести, если высота одного дома 30 м, другого – 15 м, а проекционное расстояние по земле между точками подключения – 20 м? (учесть запас на провис кабеля – 2 м).

4. Объяснение нового материала

Пусть точка A не принадлежит плоскости α . Проведем прямую a, проходящую через эту точку и перпендикулярную α . Точку пересечения прямой a с плоскостью α обозначим С.

Отрезок AС называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость α.

Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей.

На рисунке: АС – перпендикуляр к плоскости α, АВ – наклонная, СВ – проекция наклонной.

Примеры материальных моделей перпендикуляров к плоскости: столб, телевизионная вышка перпендикулярны плоскости горизонта; перпендикулярно этой плоскости забивают сваи, бурят скважины, проходят шахтные стволы, запускают космические корабли. Только набрав нужную высоту, ракета отклоняется в нужном направлении.

• Скажите через данную точку к плоскости сколько можно провести перпендикуляров?         (Один)
• А сколько наклонных из данной точки к данной плоскости можно провести?        (Множество)

Введение понятия расстояния от данной точки до плоскости.

Из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки С. Это расстояние, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

«Геометрическая зарядка»

Ее суть очень проста, а эффект – поразительный.

Закрываем глаза.

1) Представляем плоскость и над ней яркую точку

2) От видимой точки опускаем перпендикуляр к плоскости.

3) От этой же точки рисуем наклонную к плоскости.

4) Проводим проекцию наклонной. Получили треугольник.

5) Поворачиваем фигуру…

Главное – не переходить к выполнению следующего пункта до тех пор, пока не выполнен предыдущий.

Упражнения делаем 1-3 раза в день по 3-7 минут.

Результат – зарядка для глаз, а также многократное уменьшение времени решения геометрических задач, за счет быстрого представления необходимого рисунка в нужном ракурсе и почти готовом решении.

• Какую фигуру образуют перпендикуляр, наклонная и проекция?
• Что вы можете сказать о соотношении перпендикуляра и наклонной?

Теорема о перпендикуляре и наклонной

Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Доказательство. Пусть AB – наклонная к плоскости α, AO – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость. Соединим отрезком точки O и B. Треугольник AOB прямоугольный, AB гипотенуза, AO – катет. Следовательно, AO < AB.

Записываем полученные выводы:

Свойства наклонных, выходящих из одной точки

1. Перпендикуляр всегда короче наклонной, если они проведены из одной точки.

2. Если наклонные равны, то равны и их проекции, и наоборот.

3. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство.

Пусть прямая а плоскости α перпендикулярна проекции OB наклонной АВ. Тогда она будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым OB и AO. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АOВ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ.

5. Закрепление нового материала.

Тест.

Вариант 1

1. Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?            Ответ: Нет.
2. К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка M этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника?         Ответ: Да
3. Точка M равноудалена от всех точек окружности. Верно ли утверждение о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому через её центр?         Ответ: Да
4. Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.

Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

(4 балла)

Вариант 2

Задачи:

1. (На доске совместное решение) Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.                                                                                                (Ответ 12 см)
2. Решение «проблемной задачи» (Ответ 27 м)

3. Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.                                                                                                                        (Ответ 9 см)

4. Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, ∠BAC = 60°.                                                                                                                (Ответ 12 см)

6. Итоги урока (3 мин)

 ВОПРОСЫ:

1) Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки к плоскости?

2) Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости?

3) Сколько перпендикуляров и наклонных можно построить из данной точки к плоскости?

4) Из данной точки к плоскости проведены две наклонные. Что можно утверждать о проекции наклонных на плоскость, если наклонные:

а) равны;

б) не равны?

Выставление оценок

7. Домашнее задание        (2 мин)        

I уровень:        Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11 кл. – п. 19, 20 (выучить определения, теоремы)

II уровень:        № 149, 150 (решить задачи)

III уровень:  составить тест из 5 вопросов (к каждому вопросу три варианта ответа, из них один правильный)

8. Рефлексия. (2 мин)

  - Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)

 – Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)

 – Какое самочувствие? (Устал – не устал)

 – Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)

– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).