Исследовательские работы учащихся

Муниципальный этап Всероссийского детского конкурса научно-исследовательских и творческих работ «Первые шаги в науке»

Секция математика

Исследовательская работа

Непростые фигурные числа

Борисенко Карина,  Самофалова Варвара

МАОУ  «Лицей№5» города Губкина

 Белгородской области

6 «А» класс

Научные руководители:

Дружинина Ирина Ильинична                        Яковлева Ирина Ивановна        

Губкин, 2014/2015 учебный год

Содержание.

Введение…………………………………………………………………………...3

1. История возникновения фигурных чисел………………………………...5
2. Определение и виды фигурных чисел…………………………………….5

1. Линейные, плоские, телесные числа……………………………………..5
2. Формулы для вычисления плоских чисел……………………………….9
3. Формулы для вычисления телесных чисел……………………………..11
4. Свойства фигурных чисел……………………………………………….12

3. Применение фигурных чисел в жизни человека………………………..14

Заключение……………………………………………………………………….17

Список литературы………………………………………………………………18

Введение

«Понятие числа и фигуры взято не откуда-нибудь, а только из действительного мира»

Ф Энгельс

Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума.

Не случайно открытие числа – одно из самых гениальных проявлений человеческого разума. История чисел увлекательна и загадочна. Но и  геометрические конструкции занимают всё более значительное место в окружающем нас мире. Посмотрите на современные архитектурные сооружения, – сейчас уже редко какие из них имеют форму обычного параллелепипеда. Витрины магазинов обильно украшены не просто продуктами, а замысловатыми сооружениями пирамидальных форм. Аналогичные формы имеют упаковки фруктов, конфет, подарков. Чем объяснить стремление человека к геометрическим конструкциям? Одна из версий – присутствие в них строгих числовых закономерностей, присущим рядам фигурных чисел.

Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, учение которых о числах тесно переплеталось с учением о геометрических фигурах. Пифагорейцы составляли числа из костяшек или камешков, изображали в виде точек, группируемых в фигуры. Такое представление чисел облегчало им изучение свойств чисел. В дальнейшем эти числа получили название  фигурные.

На уроке математики  в рубрике «История возникновения и развития математики» мы впервые столкнулись с понятием фигурные числа. Нам захотелось подробнее изучить этот вопрос.

В энциклопедическом словаре  Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона мы прочитали: фигурные числа общее название чисел, представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.

В книге Г.Н. Берман «Число и наука о нем» мы нашли несколько иное определение: фигурные числа – натуральные числа, образующие последовательность, которая подчиняется определённому принципу. Проблема очевидна: какое из определений ближе к истине, и насколько математические принципы  отражены в геометрическом изображении числа?

        Проблема очевидна: какое из определений ближе к истине, и насколько математические принципы  отражены в геометрическом изображении числа? Начиная исследование, мы выдвигаем гипотезу: фигурные числа являются не просто удачным сочетанием групп точек; их строение логично, упорядочено и отражено в геометрических моделях.

Цель работы - установить математические закономерности и связи  в рядах фигурных чисел через исследование их  геометрических конструкций

Объект исследования – фигурные  числа.                                Предмет исследования: геометрические конструкции фигурных чисел и их математические закономерности.

Задачи:

1. Изучить историю возникновения фигурных чисел.
2. Выяснить, на какие виды эти числа делятся.
3. Изучить формулы, с помощью которых можно вывести фигурные числа.
4. Найти и сформулировать закономерности построения.
5. Построить ряды фигурных чисел и их геометрические модели.
6. Установить наличие связей  между видами фигурных чисел.
7. Познакомить своих одноклассников с фигурными числами.

Методы исследования: изучение и использование научно-публицистических и учебных изданий, метод сопоставления, аналитический метод и другие.                

Нам  стало интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому мы провёли анкету, на вопросы которой ответили 86 учеников 6-10 классов. Всего 34,4% учащихся знают какие числа называются фигурными. 19,8% считают, что фигурные числа – это плоские фигуры, 32,5 % - объёмные фигуры, 47,7 % думают, что они могут изображаться и плоскими и объёмными фигурами. 46,5 % предполагают, что эти числа изобрёл Пифагор. Половина опрошенных считает, что мы ежедневно встречаемся с фигурными числами в повседневной действительности.

1. История возникновения фигурных чисел.

Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом".

Еще в глубокой древности, человек проводя различные расчеты, обращал внимание на правильные фигуры, которые получались при раскладывании камешков. Можно сложить их  в один  ряд, можно в два ряда – и тогда  получается  прямоугольник.  Можно выкладывать камни в три ряда получатся числа, делящиеся на три. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, именуемые фигурными числами. 

2. Определение и виды фигурных чисел.

1. Линейные, плоские, телесные числа.

Итак, фигу́рные чи́сла — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.

Надо отметить, что фигурные числа пифагорейцами классифицировались на:

1) линейные числа

2) плоские числа

3) телесные числа.

В свою очередь эти числа еще раз подразделялись. Рассмотрим их более подробно.

1)  Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...):

(линейное число 5)

2)Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...):

(плоское число 6)

К плоским телам относятся:

а) треугольные числа

б) квадратные числа

в) пятиугольные числа

г) многоугольные числа.

Особенность плоских чисел, это то, что их можно разложить на два множителя, в отличие от линейных чисел.

Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, шестиугольники и т. д. Все плоские числа изображаются в виде правильных геометрических фигур. Пифагорейцы считали фигуру правильной, если на каждой его стороне лежит одинаковое число шаров и расстояние между ними должно быть одинаковым.

Треугольные числа:1,3,6,10,

  Рассмотрим “упаковки” шаров в равносторонние треугольники. Пусть имеется один шар. Добавим к нему еще два, получится три шара, которые можно расположить так, что они образуют равносторонний треугольник,  а вот 4 и 5 шаров расположить таким образом нельзя. Чтобы треугольник сохранился необходимо добавить еще три точки, затем четыре и т.д. На рисунке 2 изображены первые четыре таких треугольников. Чтобы получить пятый треугольник, надо к четвертому пририсовать один ряд в пять шаров; чтобы получить шестой, надо к пятому пририсовать ряд в шесть шаров и т. д.

1              3                  6                          10

Рис. 2

Числа, которые показывают, сколько шаров содержится в треугольниках, называют треугольными.

Здесь можно заметить и то, что стороны второго треугольника ровно в два раза больше сторон первого, стороны третьего треугольника в три раза больше сторон первого и т.д.  Кстати, теперь понятно почему в бильярде шары выкладывают треугольником, во-первых он правильный и в нем ровно 15 шаров – пятое треугольное число.

 Квадратные числа — (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,n2,...)выражаются произведением двух одинаковых чисел, т.е. являются полными квадратами. Пусть опять имеется один шар. Расположим четыре шара в виде квадрата. Увеличив стороны квадрата в 2 раза получим новый квадрат, где таких шаров уже будет 9, еще раз увеличив стороны первоначального квадрата получим квадрат с 16-ю точками и т.д.

Замечаем, что получаются числа натурального ряда взятые во второй степени, отсюда и пошло понятие «возвести в квадрат». А числа стали называть квадратными:  4,9,16, 25 и т.д.

Пятиугольные числа: А теперь рассмотрим последовательность правильных пятиугольников. Подсчитывая количество точек в каждом из пятиугольников, получим последовательность пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22…

1           5                    12                          22

 3) Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...):

(телесное число 8)

Они состоят из трех сомножителей. Составляя последовательные суммы из плоских фигурных чисел, получим телесные фигурные числа, их иногда называют пространственными. Телесные числа так же подразделяются на:

а) пирамидальные числа

б) кубические числа

  Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.:

1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

 Правильные треугольные пирамиды, все грани и основание которых, имеют вид равносторонних треугольников (такие пирамиды называются тетраэдрами), порождают так называемые  тетраэдрические числа. Последовательность этих чисел  выглядит так: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84,…(рис.4).

            1                            4                                                            10

Рис.4

Четырехугольные пирамиды с квадратом в  основании и боковыми гранями в форме равносторонних треугольников (т.е. половинки правильного октаэдра) порождают четырехугольные пирамидальные числа: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, … (рис. 5).

        1                                   5                                                   14

Рис.5

Подобно тому, как квадрат можно разрезать вдоль прямой на два последовательных треугольника, четырехугольную пирамиду можно рассечь плоскость на два последовательных тетраэдра.

б) Далее введем в рассмотрение кубические числа (рис. 6).

                  1                            8                                               27

Рис. 6

Например, к этим числам относятся:  Их можно записать в таком виде: Именно про эти числа говорят «два в кубе», «три в кубе», «четыре в кубе», «пять в кубе» и т.д.

Кстати, вы не догадались еще, почему числа , ,  и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, широта и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной. Куб − фигура с одинаковой длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из  камушков.

2.2.Формулы для вычисления плоских чисел

Давайте начнем с самого простого, с треугольных чисел. Нарисуем первые четыре треугольных числа (рис. 7)

  1         3             6                 10

Рис. 7

Подсчитаем с помощью рисунка эти треугольные числа и составим таблицу

Продолжим заполнение таблицы дальше. Для этого можно использовать нарисованные нами треугольники. А можно ли продолжить дальше, не обращаясь к рисунку? Сделать это совсем просто, если понять правило, по которому каждое следующее треугольное число получается из предыдущего. Посмотрите на таблицу: третье треугольное число получается, если ко второму прибавить число 3, т. е. его номер; четвертое треугольное число получается добавлением к третьему числу 4 и т.д. На схеме показано, как последовательно вычислить треугольные числа.

Проверьте, получились ли при этом те же самые числа, что и при подсчете шаров. Найдите этим же способом девятое и десятое треугольные числа.

А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не вычисляя всех предыдущих? Попробуем, например, найти иначе треугольное число под номером 10.

Обратимся опять к изображению треугольных чисел в виде равносторонних треугольников. Понятно, что десятое треугольное число изображается в виде треугольника с 10 рядами, в которых содержится 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 шаров. Поэтому десятое треугольное число равно сумме:

.

Для подсчета этой суммы запишем ее слагаемые в обратном порядке и расположим суммы одна под другой:

    ,

.

Сумма каждой пары чисел, расположенных друг под другом, равна 11. Всего таких сумм 10. Поэтому удвоенная сумма равна . Так как десятое треугольное число есть половина этой суммы, то оно равно . Точно также выводится общая формула для нахождения количества шаров в треугольных числах:=

        Рассмотрим квадратные числа. Посмотрим на выложенные квадратики (рис.8).

                                                           1               4                      9                           16

Рис.8

 Первый из них – это один ряд из одного камушка: 1. Второй – это два ряда, каждый из двух камушков: . Третий – три ряда по три камушка: . Неспроста про числа   говорят «два в квадрате», «три в квадрате». Следуя по аналогии можно сделать вывод, что квадратное число п-го порядка вычисляется по формуле: .

Попробуем пойти дальше и найти формулу для нахождения пятиугольных чисел. Первым считаем, как и раньше, пятиугольник из 1-го камушка, во втором  камней, в третьем − , в четвертом −  и т.д. Посмотрите на рисунок 10.

Рис.10

Во втором пятиугольнике 2 камня снизу и еще три раза по одному; в третьем − 3 камня снизу и еще 3 треугольника − 3 вторых по счету треугольных чисел. А в четвертом? 4 камня снизу и 3 третьих по счету треугольных чисел: . По этому правилу, не рисуя картинку, можно найти и пятое пятиугольное число: 5 камней будут снизу, и еще 3 четвертых по счету треугольных числа, т. е. .

Следовательно, общая формула имеет вид:

=.

Можно рассматривать и шестиугольные, и семиугольные числа, и вообще, числа, возникающие при складывании разнообразных многоугольников, с разными или с одинаковыми сторонами. Каковы они? Поэкспериментируйте, раскладывая по столу монетки или пуговицы. Обратите внимание: все эти числа выражаются через треугольные числа!

2.3. Формулы для вычисления телесных чисел.

 Посмотрим на первые четыре таких числа и попробуем найти закономерность (рис 11).

Рис.11

 Пирамидальные числа возникают при складывании камушков или, скажем, пушечных ядер горкой так, чтобы они не раскатывались. И что же? Каждый слой ядер в такой пирамиде − треугольное число! Наверху − одно ядро, под ним − три, под теми − шесть и т.д. (   ...) Можем сделать вывод, что пирамидальное число п-го порядка получается при наложении на каждый слой треугольное число на один порядок меньше чем предыдущий. Посмотрим на рисунок 12, и увидим, как это получается.

Рис.12

Мы с вами можем увидеть закономерность:

,

где n – число шаров уложенных вдоль ребра пирамиды.

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: ,  (два этажа из квадратов ),  (три этажа из квадратов ),  (четыре этажа из квадратов ),  и так далее (рис.13).

                         1                8                    27                             64

Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"? Следовательно, общий вид кубических чисел равен: .

2.4.  Свойства фигурных чисел.

Великие творцы затратили немало усилий на изучение свойств фигурных чисел. Мы с вами рассмотрим некоторые, наиболее интересные из них.

Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число  (рис. 14) автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=ab.

Рис.14

Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными, при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Даже в XVII веке, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали ее варварской наукой, пригодной для низменных целей − бытовых расчетов, вспомогательных вычислений, но никак не для благородных научных трудов.      

                          6.  Задача №1.

Найдите произведение линейных чисел и изобразите их:

а) 3 и 2, 2 и 3

Решение:

а) Результатом этих линейных чисел будет прямоугольное число, в котором 3 строки и 2 столбца.

                                                                      6

Ответом будет прямоугольное число 6. Решим по аналогии другой пример

6

Мы опять получили прямоугольное число 6. Можно сделать вывод, что

                                                         6                             6

Легко “ увидеть” переместительный закон умножения: .

№ 2.

Найдите сумму двух треугольных чисел

      П3(7)                               П3(6)

Решение:

Так как  и  последовательные треугольные числа, то решением должно быть квадратное число 7-го порядка, т.е.

№ 3.

Покажите, чему равен квадрат суммы двух чисел?

Решение:

Приложим углом друг к другу квадраты ,  и добавим два прямоугольника  и  (изображены черными цветами).

Мы получили квадратное число пятого порядка.

Применение фигурных чисел в жизни человека.

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.

При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.

Упаковка конфет в форме линейного числа

На параде солдаты стоят  правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)

Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Приложение 2)

Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Приложение 3)

Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)

Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)

К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)

Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)

Кроме изучения теоретического материала я выполнила ряд «проб» выкладывания фигурных чисел с помощью обыкновенных канцелярских кнопок.

Интересно? Конечно! Каждый из вас тоже может попробовать выложить фигурные числа в домашних условиях. Для этого вы можете взять теннисные шарики, горох, кнопки, пуговицы или, например, вишню. А можно просто рисовать на бумаге.

Заключение

                Таким образом, фигурные числа — общее в каждом классе название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.

Не только фигурные числа нужны нам для вычисления, но и те числа, которые входят в нашу повседневную жизнь. Числа мы используем в годе нашего рождения, говорим, сколько лет прошло, в каком классе мы учимся или же какова температура в доме. Мы можем посчитать животных или сколько шагов от дома до школы.

Таким образом, числа присутствуют везде, независимо от того, в чем их различие. С числами и другими величинами измерения связана наша повседневная жизнь.

В процессе работы по данной проблеме мы добились цели, поставленной в начале исследования:  изучили и исследовали фигурные числа - одно из понятий математики. Но эту работу можно еще и продолжить, т.к. существует еще множество пространственных фигурных чисел, из которых можно выделить целые классы.

Подводя итог работы, пришли  к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны. Каждый из вас тоже может попробовать выложить фигурные числа в домашних условиях. Для этого вы можете взять теннисные шарики, горох, кнопки, пуговицы или, например, вишню. А можно просто рисовать на бумаге.

Итак, работая по данной теме, мы пришла к следующим выводам:

1. фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;
2. выделяются несколько видов данных чисел;
3. фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд  математических законов.
4. Фигурные числа – это интересно!

Литература

1. Бендукидзе А. Фигурные числа // Физико-математический журнал, Квант, 1974г., №6.
2. Берман Г.Н. Число и наука о нём. - М., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.
3. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах (Редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). - М.: Наука, 1974.
4. Энзенбергер Х.М. Дух числа. Книга под подушку для всех, кто боится математики. – М.: издательство «СТРАТА», 2013.
5. Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона. Том 3/
   Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона. - Издательство: Полрадис, 1996