Задания для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 162. Площадь одной его грани равна 18. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

2. Найдите значение выражения 

3. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка  больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону  (Гц), где  – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а  м/с. Ответ выразите в м/с.

4.

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

5. Найдите точку минимума функции 

6. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

7. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SAравно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

8. Решите неравенство: 

9. Дана трапеция  с основаниями  и  Диагональ  разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями  и 

а) Докажите, что луч  — биссектриса угла  .

б) Найдите , если известны диагонали трапеции:  и 

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 162. Площадь одной его грани равна 18. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

2. Найдите значение выражения 

3. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка  больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону  (Гц), где  – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а  м/с. Ответ выразите в м/с.

4.

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

5. Найдите точку минимума функции 

6. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

7. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SAравно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

8. Решите неравенство: 

9. Дана трапеция  с основаниями  и  Диагональ  разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями  и 

а) Докажите, что луч  — биссектриса угла  .

б) Найдите , если известны диагонали трапеции:  и 

1. Диаметр основания конуса равен 10, а длина образующей равна 13. Найдите высоту конуса.

2. Найдите значение выражения 

3. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна , где  – ЭДС источника (в вольтах),  Ом – его внутреннее сопротивление,  – сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более  от силы тока короткого замыкания  ? (Ответ выразите в омах.)

4. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 3 рабочих, а во второй — 9 рабочих. Через 4 дня после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

5. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

6. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что 

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

8. Решите неравенство 

9. Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.

а) Докажите, что   б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKB , если  а площадь треугольника AKC равна 

1. Диаметр основания конуса равен 10, а длина образующей равна 13. Найдите высоту конуса.

2. Найдите значение выражения 

3. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна , где  – ЭДС источника (в вольтах),  Ом – его внутреннее сопротивление,  – сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более  от силы тока короткого замыкания  ? (Ответ выразите в омах.)

4. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 3 рабочих, а во второй — 9 рабочих. Через 4 дня после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

5. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

6. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что 

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

8. Решите неравенство 

9. Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.

а) Докажите, что   б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKB , если  а площадь треугольника AKC равна