Лекция 4. Этапы обучения решению комбинаторных задач.

Лекция 4. Этапы обучения решению комбинаторных задач.

Цель лекции: раскрыть этапы решения комбинаторных задач в начальной школе как одного из эффективных способов обучения задач повышенной трудности.

Список литературы по теме:

1. Менцисс Я.Я. Содержательный смысл математической модели.// Начальная школа. – 1989. - № 10 – 11. – с. 67 – 69.

2. Фонина Д.С. Моделирование как важное средство обучению решению задач.// Начальная школа. – 1990. - № 3. – С. 33 – 37.

3. Белокурова Е.Е. Методика обучению решению комбинированных задач.// Начальная школа. – 1994. - № 12. – С. 43-47.

4. Белокурова Е.Е. Характеристика комбинированных задач.// Начальная школа. – 1994. - № 1. – С. 34-38.

Этапы обучения решению комбинаторных задач в начальной школе.

        В обучении школьников решению комбинаторных задач соблюдается этапность.

        Первый этап – подготовительный.  На этом этапе учащиеся приобретают опыт образования объектов из отдельных элементов. Новые объекты ученики составляют, осуществляя хаотичный перебор, и от них не требуется найти все возможные варианты в данной задаче.

        Пример задачи. Составьте из трех одинаковых по размеру кубиков красного, желтого и синего цвета несколько отличающихся друг от друга построек.

        Способ решения задачи на данном этапе. В процессе решения задачи учащиеся перебирают все возможные варианты решения и фиксируют их в виде рисунка.

        Второй этап. Обучение школьников решению задач с использованием систематического перебора.

        По сложности осуществления перебора задачи повышенной трудности делятся на следующие группы:

1. Задачи, в которых нужно произвести полный перебор во всех возможных вариантах.

        Пример задачи. Расставьте знаки «+» и «-» между данными числами 9…2…4, составьте все возможные выражения.

        Способ решения задачи – проводится полный перебор вариантов (используется прием полной индукции).

        Варианты решения. 9+2+4, 9-2-4, 9-2+4, 9+2-4.

2. Задачи, в которых производится сокращенный перебор вариантов из-за нецелесообразности выполнения полного перебора.

        Пример задачи. Четыре фигуры нарисованы в ряд: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом. Отгадайте последовательность рассматриваемых фигур.

        Способ решения задачи – всего существует 24 различных вариантов расположения этих фигур и составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию нецелесообразно, поэтому проводится сокращенный перебор вариантов, удовлетворяющих условию задачи.

        Варианты решения:

Большой круг – большой квадрат – маленький круг – маленький квадрат.

Большой круг – маленький квадрат – маленький круг – большой квадрат.

Маленький круг – большой квадрат – большой круг – маленький квадрат.

Маленький круг – маленький квадрат – большой круг – большой квадрат.

3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз, но по отношению к разного рода объектам.

        Пример задачи. Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором три замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться в присутствии двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

        Способ решения задачи. Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по 1 ключу или по 2 ключа, или по 3 ключа. Потом выбранный вариант проверяется в разных ситуациях.

        Варианты решения. Для записи решения задачи можно выбрать различные способы обозначения ключей (заместителей реальных предметов).

        При отборе комбинаторных задач важно учитывать следующие условия:

1. Совокупность задач должна удовлетворять принципу полноты.

        С этой точки зрения необходимо в работе над комбинаторными задачами использовать следующие основные виды комбинаторных задач:

- на упорядочение элементов множества,

- на выбор подмножеств и их упорядочение,

- на выбор подмножеств.

2. Необходимо учитывать характер содержащегося в них требования.

        С этой точки зрения можно выделить следующие группы задач:

- Задачи, в которых требуется найти и сосчитать, сколько всего можно составить различных вариантов;

- Задачи, в которых требуется выяснить, существует ли определенная конфигурация, отвечающая поставленным условиям;

- Задачи, в которых нужно найти и выбрать наилучший вариант по определенным критериям.

        Задача на упорядочение предметов (по кругу), среди которых есть одинаковые. 

        Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из 5 одинаковых маленьких бусинок и 2 одинаковых больших бусинок.

        Задача на выбор подмножеств и их упорядочение (слева направо) при наличии дополнительных условий.

        Запиши все двузначные числа, которые можно составить из цифр 2, 4, 7 так, чтобы число десятков было больше числа единиц.

        Задача на выбор подмножеств и их подсчет их элементов.

        Красная шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом, с грибами и с капустой. Пирожков с капустой было наибольшее количество. Причем их вдвое больше, чем пирожков с мясом. Сколько пирожков с грибами?

        Задача, в которой требуется найти и сосчитать, сколько всего можно составить различных вариантов.

        Площадь прямоугольника равна 12 кв. см. Длины его сторон выражена целыми числами. Сколько различных прямоугольников можно построить согласно этим условиям?

        Задача, в которой нужно найти один наилучший вариант, соответствующий определенным условиям.

        В трехзначном нечетном числе сумма цифр равна 3. Известно, что все цифры различные. Найди это число.

        Рассмотрение комбинаторных задач и различных возможностей их решения обеспечивают ученику выбор путей и средств решения в соответствии с индивидуальными особенностями.

        Третий этап. Обучение школьников решению задач с использованием систематического перебора с использованием средств организации перебора.

        К средствам организации систематического перебора относятся таблицы и графы.

        Работа с графическими средствами отнесена на третий этап, так как, во-первых, при решении задач с небольшим числом элементов нет необходимости их использования, во-вторых, «язык» графов и таблиц не совсем прост и понятен детям, вследствие чего требуется специальное ознакомление с ними.

        Прием графического и предметного моделирования является важным средством решения задач повышенной трудности.

        Моделирование в широком смысле этого слова – замена действий с реальными предметами и действия с их образцами, моделями, муляжами, макетами, а также с графическими заменителями: рисунками, чертежами (с соблюдением масштаба), схемами (без точного соблюдения масштаба).

        Предметное и графическое моделирование математической ситуации при решении задач давно применяется в школьной практике. Значение наглядности как средства развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий состоит в том, что, как отмечает Л.Ш. Левенберг, «рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать более рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их».

        Таблица – это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок или чертеж.

        Моделирование условия задачи повышенной трудности является одним из эффективных путей решения поиска решения, отражает глубину и полноту анализа связей, данных в задаче и, следовательно. Помогает ученикам успешно решить ее.

        Обучение моделированию условия задачи включает ряд этапов:

1. Первоначально текст задачи повышенной трудности выписывается на доске и коллективно анализируется. Каждое предложение детей обсуждается и доказывается. В результате чего получается графическое изображение задачи.
2. Использование  моделирования условий задач при работе с текстами задач разного вида сначала коллективно, а затем индивидуально.
3. Ознакомление учеников с разными способами моделирование, предоставление право выбора способа.
4. Обучение самостоятельному решения задач на основе выбранного ребенком самостоятельно способа решения.

Задание для самопроверки:

Определите последовательность этапов обучения решению комбинаторных задач.

1 - обучение школьников решению задач с использованием систематического перебора с использованием средств организации перебора.

2 -  использование хаотичного перебора, который не требуется найти все возможные варианты в данной задаче.

3 - обучение решению задач с использованием систематического перебора.

Ответ на задание для самопроверки:

Последовательность этапов следующая:

2, 3, 1.