Лекция 5. Виды задач повышенной трудности и способы их решения

Лекция 5. ВИДЫ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Учебные вопросы:

1. Примеры задач на установление соответствий между элементами и способы их решения.
2. Примеры комбинаторных задач и способы их решения.
3. Примеры задач на упорядочение множеств и способы их решения.
4. Примеры задач на установление временных, пространственных, функциональных отношений и способы их решения.
5. Примеры задач на активный перебор вариантов.

Цель лекции: рассмотреть виды задач повышенной трудности и способы их решения.

Задачи лекции:

1) Систематизировать полученные знания по теме;

2) Познакомить с классификацией задач повышенной трудности и методами их решения;

3) Дать материал практического назначения, который может быть использован учителем в классной и внеклассной работе учителя по математике.

Список литературы по теме:

1. Лавлинскова Е.Ю. Методика работы с задачами повышенной трудности в начальной школе. – Волгоград, 2006.
2. Ефремушкина О.А. Школьные олимпиады для начальных классов. – Ростов н/Д, 2006.
3. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М., 1978.
4. Волина В. Праздник числа (Занимательная математика для детей) – М.,1993.
5. Никольская И.Л. Гимнастика для ума: книга для учащихся начальных классов. – М., 2008.
6. Дьячкова Г.Т. Математика: внеклассные занятия в начальной школе. – Волгоград, 2007.
7. Лохтарников Л.М. Занимательные логические задачи. – СПб., 1996.

        1. Классификация задач повышенной трудности.

        В данной лекции будут рассмотрены на конкретных примерах виды задач повышенной трудности и способы их решения.

        Лавлинскова Е.Ю. предлагает классификацию задач повышенной трудности по способу действия. Это дает возможность систематизировать в данном направлении используемые нестандартные задачи и сделать процесс обучения их решению более целенаправленным.

        По способу действия при решении задач задачи повышенной трудности делятся на:

- задачи на установление соответствий между элементами;

- комбинаторные задачи;

- задачи на упорядочение множеств;

- задачи на установление временных, пространственных, функциональных отношений;

- задачи на активный перебор вариантов.

2. Примеры задач на установление соответствий между элементами и способы их решения.

1. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причем никакие два мальчика не делили между собой одно и то же место. На вопрос, какие места заняли ребята, трое ответили:

1. Коля – не 1-е, не 4-е.

2. Боря – 2-е.

3. Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

Решение:

Ответ: Коля – 3-е; Боря – 2-е; Вова – 1-е; Юра – 4-е.

2. Учитель раздает ученикам тетради после проверки. Может ли он выдать Оле любую тетрадь?

Ответ: нет, так как тетради подписаны.

3. Для уроков рисования учащиеся должны были принести краски или карандаши. Готовы ли дети к уроку?

- если Петя принес краски;

- Женя не принес ни красок, ни карандашей;

- Лена принесла и краски, и карандаши.

Ответ: Петя и Лена готовы к уроку, а Женя – нет.

4. Известно, что данное число делится на 3. Значит ли, что данное число не делится на 2?

Ответ: нет, так как среди чисел, делящихся на 3. есть четные, которые делятся на 2.

5. В коробке лежат карандаши: 4 желтых и 3 голубых. Не глядя, берут карандаши. Сколько нужно взять карандашей, чтобы среди них был хотя бы один красный?

Ответ: нужно взять пять карандашей.

6. Нарисовано три квадрата. Как раскрасить их красным, зеленым или синим карандашом так, чтобы ни одна из надписей не соответстоввала действительности?

             Решение:

             Ответ: первый квадрат – зеленый, второй – красный, третий – синий.

3. Примеры комбинаторных задач и способы их решения.

1) Красная Шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом, с грибами и с капустой. Пирожков с капустой было наибольшее количество. Причем их вдвое больше, чем пирожков с мясом. Сколько пирожков с грибами?

Решение. Пусть пирожков с мясом 2, тогда с капустой – 4 пирожка, значит с грибами 14 – 2 – 4 = 8. Но в этом случае пирожков с капустой не наибольшее количество. Пусть пирожков с мясом 3, тогда с капустой – 6, значит с грибами 14 – 3 – 6 = 5. Этот результат соответствует условию.

Ответ. Пирожков с грибами – 5.

2. Между некоторыми числами 1 2 3 4 5 поставь знаки действий и скобки так, чтобы получилось 40.

Ответ: (12:3 + 4) х 5.

3. Площадь прямоугольника равна 12 кв.см. Длины его сторон выражены целыми числами. Сколько различных прямоугольников можно построить согласно этим условиям?

Ответ: 12 = 4х3=6х2=12х1. Всего можно построить три различных прямоугольника.

4) В трехзначном нечетном числе сумма цифр равна 3. Известно, что все три цифры различные. Найди это число.

Решение. Составим все трехзначные числа, сумма цифр которых равна 3: 111, 210, 120, 102, 201, 300. Из них нечетные – 111 и 201, и одно лишь из них имеет различные цифры в записи.

Ответ. 201.

5) Расставьте в свободных клетках числа 2, 3, 4, 5, 6, 8 так, чтобы произведение чисел в каждом столбце и в каждой строке было равно 120.

Решение. Между числами 20 и 1 нужно расположить 6= 120: (20х1). Между 15 и 1 – число 8 = 120: (15х1). В нижнем левом углу может быть 2 или 3, так как 120:20 = 6= 2х3 (это множители, которые мы подбираем из оставшихся чисел).

120: 15= 8= 2х4. Число 2 встречается дважды, значит, его нужно поместить в левый нижний угол. Заполняем таблицу.

Ответ.

6)В оранжерее были срезаны гвоздики: белые и розовые – 400 штук, розовые и красные – 300, белые и красные – 540. Сколько гвоздик каждого цвета было срезано в оранжерее?

Решение. Всего было срезано 400+300+540=1240(гвоздик), по два вида в каждом букете. Значит, всего срезали 1240:2= 620 гвоздик красного, розового и белого цветов. Если белых и розовых 400 штук, то красных 620-400=220 гвоздик. Если красных – 220 штук, то белых – 540-220=320 гвоздик. Если белых – 320, то розовых 400-320 80 штук.

Ответ. Красных гвоздик – 220, розовых – 80, белых – 320.

7. Как с помощью банок емкостью 3л и 5л отмерить 2л воды?

Решение. Налить воду в банку емкостью 5л. Эту воду перелить в банку емкостью 3л. Останется 5 – 3 = 2л воды.

4. Примеры задач на упорядочение множеств и способы их решения.

1. Капроновый шнур длиной 30 см разрезали на 3 части. Причем одна из них на 1 см больше другой и на 1 см меньше третьей. Найди длину каждой части.

Решение. Если капроновый шнур разрезать на 3 одинаковые части, то каждая часть будет равна 30:3=10см. Но одна из частей больше другой на 1 см. Если одна часть равна 10см, то другая 10+1=11 см, а третья 10-1=9 см.

Ответ. 10см; 9см; 11 см.

2. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на три.

Решение. Аня старше Бори, значит Ане не 5 лет, и она не ходит в детский сад.

Боря не девочка, поэтому он не ходит в детский сад и ему больше 5-и лет, значит Ане или 13, или 15 лет.

Сумма лет Ани и Веры делится на три. Если Ане 13 лет, то Вере – 5  или 8 лет. Если Вере 8 лет, то тогда Боре 5 лет, но этого быть не может (из второго вывода). Значит, если Ане – 13 лет, Боре – 8 лет, а Вере – 5.

Если Ане 15 лет, то мы не найдет ни одного числа (из данных), которое в сумме с числом 15 давали бы число, которое делится на 3.

Значит, третий вывод истинный. Отсюда следует, что Гале – 15 лет.

Ответ. Гале – 15 лет , Ане – 13 лет, Боре – 8 лет, а Вере – 5.

3. Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Известно, что чемодан весит больше, чем рюкзак, саквояж и рюкзак весят больше, чем чемодан и корзина, корзина и саквояж весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Перечислите вещи в порядке убывания веса.

Решение. Чемодан тяжелее рюкзака, так как саквояж и рюкзак весят больше, чем чемодан и корзина (С+Р›Ч+К), значит С›Ч, а так как К+С=Ч+Р, то К‹Р.

Ответ. Вещи в порядке убывания: саквояж, чемодан, рюкзак, корзина.

5. Примеры задач на установление временных, пространственных, функциональных отношений и способы их решения.

1) Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от волка к домику Наф-Нафа. Волку бежать до поросят (если бы они стояли на месте) 4 мин. Поросятам бежать до домика 6 мин. Волк бежит вдвое быстрее поросят. Успеют ли поросята добежать до домика Нафа-Нафа.

Решение. Волку бежать до домика Наф-Нафа 4+6:2= 7 мин, 6‹7. Значит, поросята успеют добежать до домика Наф-Нафа.

2. По вертикальному столбу высотой 6м движется улитка. За день она поднимается на 4 м, за ночь опускается на 3 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы добраться до вершины?

Ответ. Два с половиной дня.

3. Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл 2 партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение.

Ответ: 3 партии.

4. Примеры задач на активный перебор вариантов.

1) Какие примеры зашифрованы: АУ + УА =СОС. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры.

Ответ. Всего возможно 4 решения: 47+74=121; 29+92=121; 38+83=121.

2) Числа от 1 до 9 требуется разместить в 9 клетках так, чтобы суммы чисел по любой диагонали, вертикали и горизонтали были одинаковы и составляли каждый раз число 15.

Решение.

3) Можно ли пятью двойками выразить число 28?

Ответ. 22+2+2+2=28.