Презентация по теме "Интерполяция. Численное интегрирование"
презентация к уроку

Слайд 1

Интерполяция. Численное дифференцирование и интегрирование. Практическое занятие №35.

Слайд 2

Интерполяция Пусть функция y =f ( x ) задана множеством своих значений для дискретного набора точек (таблицей). Эта таблица может быть результатом расчетов, либо экспериментальными точками. X i x 1 x 2 x 3 … x n Y i y 1 y 2 y 3 … y n

Слайд 3

Интерполяция Задача интерполяции – нахождение приближенных значений функции при аргументах, не совпадающих с узловыми. Если х находится внутри интервала [ x 0 ; x n ], процесс нахождения приближенного значения называется интерполяцией . Если х находится вне интервала – экстраполяцией . Чем больше узлов, тем меньше погрешность интерполяции.

Слайд 4

Интерполяция

Слайд 5

Пример: В медицинской лаборатории рассматривается процесс размножения бактерий. Сняты следующие показания эксперимента: В результате интерполирования подобрана функция f ( x ) = e x . Следовательно, мы можем вычислить f (7) = 1097. Здесь мы провели экстраполяцию. T 1 мин. 3 мин. 5 мин. V 2,27 20,1 148

Слайд 6

Интерполяционный полином Лагранжа При линейной интерполяции табличные значения функции в смежных узловых точках соединяются отрезками прямых, и функции f ( x ) приближается ломаной с вершинами в данных точках. Уравнении каждого отрезка ломаной в общем случае разные. При линейной интерполяции интерполирующая функция имеет изломы в узлах интерполяции и разрывы значений производных Изломы интерполяции можно устранить, если в качестве интерполирующей использовать такую функцию, график которой представляет собой плавную кривую, например, полином, проходящий через заданные в таблице точки. Существует много разновидностей полиномов, для которых выполнены данные условия. Мы рассмотрим полином Лагранжа (или многочлен Лагранжа). Интерполяция многочленом Лагранжа дает высокую точность, если значения функции в смежных узлах изменяются достаточно медленно.

Слайд 7

Интерполяционный полином Лагранжа Пусть дана таблица значений: Требуется составить многочлен y = f ( x ) степени m ≤ n -1, который принимал бы заданные значения y i при соответствующих значениях x i , т.е. y i = f ( x i ) (где i =1, 2, 3, …, n ). Иными словами, график этого многочлена должен проходить через заданные n точек M i ( x i ; y i ). Обозначим через φ ( x ) вспомогательный многочлен n -степени, в котором x i - заданные табличные значения аргумента: φ ( x )=( x - x 1 )∙( x - x 2 )∙( x - x 3 )∙…∙( x - x n ) X i x 1 x 2 x 3 … x n Y i y 1 y 2 y 3 … y n

Слайд 8

Интерполяционный полином Лагранжа Тогда имеет место равенство: или - это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.

Слайд 9

Пример: Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей. Решение : Составим вспомогательный многочлен по формуле: φ ( x )=( x - x 1 )∙( x - x 2 )∙( x - x 3 )∙…∙( x - x n ) Для наших значений получим: φ ( x )=( x -1)∙( x -2)∙( x -3)∙( x -4) Вычислим производную по формуле: ( uvz )’= u ’ vz+uv ’ z+uvz ’ Получим: φ’ ( x )=( x -2)∙( x -3)∙( x -4)+( x -1)∙( x -3)∙( x -4) + ( x -1)∙( x -2)∙( x -4)+( x -1)∙( x -2)∙( x -3) Найдем значение производной в заданных точках х i : φ’ (1)=-6, φ’ (2)=2, φ’ (3)=-2, φ’ (4)=6 х 1 2 3 4 y 2 3 4 5

Слайд 10

Пример: Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей. Решение : Подставим найденные значения в формулу многочлена Лагранжа: Приведем дроби к общему знаменателю, раскроим скобки, приведем подобные и получим следующий ответ: f ( x )= x +1 х 1 2 3 4 y 2 3 4 5

Слайд 11

Численное интегрирование Если функция f ( х ) непрерывна на отрезке [ а,b ] и известна ее первообразная F( х ) , то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона–Лейбница Однако во многих случаях первообразная функция F( х ) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной, следовательно, вычисление определенного интеграла по данной формуле может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция f ( х ) часто задается таблично. Поэтому важное значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы вычисления определенных интегралов.

Слайд 12

Численное интегрирование Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Обычный прием нахождения определённого интеграла состоит в том, что данную функцию f ( х ) на рассматриваемом отрезке [ а,b ] заменяют простого вида интерполирующей или аппроксимирующей функцией  ( x ) (например, полиномом), а затем приближенно полагают: Функция  ( x ) должна быть такова, чтобы интеграл вычислялся непосредственно. Мы будем рассматривать три приближенные формулы вычисления определенных интегралов.

Слайд 13

Численное интегрирование Сформулируем начальные условия : Пусть f ( x ) - непрерывная и дифференцируемая достаточное число раз на отрезке [ а,b ] функция. Разделим отрезок [ а,b ] на n равных частей и обозначим эти точки: x 0 , x 1 , x 2 , …, x n . Соответственно значение функции в этих точках: у 0, у 1 , у 2 , …, у n . Обозначим h =( b - a )/ n – шаг.

Слайд 14

1. Формулы прямоугольников: 1 2

Слайд 15

2. Формула трапеций:

Слайд 16

3. Формула Симпсона:

Слайд 17

Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Подынтегральная функция равна: √х . При n =10 имеем h =(2-1)/10=0,1–это шаг, с которым меняются значения х. Точки деления х и значения функции в них удобно записать в таблицу:

Слайд 18

Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Используя первую формулу прямоугольников: получим: I = 0 ,1∙(1+1,049+1,095+1,140+1,183+1,225+1,265+1,304+1,342+1,378) = =0,1∙11,981 ≈ 1,20

Слайд 19

Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Оценим погрешность по формуле: Производная функции равна: На отрезке [1;2] наибольшее значение производной равно: f’(1)=0,5 , следовательно : | f’(x)|≤0,5 . Следовательно: Ответ: I = 1,20 ± 0,025

Слайд 20

Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Итак, у нас получился следующий результат: I = 1,20 ± 0,025 Так как интеграл у нас простой, проверим вычисление по формуле Ньютона-Лейбница:

Слайд 21

Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Итак, у нас получился следующий результат: I = 1,20 ± 0,025 Так как интеграл у нас простой, проверим вычисление по формуле Ньютона-Лейбница: