Конспект занятия "Производная, ее геометрический и физический смысл"
план-конспект занятия

Группа 1А4

Преподаватель: Курмакаева Р.И.

Тема занятия: Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования.

Цели занятия: сформировать понятия производной функции; рассмотреть физический и геометрический смысл производной; алгоритм нахождения производной; научить вычислять производную функции, используя данный алгоритм; познакомить с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, формировать умения применять полученные знания

Студент должен знать:  понятия производной функции, ее физический и геометрический смысл; алгоритм нахождения производной; таблицу дифференциалов элементарных функций; правила дифференцирования.

Студент должен уметь:  Применять таблицу дифференциалов элементарных функций и правила дифференцирования для нахождения производной функции.

Информационный блок

Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, разности, произведения, частного.

Перейдем к основным идеям одного из важнее разделов математики – дифференциального исчисления. Методы дифференциального исчисления дают возможность свести изучение сложного процесса к более простому – равномерному, найти его скорость и ускорение, определить условия оптимального прохождения процесса, оценить допущенные погрешности, построить графики и др. Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором рассматривается исследования функций с помощью производных и дифференциалов.

1.  Задачи, которые приводят к понятию производной

Задача 1 (о мгновенной скорости). Пусть некоторая материальная точка движется по оси x, так что x(t) есть координата точки в момент времени t. Спустя время  координата точки будет , т.е. за время  точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени  будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени  надо устремить  к нулю, то есть

Задача 2 (о касательной к графику). Пусть кривая задана уравнением . Соединим две ее точки М0(, ) и М(, ) секущей.

Тогда дробь  = , где есть угол наклона секущей к оси OX (в треугольнике М0МТ отношение катетов)

При  точка M начинает двигаться к точке M0. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M0 и в пределе она превратиться в касательную к точке M0. Угол  при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х. Поэтому можно утверждать, что

,

где  − угол, образованный касательной к кривой в точке  и осью OX, k − угловой коэффициент касательной.

Задача 3 (о скорости химической реакции) Пусть γ(t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. Спустя время  количество прореагировавшего вещества будет , т.е. за время  количество прореагировавшего вещества . Поэтому средняя скорость химической реакции за интервал времени  будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость химической реакции в момент времени  надо устремить  к нулю, то есть

Поскольку с помощью предела  решают кроме рассмотренных ещё и много других важнейших задач (например: задача о величине переменного тока, который течет в проводнике; нахождении линейной плотности неоднородного стержня, теплоемкости тела при его нагревании, угловой скорости тела, которое вращается и многие др), то целесообразно всесторонне изучить данный предел, в частности, указать способы его вычисления. Этот предел в математике и носит название производной.

2.  Производная, ее геометрический и физический смысл

Определение: Производной данной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее стремится к нулю и такой предел существует и конечен.

Заметим, что производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f'(x), y', . Конкретное значение производной при x=a обозначается f'(a) или y'|x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Физический смысл производной: скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

Геометрический смысл производной: у'(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0 (т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0(x;y) с положительным направлением оси Ox).

Определение. Касательной к графику функции в точке М0(x0, y0) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0..

Уравнение касательной к графику функции в точке М0 (x0, y0):

.

(вывод формулы самостоятельно, у=kx+b-уравнение прямой, k= )

3. Итак, мы дали определение производной, объяснили ее физический и геометрический смысл. Теперь необходимо сделать следующий шаг - рассмотреть правила дифференцирования.

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

Основные правила дифференцирования выражаются формулами:

4. Таблица производных  элементарных функций

Самостоятельная работа

1. Вопросы для самопроверки

1) Дать определения производной заданной функции.

2) Охарактеризовать символы 

5) Геометрический и физический смысл производной?

2. Найти производные функций:

1. в точке

2. в точке

3.

 4.

5.

6.

Источники:

Основные

1. М.Г.Гилярова Математика для медицинских колледжей, ООО «Феникс» 2017г., стр. 138 - 150

Дополнительные

1. М. И. Башмаков Математика для  СПО, ООО Феникс, 2017.
2. school-science.ru
3. https://www.yaklass.ru/
4. https://www.matematicus.ru/vysshaya-matematika/proizvodnaya/geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-proizvodnoj