Методичексий комплекс

по алгебре и началам математического анализа

для учащихся 10 класса

Вечернего (сменного) общеобразовательного учреждения

вечерняя (сменная) общеобразовательная школа №1 г. Валуйки Белгородской области

УМК А.Н.Колмогоров (базовый уровень)

недельная нагрузка, согласно Базисного плана, 1час и 1/3 академического часа на зачет по предмету

Автор: учитель математики

Вечернего (сменного) общеобразовательного учреждения

вечерняя (сменная) общеобразовательная школа №1 г. Валуйки Белгородской области

Максименко Валентина Алексеевна

Высшая квалификационная категория, стаж педагогической деятельности – 33 года.

2012

Данное пособие предназначено для учащихся 10 класса вечерней (сменной) общеобразовательной школы заочной формы обучения. Оно содержит теоретический материал по разделам ««Тригонометрические выражения и их преобразования» и «Тригонометрические выражения и их преобразования» соответствующих структуре изложения материала в учебнике УМК А.Н.Колмогоров (базовый уровень), приведены примеры с решениями, а также примеры для самостоятельного решения, снабженные ответами и рекомендациями. Пробные контрольные и зачетные работы с разобранными решениями заданий.

Теоретический и практический материал поможет учащимся 10 класса качественнее подготовиться к текущему контролю и зачетам, учащимся 12 класса – повторить и систематизировать знания по данным темам при подготовке к ЕГЭ.

Цели:

1. ликвидация пробелов знаний учащихся в связи с особенностями контингента  обучающихся в вечерней школе с заочной формой обучения;
2. оказание методической помощи при изучении данной темы учащимся, имеющим свободное посещением занятий;
3. оказание методической помощи при повторении данной темы в ходе подготовки к ЕГЭ учащимся 12 классов;
4. оказание помощи при подготовке к зачетным и контрольным работам;
5. оказание помощи при самостоятельной подготовке учащимися, занимающимися по программе экстерната, семейного и индивидуального обучения.

Рецензент: ЦМК математики и физики ГОУ СПО «Валуйский колледж» преподаватель физико-математических дисциплин,

Н.В.Яковлева.

Содержание

Зачетный раздел №1

1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, их свойства. Радианная мера углов.
2. Соотношения между тригонометрическими функциями угла и их применение в преобразованиях.
3. Формулы приведения
4. Контрольная работа № 1 «Тригонометрические выражения и их преобразования»
5. Обобщающее занятие по зачетному разделу №1
6. Зачет №1 по теме: «Тригонометрические выражения и их преобразование»12

Зачетный раздел №2

1. Формулы сложения
2. Формулы двойного и половинного аргумента
3. Формулы суммы и разности тригонометрических функций
4. Контрольная работа № 2 по теме: «Тригонометрические выражения и их преобразования»
5. Обобщающее занятие по зачетному разделу №2
6. Зачет №2 по теме: «Формулы сложения и их следствия»

7. Литература

Занятие №1

Тригонометрические функции любого аргумента.

Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Радианная мера угла.

Отметим на оси Ох  от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом.

 Угол Р (ОМ; ОЕ) можно описать как получившийся в результате вращения вокруг начала координат луча с началом в точке О от положения ОМ - начального до положения ОЕ - конечного. Это вращение может происходить или против часовой стрелки или по часовой стрелке,  причем

а) либо на неполный оборот,

б) либо на целое число полных оборотов;

в) либо на целое число полных оборотов и неполный оборот.

 Меры углов, ориентированных против часовой стрелки, считаются положительными, а по часовой стрелки _отрицательными

Будем считать равными углами такие углы, для которых при совмещении каким либо образом их начальных лучей совмещаются и конечные лучи, причем движение от начального луча к конечному осуществляется в одну и ту же сторону на одно и то же количество полных и неполных оборотов вокруг точки О.

Нулевые углы считаются равными.

Свойства мер углов:

1. Существует угол, мера которого равна 1 - единица измерения углов;
2. Равные углы имеют равные меры;
3. Мера суммы двух углов равна сумме мер углов;
4. Мера нулевого угла равна нулю..

Наиболее распространенные меры углов - градусная и радианная.

 Единицей измерения углов в градусной мере является угол величины в один градус - 1/180 часть развернутого  угла. Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 00 до 1800 . что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от -∞ до + ∞.

В качестве окружности с центром в начале координат мы будем брать окружность единичного радиуса, обозначая точки ее пересечения с координатными осями A(1;0), B(0;1), C(-1;0), D(0;-1). В качестве начального угла у рассматриваемых углов будет браться луч ОА.

Координатные оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и разбивают плоскость на четыре координатные четверти: I, II, III, IV (см. рисунок).

В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОМ, угол α будет так же углом этой четверти.

Так, если 00<α<900 , то угол α – угол первой четверти;

Если 900<α<1800 , то угол α – угол второй четверти;

Если 1800<α<2700 , то угол α – угол третьей четверти;

Если 2700<α<3600 , то угол α – угол четвертой четверти.

Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.

 Например, угол 4300 является углом 1 – ой четверти, так как 4300 = 3600 + 700 = 700;

Угол 9200 является углом 3-ей четверти, так как 9200 = 3600 ·2 + 2000 = 2000

 (т.е. число целых оборотов можно не учитывать!)

Углы 00, ± 900 , ± 1800, ± 2700, ± 3600 – не относятся ни к какой четверти.

Давайте определим, углом какой четверти является угол α, если:

   α =2830  (4)             α  = 1900 (3)                  α =1000  (2)     α  = -200  (4ч –отрицательное направление)

А теперь сами:

   α = 1790             α  = 3250                   α =8000  (2)     α  = -1200 

в курсе геометрии были определены синус, косинус, тангенс и котангенс угла α при

00 ≤ α ≤ 1800 . Теперь мы рассмотрим эти определения на случай произвольного угла α.

Пусть при повороте около точки О на угол α начальный радиус ОА переходит в радиус ОМ.

Синусом угла α называется  отношение ординаты точки М к длине радиуса.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки М к длине радиуса.

Тангенсом угла α называется  отношение ординаты точки М  к ее абсциссе.

Котангенсом  угла α называется  отношение абсциссы точки М  к ее ординате.

 Так как координаты точки М равны х и у, а длина радиуса равна единице, то

Sinα = у/R=y;  cosα = x/R = x;   tgα = y/x =  ;  ctgα = x/y =   

Рассмотрим примеры вычисления тригонометрических функций с помощью таблиц значений некоторых углов. Прочерки сделаны в том случае, когда выражение не имеет смысла.

Пример №1Найти sin300; cos450; tg600;

Решение: а)находим в столбике таблицы sinα и в строчке 300, н а пересечении столбца и строчки находим значение sin300- это число . Пишут так: sin300=

б)находим в столбике таблицы cosα и в строчке 450, н а пересечении столбца и строчки находим значение cos450 - это число . Пишут так: cos450 =

в) находим в столбике таблицы tgα и в строчке 600, н а пересечении столбца и строчки находим значение tg600- это число . Пишут так: tg600=.

Пример №2

 Вычислить а) 2сos600 + cos300 = 2·

                         б)3tg450 ·tg600 = 3·1·= 3

Вычислите самостоятельно: а) 5sin300  - ctg450 б) 2sin300 + 6cos600 – 4tg450

 в) 4tg600·sin600 в) 2cos00 -4sin900 +5tg1800

Рассмотрим  некоторые свойства тригонометрических функций.

Выясним какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.

Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол α, точка А перешла в точку М с координатами х и у. Так как Sinα = у/R=y, то знак Sinα зависит от знака у.

В I и II четвертях у>0, а в II и IV четвертях – у <0.

Знак cosα зависит от х, так как cosα = x/R = x, то для углов I и IV четвертях – у >0, а во

 II и III  четвертях у <0.

Так как tgα = y/x =  ;  ctgα = x/y =   , то в I и III  четвертях tgα и ctgα имеют знак «+», а во II и IV четвертях они имеют знак «минус».

Знаки синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из четвертей покажем на рисунке

ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

  +                  +

    -                -

знаки синуса                          знаки косинуса                             знаки тангенса и котангенса  -                  +

    -                +

  -                  +

    +                -

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией

       sin (-α) = - sin α                  cos (-α) = cos α                  tg (-α) = - tg α      ctg (-α) = - ctg α

              нечетная                                               четная                                      нечетная                   нечетная

Например: cos(-400) = cos400; sin( -300) = -sin300 = - ; tg(-600) = -tg600 = -

Отметим еще одно свойство тригонометрических функций:

При изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Например: а)sin 7650 = sin(2·3600 + 450) =sin450 =

                   б)cos (-11700) = cos11700 = cos(3·3600 +900)= cos900 = 0.

Попробуй определить знак выражения:

а)sin (-300) ; cos (-700); tg(-45)0; б) sin1000·cos3000; в) cos3200·ctg170

Мы уже отмечали, что наряду с градусной мерой угла существует и радианная мера углов.

 Единицей измерения углов в радианной мере является угол величины в один радиан - это такой центральный угол, которой опирается (или стягивает) дугу окружности, по длине равной ее радиусу.

Если обозначить 10 и 1рад. соответственно градусную и радианную меры, то для выражения градусной меры через радианную будем использовать формулу

, а для выражения радианной меры углов через градусную будем использовать формулу

1 рад ≈ 570, а 10 ≈ 0,017рад

1. Выразим в градусах  а) 4,5рад. б)

4,5рад. = 4,5·

= ·

2. Найдем радианную меру углов: а) 450 б) 720

Решение: 450 = 450 ·

                 720 = 720 ·

3. Найдем значение sin2,5
4. Решение: sin2,5= sin(2+ 0,5) = sin0,5= 0,5

Выразите в радианной мере углы: 300; 450; 600; 900 ; 1800; 2700; 3600.

Выразите в градусной мере углы: 0,5; ; ; -

Используя значения таблицы синуса, косинуса, тангенса и котангенса, найдите:

а) 2sin б) cos

Домашнее задание: П.28-30№700-714,728-731,737-741

Занятия №2 и №3

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

1 Основное тригонометрическое тождество

Для произвольного угла  найдем соотношения между тригонометрическими функциями.

Для любого угла  справедливо равенство:

                                (1)

Доказательство. На единичной окружности углу  соответствует точ ка . Квадрат расстояния между точками  и  равен единице: , откуда следует .■

2. Определение 1. , где .

Определение 2. , где .

, где ; .

Действительно, .

3. Разделив обе части равенства (1) на , получим , т.е. , .

Разделим обе части  равенства (1) на : , , .

4. Из основного тригонометрического тождества (1) следуют формулы:

, .

Знаки перед корнями соответствуют знакам .

5. Из формулы  найдем : , где .

Из формулы  найдем : , где .

Рассмотрим применение основных тригонометрических функций

Пример№1

Упростите выражение: 1-cos2α

Из основного тригонометрического тождества sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Подставим это выражение в данное и получим:

1-cos2α = 1 – (1 - sin2α) = 1 –1 + sin2α = sin2α

Пример №2

Упростите выражение: 1 - sin2α -  cos2α

Из основного тригонометрического тождества sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Подставим это выражение в данное и получим:

 1 - sin2α – (1 - sin2α) =  1 - sin2α – 1 + sin2α = 0.

Пример №3

Упростите выражение: sinx cosx tgx

Вспомним формулу tgx = , подставим это выражение в данное и получим:

sinx cosx  сократим числитель и знаменатель на общий множитель cosx,

sinx cosx  = sin2x

окончательно имеем: sinx cosx tgx =  sinx cosx  = sin2x

Пример №4

Упростите выражение:

 т.к.  = tgx, то , получим:

=  

Пример №5

Упростите выражение:cos2x – (ctg2x + 1)sin2 x

Решение: воспользуемся формулой ctg2x + 1= , получим:

cos2x – (ctg2x + 1)sin2 x = cos2x – sin2 x = cos2x – 1 = - (1 - cos2x ) = - sin2x.

Пример №6

Найти cosα, tgα, ctgα, если известно, что sinα = .

Решение: найдем сначала cosα. Из формулы sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Так как α является углом 2-ой четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

Зная синус и косинус угла α, можно найти его тангенс:

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой tgα·ctgα = 1. Имеем:

Пример№7

Известно, что tgα = 2 и 0<α<π/2. Найти sinα, cosα, ctgα.

Воспользовавшись формулой 1 + tg2 α = , найдем cosα. Имеем:

1 + 22 = ;           = 5,  cos2 α = 1/5

По условию угол α является углом 1-ой четверти, поэтому его косинус положителен. Значит, cosα =        

Зная cosα и tgα , можно найти sinα. Из формулы tgα =  получаем:

sinα = tgα· cosα =2·=

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой tgα·ctgα = 1. Имеем:

Выполните самостоятельно:

1. Упростите выражение: а) sin2 α -1; б) cos2x + (1 - sin2α); в) ;

г) tgα·ctgα +  ctg2 α; д) (tg2x + 1)( 1-cos2α); е)7сos2 α + 7sin2 α – 5; ж) сos4 α + sin2 α· сos2 α

2. Вычислите: а) сosα, если sinα = 0,6, 900 <α<1800 ;

 б) sinα и  tgα, если  cosα = 0,8, ;

в) tgα = 7. Найти  сtgα, cosα.

Домашнее задание: П.31-32№756-771, №775-780,783-789

Занятие №4

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют вычислять значения тригонометрических функций  произвольного аргумента через значения тригонометрических функций острого угла. Рассмотрим это утверждение подробно для функций .

Если аргумент  больше , то разделив  на , получим , где   и . Далее, используя периодичность функций получаем ; .

Если , то утверждение доказано. Пусть . Покажем, что и в этом случае вычисление  можно свести к значениям данных функций для угла , при этом значения , равные  и  не рассматриваем. Действительно, любой угол   можно представить в зависимости от величины  в виде , , , , где .

Значения синусов и косинусов таких углов вычисляются по формулам суммы и разности аргументов.

Покажем, что имеют место формулы

,                                ,

,                                ,

,                                ,

,                                ,

,                                ,

,                                ,

,                                .

Данные формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса. Докажем некоторые из них.

,

,

, и т.д.

Аналогичные рассуждения можно провести для тангенса и котангенса. Если аргумент  больше , то, используя их периодичность, можем записать: , , где .

Для перехода к аргументу  воспользуемся формулами приведения  для синуса и  косинуса: .

Аналогично доказываются следующие формулы приведения для тангенса и котангенса:, , .

Для запоминания формул приведения удобно использовать следующее правило.

1) При переходе через углы  наименование тригонометрической функции меняется на кофункцию ( на ,  на ,  на ,  на ). При переходе через углы  и  наименование функции сохраняется.

2) Знак перед приведенной функцией определяется знаком приводимой функции, в зависимости от четверти, к которой принадлежит ее аргумент.

Например

1.  .

 Наименование функции меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «+», поскольку , а во второй четверти .

 Другие примеры:

 наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «-», поскольку , а в третьей четверти cosx<0

3.  вынесем за скобки «минус». Т.е. поменяем знак у каждого слагаемого, т.е. поменяем местами слагаемые, чтобы получить формулу приведения , т.к. функция синус нечетная, то знак минус вынесем за скобки

= -  = - sinα

4. cos(α-π) = cos(-(π - α) функция косинус четная, а значит знак минус можно просто опустить 

 cos(α-π) = cos(-(π - α) = cos(π - α) = - cosα

5. Иногда удобно использовать таблицы формул приведения. Найдем  используя таблицу. Смотрим столбик и находим sinx , а в строчке находим . На пересечении столбца и строчки найдем значение выражения cosx. Окончательно имеем:  = cosx.

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

Приведите к тригонометрической функции угла α

 ; ; ;

  Найдем значение выражения cos1200

Решение

Мы представили 1200 как разность 1800 и 600. Учитывая,   что для углов 1800 наименование функции сохраняется, получим туже функцию cos. Угол  1800 - 600     является углом второй четверти, где функция   косинус имеет знак минус. Окончательно имеем: cos1200 = cos(1800 – 600) = - cos600 = -0,5

Найдем значение выражения: cos

Решение: из дроби выделим целую часть, для этого разделим 8 на 3. Целых  2 и остаток 8-2·3 = 8-6 = 2, т.е. =

cos ()наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое 2. Знак перед приведенной функцией «+», поскольку , а в первой четверти cosx>0

cos ()= cos приведем угол к углу первой четверти, т.е. = π-, тогда cos ()= cos = cos(π-) наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «-», поскольку , а во второй четверти cosx<0. Окончательно имеем:

cos ()= cos = cos(π-) = -  cos= - 0,5

Проверь себя!

1. Упростить выражение:

а)sin(900 –α) + cos(1800 + α) + tg(2700+α) + ctg(3600 +α)  (ответ: 0)

б) sin(π/2+α) -  cos(α-π) + tg(π - α) + ctg(5π/2 - α)  ( ответ: 2cosα)

2. Найдите значение выражения: а) sin 2400 ; б) cos (-2100) ; в)  tg3000

Ответ. а) -;  б) -; в) -

Домашнее задание:  

П.33№795-798

 подготовиться к контрольной работе № 1 «Тригонометрические выражения и их преобразования» и зачету №1

Контрольная работа №1

 подготовительный вариант

Тема:«Тригонометрические выражения и их преобразование»

1. Дано: cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π. Вычислить а) sinα б)tg(π/2 +α)
2. Докажите равенство:
3. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения 6 sinα
4. Переведите из градусной меры в радианную: а)1500 б)2700
5. Переведите из радианной меры в градусную: а)
6. Упростите выражение: (1 – sin2 α): (1- cos2 α)

Если вы выполнили предложенную вам работу, я предлагаю вам проверить правильность ее выполнения:

      №1 Решение: а) sinα = -Т.к cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π,

 б) tg(π/2 +α) = - ctgα = -

№2 Решение:

№3 Решение: 6 sinα , т.к. -1 ≤ sinα ≤ 1, то     . -6 ≤ 6 sinα ≤ 6. Значит наименьшее значение функции равно -6, а наибольшее значение функции равно 6.

№4 Решение: а)1500 =             б)2700 =

№5 Решение: а)

№6 Решение: (1 – sin2 α): (1- cos2 α) = cos2x : sin2x = ctg2x

Надеюсь, что вы не нашли ошибочных решений у себя или их было очень мало!

Обобщающее повторение по зачетному разделу №1

Теоретическая разминка

(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)

1.   Для каких значений угла  имеет смысл выражения:

2.  Какие знаки имеет синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?

3.   а) Чему равен ;б) Чему равен

      4.   а) Выразите в радианах б) Выразите в радианах

      5.   а) Назовите формулу, выражающую связь между синусом и

          косинусом одного и того же угла.      б) Чему равно выражение

6.   а) Как выражается тангенс угла через косинус того же угла?

      б) Как выражается котангенс угла через синус того же угла?

7.   а) Назовите формулы приведения для первой, второй, третьей и четвертой четвертей.

1. Найдите ошибку:

Немного подумай и реши:

1. Упростите выражение:

2. Вычислите  и , если  

3. Упростите выражение: