Олимпиада по математике

Олимпиада по математике

Школьная олимпиада по математике - это особый вид деятельности, направленный на подготовку учащихся к жизни в современных условиях, в условиях конкуренции. Причем главная ценность олимпиад состоит не в выявлении победителей и награждении особо одарённых учащихся, а в общем подъёме математической культуры, интеллектуального уровня учащихся.

В 1960 г. оргкомитет XXIII Московской математической олимпиады совместно с Министерством просвещения РСФСР провели математические соревнования в более широком масштабе. В них приняли участие команды 13 областей РСФСР и 9 союз­ных республик. Это положило начало проведению сначала все­российских, а с 1967 г.— всесоюзных математических олимпиад. В настоящее время всесоюзные олимпиады проводятся в несколько туров: школьный, районный, областной, республиканский и заклю­чительный.

Общие принципы

формирования комплектов олимпиадных заданий по математике

Нарастание сложности заданий от первого к последнему. При этом их трудность должна быть такой, чтобы с первыми заданиями могли успешно справиться большинство участников Олимпиады.

Олимпиадные задания школьного и муниципального этапов составляются на основе программ по математике для общеобразовательных учебных учреждений.

Тематическое разнообразие заданий: в комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, в младших классах – по арифметике, логические задачи; в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригонометрии, стереометрии, математическому анализу. При этом допустимо и даже рекомендуется включение в варианты задач, объединяющих различные разделы школьной математики. В качестве сложных задач возможно включение в вариант задач, использующих материал, изучаемый на факультативных занятиях.

Обязательная новизна задач для участников олимпиады. В случае, когда задания выбираются из печатных изданий или из сети Интернет, методическая комиссия соответствующего этапа должна использовать источники, по возможности не известные участникам. Недопустимо составление комплекта заданий одной олимпиады на основе одного (единственного) источника.

Недопустимость включения в задания задач по разделам математики, не изученным по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии в соответствующем классе к моменту проведения олимпиады.

Школьный этап Олимпиады

Школьный этап Олимпиады проводится для учащихся 5-11 классов. Вариант должен содержать 4-5 задач разной сложности. Рекомендуется подготовка заданий для школьного этапа Олимпиады муниципальными предметно-методическими комиссиями по математике.

Ниже приводятся темы, которые рекомендуется использовать при составлении вариантов заданий текущего учебного года. Важно отметить, что в силу специфики регионов и различий в степени доступности участникам олимпиады тех или иных источников задач, сложности в составлении (подборе) задач предлагаемой тематики необходимой для данной территории трудности, предметно-методические комиссии могут менять рекомендуемую тематику заданий.

5 класс

Числовые ребусы. Задачи на разрезание, переливания, взвешивания. Логические или текстовые задачи.

6 класс

Числовые ребусы. Задачи на составление уравнения. Свойства геометрических фигур. Логические или текстовые задачи. Четность.

7 класс

Числовые ребусы. Задачи на составление уравнения. Делимость натуральных чисел. Задачи на переливания, взвешивания. Логические задачи.

8 класс

Преобразование алгебраических выражений. Построение графиков функций.

Основные элементы треугольника. Делимость натуральных чисел. Логические задачи.

9 класс

Делимость. Квадратный трехчлен и его свойства. Преобразования алгебраических выражений. Основные элементы треугольника. Логические (комбинаторные) задачи.

10 класс

Квадратный трехчлен и его свойства. Прогрессии. Площадь. Подобие фигур.

Неравенства. Логические (комбинаторные) задачи.

11 класс

Системы уравнений. Окружность. Свойства вписанных углов. Тригонометрические уравнения. Построение графиков функций. Комбинаторные задачи.

Принцип Дирихле 6 класс

Пусть в n коробок помещены k предметов. Если количество предметов больше количества коробок (k > n), тогда существует хотя бы одна коробка, в которой бы находилось 2 предмета.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. В хвойном лесу растут 800 000 елей. На каждой ели - не более    500 000 иголок. Доказать, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Решим эту задачу, используя принцип Дирихле. Пусть имеются 500 000 коробок, соответственно пронумерованных 1,2,3,...,500 000. Помещаем (мысленно) в эти коробки 800 000 елей следующим образом: в ящик с номером s помещаем ели, на которых ровно s иголок. Поскольку елей, то есть "предметов", больше, чем коробок, следует, что по крайней мере одна коробка будет содержать не менее двух предметов, то есть, не менее двух елей. Так как в одной и той же коробке находятся ели с одинаковым числом иголок, приходим к выводу, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Конечно, задача 1, как мы убедились, очевидна, и легко может быть решена без помощи принципа Дирихле. Поэтому, естественно, возникает вопрос: "Для чего тогда нужен принцип Дирихле?" В дальнейшем мы увидим, что некоторые задачи не так очевидны при непосредственном решении, но в то же время достаточно просто решаются при помощи принципа Дирихле. Простота решения в значительной степени зависит от того, насколько удачно будут выбраны "коробки" и "предметы". То есть, при использовании принципа Дирихле необходимо указать, что (кто) будет "коробкой", а что (кто) - "предметом".

В дальнейшем, для закрепления материала, приведем решения ряда задач.

Задача 2. Доказать, что среди шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5.

Решение. Рассмотрим 5 коробок, пронумерованных 0,1,2,3,4, - цифрами, представляющими собой остатки от деления на 5. Распределим в эти коробки шесть произвольных целых чисел в соответсвии с остатком от деления на 5, то есть, в одну и ту же коробку помещаем числа, имеющие одинаковый остаток от деления на 5. Поскольку чисел ("предметов") больше, чем коробок, согласно принципу Дирихле, существует одна коробка, содержащая более одного предмета. То есть, существуют (по крайней мере) два числа, помещенные в одну и ту же коробку. Следовательно, существуют два числа с одинаковым остатком от деления на 5. Тогда, разность этих чисел делится на 5.

Задача 3. Доказать, что для любого натурального числа n ≥ 1, существует натуральное число, состоящее из цифр 0 и 5, делящееся на n.

Решение. Рассмотрим натуральные числа и распределим эти "предметы" в "коробки" пронумерованные 0,1,...,n-1 (цифрами, представляющими собой остатки от деления на n). В коробку s помещаем число ak, которое имеет остаток от деления на n, равный s.

Если в коробке с номером 0 находится один "предмет" (то есть, одно число), тогда задача решена. В противном случае n "предметов" находятся в n-1 "коробках". Согласно приципу Дирихле, существуют два "предмета" (числа), находящиеся в одной и той же коробке. То есть, существуют два числа, имеющие одинаковый остаток от деления на n. Их разность будет делится на n, и как легко заметить, разность чисел, состоящих из цифр 0 и 5, также будет числом, состоящим из 0 и 5.

Задача 4. В зале находятся n человек (n ≥ 2). Доказать, что среди них найдутся два человека с одинаковым числом знакомых (предполагается, что если человек A является знакомым человека B, то и B является знакомым A; никто не считается своим собственным знакомым).

Рещение. Обозначим через m количество человек, которые имеют хотя бы одно знакомство в зале (это и будут "предметы"). Каждый из этих m человек может иметь 1,2,...,m-1 знакомых ("коробки" - число знакомых).

Согластно принципу Дирихле, сущетсвуют два человека с одинаковым числом знакомых.

При решении некоторых задач полезно применять обобщенный принцип Дирихле.

Если pn+1 предметов поместить в n коробок, тогда хотя бы одна коробка будет содержать по крайней мере p+1 предметов.

Задача 5. В доме живут 40 учеников. Существует ли такой месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения.

Решение. Пусть "коробками" будут месяцы, а "предметами" - ученики. Распределяем, "предметы" по "коробкам" в зависимости от месяца рождения. Так как число месяцев, то есть, коробок, равно 12, а число учеников, то есть, предметов 40 = 12·3+4, согласно принципу Дирихле существует коробка (месяц) с по крайней мере 3+1=4 предметами (учениками).

Задача 6. Пусть M - множество, состоящее из n целых чисел. Доказать, что существует подмножество M1 множества M такое, что сумма элементов множества M1 делилась бы на n.

Решение. Пусть M = {a1,a2,...,an}. Рассмотрим следующие суммы

S1 = a1,

S2 = a1 + a2,

...

Sn = a1 + a2 + ... + an.

Если одно из чисел Sk (k = 1,...,n) не делится на n, тогда остатки от деления на n будут 1,2,...,n - 1. Так как имеются n сумм и n - 1 остатков, то по крайней мере две суммы дадут одинаковый остаток от деления на n. Пусть Sk и Sm (1 ≤ k < m ≤ n) - две из них. Тогда Sm - Sk делится на n, и искомое множество есть {ak+1, ... ,am}.

Задача 7. Доказать, что из n+1 различных натуральных чисел, меньших 2n, можно выбрать 3 числа так, чтобы одно число было равно сумме двух других.

Решение. Пусть a1 < a2 < ... < an+1 - данные числа. Рассмотрим разности :

a2 - a1,

a3 - a1,

...

an+1 - a1.

Эти числа различны, положительны и меньшие, чем 2n. Согласно принципу Дирихле, хотя бы два числа совпадают. Более того, одно из этих чисел принадлежит множеству {a2 - a1, ... ,an+1 - a1}. Пусть это будут числа ak и am - a1. Отсюда ak = am - a1, и, следовательно, am = ak + a1.

Задача 8. Пусть a1,a2, ... ,an - перестановка чисел 1,2,3,...,n. Доказать, что произведение (a1 - 1)(a2 - 2)...(an - n) будет четным, если n - нечетно.

Решение. Пусть n = 2k + 1. Во множестве рассмотренных чисел k + 1 чисел будут нечетными. В исходном произведении среди уменьшаемых и вычитаемых будут (k + 1) + (k + 1) = 2(k + 1) = n + 1 нечетных чисел. Поскольку произведение состоит из n сомножителей, один (по крайней мере) из них будет содержать только нечетные числа (и уменьшаемое и вычитаемое будут нечетными). Таким образом, этот множитель будет четным, и произведение также будет четным.

Задача 9. В 500 коробках лежат яблоки. Известно, что в каждой коробке находятся не более 240 яблок. Доказать, что существуют хотя бы 3 коробки, которые содержат одинаковое количество яблок.

Решение. Пусть в первых 240 коробках находится различное количество яблок (1,2,...,240) , в следующих 240 коробках - аналогично (то есть, анализируется экстремальный случай; более подробно об этом методе рассказывается в теме "принцип крайнего"). Таким образом, остались 500 - 2·240 = 20 коробок, в которые необходимо поместить яблоки от 1 до 240.

Задача 10. В коробке лежат 10 красных карандашей, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. Наугад (произвольно) из коробки вынимают n карандашей. Определить наименьшее число карандашей, которые необходимо вынуть, чтобы среди них было:

a) не менее 4 карандашей одного цвета;

b) по одному карандашу каждого цвета;

c) хотя бы 6 карандашей синего цвета.

Решение. a) Пусть вынули 13 карандашей. Так как у нас всего 4 цвета, согласно принципу Дирихле (карандаши будут "предметами", а цвета - "коробками"), по крайней мере 4 карандаша будут одинакового цвета.

Докажем, что n = 13 является наименьшим числом. С этой целью покажем ситуацию, при которой условия задачи не выполняются. Например, когда вынуто по 3 карандаша каждого цвета (12 карандашей). Отметим, что эта ситуация возможна, так как в коробке находится не менее 3 карандашей каждого цвета.

Случаи b) и с) решаются аналогично.

Рекомендуемая литература:

1.                      Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. - М.: Наука, 1975

2.                      Заочные математические олимпиады. - М.: Наука, 1981

3.                      Прасолов   В.В. Задачи по планиметрии. Ч. 2. -М.: Наука, 1991.

4.                      Петраков   И.С. Математические олимпиады школьников. - М.:   Просвещение, 1982.