Группа Сэ 21, 02.11.2021, Техническая механика
методическая разработка

Равновесие при наличии сил трения

1. Равновесие при наличии трения.

2. Центр параллельных сил.

3. Центр тяжести твёрдого тела.

4. Способы определения координат центров тяжести тел.

 1.  Равновесие при наличии трения

Расчет конструкций с учетом сил трения сводится обычно к рассмотрению предельного равновесия, когда сила трения достигает максимального значения. Аналитическое решение задач производится методами статики, изложенными в предыдущих параграфах настоящей главы, при этом реакцию шероховатой связи (в которой возникает сила трения) изображают двумя составляющими: N - нормальная реакция и  - максимальная (предельная) сила трения.

Законы трения скольжения:

1. Сила трения скольжения возникает при стремлении сдвинуть одно тело относительно другого (рис. 2.8) и направлена в сторону, противоположную сдвигающей силе. Сила трения изменяется от 0 (нуля) до  (максимального значения), при изменении сдвигающей силы от 0 (нуля) до предельного значения  (предельное равновесие).

2. Максимальная сила трения определяется по закону Амонтона-Кулона и численно равна произведению статического коэффициента трения на силу нормального давления:

.                                        (2.20)

Коэффициент трения  - безразмерная величина. Определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния поверхностей.

Рис. 2.8

3. При нарушении предельного равновесия (при сдвиге) сила трения уменьшается. Для большинства случаев динамический коэффициент трения меньше статического:

<.                                         (2.21)

4. Коэффициент трения скольжения равен тангенсу угла трения:

.                                        (2.22)

Угол трения , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, при изменении силы трения от 0 (нуля) до , как видно из рис. 2.8, также изменяется от 0 (нуля) до максимального значения , т.к. ,

2.  Центр параллельных сил

Точка C, через которую проходит линия действия равнодействующей системы при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдём координаты центра параллельных сил: , равнодействующая которых

                        (4.1)

Пусть координаты точек (,,), (,,), C(,,) (рис.4.1). На основании теоремы Вариньона:

.                                        (4.2)

Из рисунка 4.1. следует, что  и т.д. Подставляя эти значения моментов в равенство (4.2), получим:

.

Рис. 4.1

Отсюда находим

.

Аналогично определяется координата . Чтобы определить координату  следует повернуть все силы параллельно оси oy и применить теорему Вариньона относительно оси ох.

Окончательно получим следующие формулы:

.                                4.3)

3. Центр тяжести твёрдого тела

На любое твёрдое тело вблизи земной поверхности действуют силы тяжести отдельных частей тела: , ,…,  ,направленные вертикально вниз. Равнодействующая этих сил называется весом тела и определяется равенством:

.                                                (4.4)

Точка C, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любых поворотах тела в пространстве, называется центом тяжести тела.

Координаты центра тяжести, как и центра параллельных сил, определяются формулами (4.3):

,                                (4.5)

где  - координаты точек приложения сил тяжести отдельных частей тела.

Центр тяжести - точка геометрическая, она может лежать и вне пределов данного тела (кольцо, полый цилиндр и др.).

Координаты центров тяжести однородных тел

Для однородного тела вес Р пропорционален объёму V , вес любой части  пропорционален объёму этой же части:

, где  - вес единицы объёма. Подставляя эти значения P и  в формулы (4.5) и сокращая на , получим центр тяжести объёма:

,                                 (4.6)

Аналогично рассматривая однородное плоское тело, получим координаты центра тяжести площади:

,                                (4.7)

где S - площадь тела,  - площадь его частей.

Так же определяется центр тяжести линии:

,                        (4.8)

где L - длина линии (стержня, трубы и т. п.),  - длина её частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется как центр тяжести объёма (4.6), площади (4.7) и линии (4.8).

4. Способы определения координат центров тяжести твердых тел

Полученные формулы позволяют выделить конкретные способы определения координат центров тяжести твердых тел.

1. Способ симметрии. Если тело имеет центр, ось или плоскость симметрии, то центр тяжести в силу симметрии одинаковых частей тела будет лежать соответственно в центре, на оси или плоскости симметрии (кольцо, круглая или прямоугольная пластина, параллелепипед, треугольник и т. п.).
2. Способ разбиения на части. Если тело можно разбить на конечное число частей, центры тяжести которых известны, то координаты центра тяжести определяются по формулам (4.5-4.8). Число слагаемых в числителе будет равно числу частей, на которые разбивается тело.

Примечание: вырезанная часть тела учитывается со знаком минус.

3. Способ интегрирования. Если тело нельзя разбить на отдельные части, центры тяжести которых известны, то разбивают тело на ∞ малые части и суммы в формулах (4.6-4.8) превращают в интегралы по объёму, площади, линии. Примеры изложены в курсе высшей математики и в учебниках по теоретической механике.
4. Способ экспериментальный. Для тел сложной конфигурации используют метод подвешивания на нити или тросе за две разные точки.

Линии пересечения дают положение центра тяжести. Для крупногабаритных тел: автомобиль, трактор, комбайн и т. п. - используют метод взвешивания. Идея метода изложена на рисунке 4.2, откуда следует

;          ;.

                                                (4.9)

Рис. 4.2