Группа Ст 21, 20.01.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Момент силы относительно оси

1. Момент силы относительно центра как вектор

Для любой силы в пространстве, вращающий эффект характеризуется тремя элементами (рис. 3.1):

1.  величиной (модулем) момента, равным F∙h;
2.  плоскостью поворота ОАВ;
3.  направлением поворота в этой плоскости.

Рис. 3.1

Все эти три элемента характеризуются одним вектором , приложенным в центре О, равным по величине F∙h (произведению модуля силы на плечо), перпендикулярным плоскости поворота ОАВ и направленным в сторону, откуда поворот, совершаемый силой F, виден против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор момента , одновременно характеризует величину, плоскость и направление поворота силы  относительно центра О и определяется векторным произведением:

.                                                (3.1)

Момент силы  относительно центра О равен векторному произведению радиуса - вектора точки приложения силы  на вектор силы.

Уравнение (3.1) определяет все три элемента момента силы, в том числе его величину:

.                                        (3.2)

2. Момент силы относительно оси

Пусть сила , приложенная в точке А, стремится повернуть тело вокруг оси z (рис. 3.2). Определим ее вращательный эффект. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу  на составляющие:  параллельную оси z и в плоскости ху. Сила II z и не может повернуть тело относительно оси (она стремится сдвинуть его вдоль оси). Следовательно, весь вращающий эффект, создаваемый силой , будет определяться моментом ее составляющей . Из рис. 3.2 видно, что момент  относительно оси z равно моменту этой же силы относительно точки О (точки пересечения оси z с плоскостью ху). Момент же силы  на основании уравнения (2.1) равен . Тогда окончательно будем иметь:

.                                (3.3)

Рис. 3.2

Определение: Момент силы относительно оси - алгебраическая величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент считается положительным, если с положительного конца оси z поворот, который стремится совершить проекция силы, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу стрелки часов. На рис. 3.2 момент силы  относительно оси z - отрицательный.

Частные случаи:

1. Если сила  параллельна оси z, то ее момент равен нулю , т.к. .

2.  Если сила  пересекает ось z, то ее момент равен нулю , т.к. h=0.
3.  Если сила  перпендикулярна оси z, то ее момент равен произведению модуля силы на ее расстояние до оси .

Аналитические формулы для вычисления моментов силы относительно оси. Пусть сила , проекции которой на оси ,,, приложена к телу в точке  с координатами () (рис. 3.3). На основании уравнения (3.3)

По теореме Вариньона (уравнение 2.3):

.

Рис. 3.3                        Рис. 3.4

Из рис. 3.3 следует, что , а . С учётом этих значений . Аналогично вычисляются моменты относительно других осей. В результате имеем:

,

,                                     (3.4)

.

3. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси

Пусть на тело в точке А действует сила  (рис. 3.4). Проведём ось Z и возьмём на ней произвольно точку О. Момент силы  относительно центра О будет определяться вектором пл. ОАВ по величине (уравнения 3.1 и 3.2) плОАВ.

Через любую точку О ' проведём плоскость хуZ и найдём проекцию силы F на эту плоскость . Тогда на основании уравнений (3.3 и 2.2) =2плО'А'В'.

Так как О'А'В' является проекцией ОАВ на плоскость ху, то пл. О'А'В' = пл.OABcos, где γ - угол между плоскостями этих треугольников, равный углу между перпендикулярами к плоскостям. Умножая обе части последнего равенства на два, получим с учётом предыдущих уравнений:

.                        (3.5)

Определение:  Проекция вектора момента силы относительно центра на любую ось равна моменту данной силы относительно этой же оси.