Группа Ст 21, 20.01 2022 г., техническая механика
методическая разработка

Грууппаа ст 21, 20.01.2022 г., лекция по теме: Пространственная сходящаяся система сил

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл prostr._shod._s.s.docx460.13 КБ

Предварительный просмотр:

Пространственная сходящаяся система сил

Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоугольник.https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-gPal6G.jpg

В отличии от соответственно плоской задачи, силовой многоугольник не является плоским, то есть он представляет ломаную пространственную линию. Проекции равнодействующей силы R на оси декартовых координат x, y, z равны суммам

проекций слагаемых сил на соответствующей оси.

Рис. 1.38

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-WZ_nbF.png

Модуль равнодействующей R:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-2JDGnh.png

Направляющие косинусы равны:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-VKVOOL.png

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-Oe_nxc.jpg

                Рис. 1.39

Для равновесия твердого тела, к которому приложена пространственная система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю, то есть, чтобы силовой многоугольник был замкнут. При этом уравнения равновесия имеют вид:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-yUTbQa.png

3.2. Произвольная пространственная система сил.

3.2.1. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве.

В случае плоской системы сил момент силы относительно точки определён как алгебраическая величина: https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-OcgiMQ.png. При пространственном расположении сил этого определения не достаточно, так как плоскости, проходящие через линии действия сил и точку, относительно которой определяется момент, различны. Поэтому момент https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-SXFGXV.png силы P относительно точки О в пространстве определяют как векторное произведение https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-5leiZn.png, где https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-wD_Dy3.png - вектор радиус проведенный из точки О в точку приложения силы.

Таким образом векторhttps://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-a37IrG.png направлен перпендикулярно плоскости, содержащий линию действия силы и точку О, так что сила https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-CWaFXT.png с конца его вектора https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-hB3Loo.png видно направление против часовой стрелки.https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-YDGlr6.jpg

Рис. 1.40

Модуль вектора https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-B3T0pz.pngравен:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-5DJLUR.png

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-hz82md.png

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-sXQguV.jpg

Рис. 1.41

Если сила https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-I128y8.png с конца оси z видно направление вокруг точки О против часовой стрелки то момент положительный.

Итак, момент силы относительно точки – вектор, а момент силы относительно оси – скалярная величина.

При вычислении моментов относительно оси надо иметь следующие частные случаи:

1. Если сила параллельна оси, то её момент относительно оси равен нулю https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-lkkalP.png.

2. Если линия действия силы пересекает ось, то её момент относительно оси равен нулю https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-f4SPQt.png.

3. Если сила перпендикулярна оси, то её момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью.

Получим аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат.

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-x_mMxR.jpg

Рис. 1.42

Спроецируем силу https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-K7v2Ng.png на плоскость https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-bXaxXn.png и разложим полученную проекцию на составляющие https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-234Pd3.png и https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-BcvfAC.png; численно эти составляющие будут, очевидно, равны проекциям силы https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-vyUmtT.png на оси https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-nyjhkt.png. Тогда

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-oFZMSd.png

Последнее равенство вытекает из теоремы Вариньона. Но как видно из чертежа, https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-RYBloY.png следовательно https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-hiMhx3.png. Аналогично вычисляются моменты относительно других осей.

В результате получим:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-mymnXZ.png

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-zMR0z8.png

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-3dUhYv.png

3.2.2. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси.

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-J9ckRa.jpg

Рис. 1.43

Пусть на тело действует приложенная в точке https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-WeCBGs.png сила https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-giqf5F.png. Проведём ось https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-5QhnDi.png и возьмем на ней произвольную точку https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-3ma1Q6.png. момент силы https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-npthvg.png относительно центра будет изображаться вектором https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-ohGQRB.png, перпендикулярным плоскости https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-Ybzgqy.pngпричём по модулю

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-Q70ck4.png.

Проведём теперь через любую точку https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-eL6WI0.png плоскость https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-0uVvbM.png, перпендикулярную оси https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-wUQw5O.png; проецируя силу https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-uRBNzP.png на эту плоскость, найдём:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-pMTjfS.png

Но треугольник https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-pi_H_V.png представляет собой проекцию треугольника https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-7KG7OA.png на плоскость https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-3TobeP.png. Угол между плоскостями треугольников равен https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-nCbDFx.png.

Тогда https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-CAkVQb.png.

Умножим обе части уравнения на 2, находим

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-f8P233.png

Так как произведение https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-gFsmpN.png даёт проекцию https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-zTIOX7.png или https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-Th9y9W.png.

Момент силы https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-AwGxNm.png относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно центра, лежащего на этой оси. Или проекция вектора момента силы относительно центра на ось, проходящую через центр, равен моменту силы относительно этой оси.

3.3.3. Главные векторы сил и моментов.

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма сил системы.

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-RqLwLI.png

Рассмотрим систему сил, как угодно ориентированных в пространстве. Вычислим моменты этих сил относительно точки https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-1e0UVy.png.

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-J274NF.pnghttps://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-zq_X3r.jpghttps://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-LIbr3T.jpg

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-lLdBH9.png

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-yFcLTC.png

Векторы https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-sbCcp3.png https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-pPrvFM.png все приложены в точкеhttps://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-mdDM0x.png. Построим многоугольник векторов моментов. Замыкающая сторона этого многоугольника – главный момент относительно неподвижного центра

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-dfd0yX.png

Рис. 1.44 https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-gU9Z10.png

Таким образом, главным моментом пространственной системы сил относительно центра называется геометрическая сумма моментов сил системы относительно того же центра.

Главным моментом пространственной системы сил относительно неподвижной оси называется алгебраическая сумма моментов сил системы той же оси.

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-DGJdNP.png

3.2.4. Приведение пространственной системы сил к заданному центру.

Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо).

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-qAd6c_.jpg

Рис. 1.45

Приведём силу к центру https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-5cL3O6.png. В точке https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-6a9HX7.png приложим систему сил https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-_hEgDv.png, причёмhttps://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-qYkmr4.png

Силы https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-fTHLdq.png образуют пару, момент которой https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-KvKt_u.png.

При приведении сил к заданному центру получаем в этом центре силу, геометрически равную заданной, и пару, момент которой равен моменту силы относительно центра приведения.

Теорема

При приведении пространственной системы сил к центру всегда получим силу, называемую главным вектором сил, приложенную в центре приведения и пару сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.

Доказательство:https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-TvQw4e.jpg

Пусть имеем систему сил, как угодно ориентированных в пространстве (ограничимся тремя силами). Каждую силу приводим к центру https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-KdDEU9.png на основании метода Пуансо. В точке https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-NxmQF4.png получим систему сходящихся сил https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-sVwf8Q.png. Геометрическая сумма этих сил – есть главный вектор: https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-QkqNoq.png.

Векторы моментов

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-SSwmC2.png

Рис. 1.46 так же образуют систему, сходящихся

векторов. Их геометрическая сумма – есть

главный момент системы сил

относительно центра https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-ycNu2y.png.

3.2.5. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил.

Главный вектор:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-W4btCe.png.

Спроектируем обе части этого векторного соотношения на оси https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-Vui8Wq.png.

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-tlkV8L.pnghttps://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-1gKp1f.jpg

Тогда модуль https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-dOw5wj.png равен:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-0EV5cr.png

Направление https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-2c_0al.png определяется направлением косинусов:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-jVGsrJ.png

Рис. 1.47 https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-9HSH6S.png

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-PuWlKQ.png

Главный момент

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-ZTHg3H.png

Спроектируем данное векторное соотношение на оси https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-1cPtoC.png:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-qK3_gk.png

Модуль главного момента равен

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-N_LFjf.png

Направление определяем направлением косинусов:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-AN0xPv.png

3.2.6. Условия и уравнения равновесия пространственной системы сил.

Теорема

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю.

Доказательство:

Достаточность.

При https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-fWkjvL.png, система сходящихся сил, приложенных в центре приведения эквивалентна нулю, а при https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-m0rFaK.png - система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Необходимость. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Тогда необходимо, чтобы https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-uWNHbe.png.

Если какое-либо из этих условий не выполняется, то система сил приводится либо https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-tI1IzV.png, либо к паре, момент которой https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-gs9MAp.png и следовательно, не является уравновешенной, что противоречит исходной предпосылке.

Уравнения равновесия:

https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-s2kJTT.png

+https://studfile.net/html/2706/272/html_9BU0E9QNWo.Pj4H/img-6jtGZP.png

В случае произвольной пространственной системы сил задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более шести.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Группа Вс 21, 12.01.2022 г., техническая механика

Группа Вс 21, 12.01.2022 г., 2 пара, лекция по теме: Классификация нагрузок. Формы элементов конструкций...

группа Т 21. 12.01.2022 г. техническая механика

группа  Т 21, 12.01.2022 г., практичееское занятие по теме: Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и определение перемещений бруса. Методика решения задач....

Группа Ст 21, 3.02.2022 г., техническая механика

Группа Ст 21, 3.02.2022 г., 2 пара, лекция по теме: Пространственная система сходящихся сил...

Группа Ст 21, 3.02.2022 г, техническая механика

Группа Ст 21, 03.02.2022 г., практическое занятие по теме: Центр тяжести плоских фигур. Статический момент. Координаты центра тяжести....

Группа Св 21. 14.01.2022 г., техническая механика

Группа Св 21, 14.01.2022 г., лекция по теме: Нагрузки внешние и внутренние. Метод сечений. Внутренние силовые факторы...

Группа А 21, 14.01.2022 г., техническая механика

Группа А 21, 14.01.022 г., 4 пара, занятие по теме: Пространственная сходящаяся система сил...

Группа Вс 21, 19.01.2022 г., техническая механика

Группа Вс 21, 2 пара, 19.01.2022 г., лекция по теме: Напряжения...