Группа Вс 21, 23.03.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Моменты инерции сложных фигур, составленных из простых геометрических фигур и стандартных прокатных профилей

Пример

Найти главные центральные моменты инерции сложной плоского сечения, состоящего из неравнобокого уголка (1258010), швеллера № 24а и двутавра № 24а (рис. 17)

Решение:

1. На миллиметровой бумаге вычерчиваем заданное плоское сечение в масштабе и указываем на чертеже все соответствующие размеры (рис. 21).

2. Сложное сечение разбиваем на простейшие фигуры (уголок, швеллер, прямоугольник, двутавр).

3. Определяем площадь всей фигуры как сумму площадей простейших фигур:

.

По таблицам приложений:

 19,70

A = 19,7 + 32,9 + 37,5 = 90,1

Рис. 18

Через центр тяжести каждой фигуры проводим соответствующие координатные оси.

4. Определяем осевые и центробежные моменты инерции для каждой фигуры относительно своих осей координат:

а) Неравнобокий уголок:

Рис. 19.

Осевые моменты инерции:

x1 = y0 = 4,14 см: y1 = x0 = - 1,92 см; а = 8 см; в = 12,5 см

= Iy = 100,0 см4  ; = Ix = 312,0 см4

Центробежные моменты инерции:

; + 

Ivmax  + - Iu min  = 100 + 312 - 59,3 = 352,7 см4

Iumin = 59,3 см4; tg = 0,404;  = 220

=0,694 = 101, 8 .

б) Швеллер (по таблице (Приложение 3)) осевые моменты инерции:

= 3200,0 см4,

= 302,0 см4, a = 9,5 см.

h = 24 см; а  = 9,5 см, d = 0,56 см;  z0 = 3,07 см, с = 1 см.

Центробежный момент инерции:

= 0, так как ось x2 является осью симметрии швеллера и проходит через центр тяжести О2.

Рис. 20.

в) Балка двутавровая:

H = 24,0см; b = 12,5 см; d = 0,56 см.

Осевые и центробежный моменты инерции:

= 260,0 см4, = 3800,0 см4, = 0.

Рис. 21

5. Выбираем вспомогательные оси координат хв и ув таким образом, чтобы вся фигура находилась в одной, желательно, первой четверти.

6. Определяем статические моменты каждой простейшей фигуры относительно осей xв и yв:

= A1y1 = 19, 7 = - 37, 82 см3

= A1 (b-x1) = 19, 7(12, 5 - 4, 14) = 164, 69 см3

= 32, 9  = 394, 9 см3

= A2 (c+z0) = 32, 90 (1 + 3, 01) = 131, 93 см3

= A3 37, 5= 234, 38 см3

 = A3  = 37, 5= 450 см3

7. Определяем статические моменты всей фигуры относительно вспомогательных осей:

= + += - 37,82 + 394,9 + 234,38 = 591,46 см3

= + + = 164,69 + 131,93 + 450 = 746,62 см3.

8. Определяем координаты центра тяжести всего сечения:

Xc = 8, 29 см

Ус =  = 6,56 cм.

9. На чертеже плоского сечения наносим положение новых центральных координатных осей и ус, проходящих через центр тяжести сложного сечения, проводя их параллельно осям xв и yв.

10. Определяем значения осевых моментов инерции отдельных частей сечения и всего сечения относительно центральных осей xc и yс  по формулам:

= + A1 = + (yc - y1)2 A1 = 100+ (- 6,56 + 1,92)219,70 = 524,13 см4,

= +A1 =+A1 = 312 + (12,5 - 4,14 - 8,3)2 19,70 = 312,1 см4,

= + A2 = + A2 = 3200 + ()232,90 = 4173,63 см4,

= +A2 = + (z0 - (b - ))2A2 = 302 +( 3,01+(12,5 - 8,3))2 2212,27 см4,

= +A3 = + ( + h - yc)2A3 = 260+( + 24 - 6,56)237,5 = 12035 см4,

=  +A3 = + (  )2A3 = 380 + (12 + 0,5 – 8,3)237,5 = 4461,5 см4,

= 524,13 + 4173,63 + 12035 = 16732,76 см4,

== 312,1 + 2012,27 +4461,5 = 6785,9 см4.

11.Определяем центробежные моменты инерции каждой фигуры и всего сечения относительно центральных осей  xс  и yс:

=+ a1b1A1 = 101,8 + (- 4, 6419,70 = 101, 52 см4,

= + a2b2A2 = 0 + 7, 2132, 90 = 1290, 41 см4,

= + a3b3A3 = 0 + 4, 217, 7237, 5 = 2790, 9 см4,

== 101, 52 + 128, 41 + 2790, 9 = 4182, 83 см4.

12. Определяем положение главных центральных осей инерции. Для этого поворачиваем центральные оси на угол , который определяем по формуле:

tg 2= = - 0,841

tg 2= - 0, 841, tg  = - 0, 4205,  = -  2278

При этом, положительное значение угла   откладываем против хода часовой стрелки, а отрицательное - по ходу.

Значит, главные центральные оси откладываем на чертеже по ходу действия часовой стрелки.

13. Определяем главные осевые моменты инерции с помощью формул перехода к повернутым осям:

= cos2+sin2 - sin 2 = 16732, 760, 9222 + 6785,9 0,3872 - 4182, 8(-0,387) = 16862,89 см4,

Iy  = Iyccos2  +sin2 -sin 2=  6785, 90, 9222  + 16732,76

0, 3872 + 4182, 8(-0,387) = 6655,77 см4.

14. Производим проверку, не забывая, что:

+ Iy =

16862, 89 + 6655,77 = 16732,76 + 6785,9

15. Определяем главные центральные  радиусы инерции сечения:

ix === 13,68 см.

iy === 8,6 см.

На чертеже откладываем главные центральные радиусы инерции сечения, причем, по оси х откладываем радиус iy, по оси у - радиус ix и строим эллипс инерции сечения.

Рис. 22.