Группа А 21, 01.04.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и определение перемещений

Значение продольной силы N в каждом частном случае определяют методом сечений. После нахождения числовых значений строят эпюру продольных сил.

Эпюра внутреннего усилия - график изменения внутреннего усилия по длине бруса.

  Цель построения эпюры — это определение качественной и количественной картины деформации бруса, нахождение наиболее нагруженных участков или сечений.

Задание 1

Для ступенчатого бруса построить эпюру продольных сил, нормальных напряжений и перемещений относительно жесткой закладки. Из условия прочности подобрать размеры квадратного поперечного сечения стального бруса.

Данные для различных вариантов приведены в Таблице 1.

Пример

Построить эпюру продольных сил N, нормальных напряжений Ϭ и перемещений δ. Из расчета на прочность подобрать размер стороны квадрата поперечного сечения, если заданы: Р1 = 10 кН; P2 = 16 кH; Р3 = 8 кН; а = 2,4 м; b = 1,4 м; Е = 2105 МПа; [Ϭ] = 160 МПа; А2 = 2А1. (рис. 7).

Решение:

1. Определяем реакцию заделки R, предварительно произвольно направляя. Определяем реакцию R из условия равновесия, то есть сумма проекции всех сил на продольную ось бруса должна быть равна нулю:

∑X = 0; -R + P1 + P2 - 2P3 = 0

R = Р1 + Р2 - 2Р3 = 10 + 16 - 16 =  10 кН.

Используем в этой задаче только одно уравнение равновесия. Остальные два уравнения тождественно удовлетворяются: сумма проекции всех сил на ось, перпендикулярную продольной оси, всегда равна нулю, так как равна нулю каждая проекция любой внешней силы.

Сумма моментов относительно любой точки, лежащей на продольной оси, также будет равна нулю, так как она не создает момента.

Знак минус для определенной реакции свидетельствует, что направление опорной реакций выбрано неверно и следует изменить направление вектора на противоположное.

2. Разбиваем брус на участки (получаем пять участков), проводим произвольные сечения на каждом участке, задаем координаты сечения.

3. Определяем продольную силу по участкам. Строим эпюру продольных сил.

I участок: х1b

N1 = 0, так как в правой стороне от сечения отсутствуют внешние нагрузки.

II участок: х2 b

Продольное усилие равно сумме всех внешних сил, действующих по правую сторону от сечения:

N2 = - 2 = - 28 = -16 кH

III участок:  х3  a

Продольная сила равна сумме всех сил, действующих по правую сторону от     сечения:

N3 = - 2P3 = - 28 = - 16 кН

             IV участок:  х 4 a

N4 = - 2P3 +  = - 2  8 + 16 = 0

             V участок:  х 5 a

N5 = - 2P3 + P2 + P1 = - 28 + l6 + 10 = 10 кH

Строим эпюру продольных сил. Три скачка на эпюре соответствуют трем сосредоточенным силам, действующим на брус, включая реакцию в заделке.

4. Для определения опасного участка бруса, в котором возникают максимальные напряжения, строим эпюру напряжения в общем виде:  

I участок:  = 0

 участок:

 участок

IV участок:  = 0

V участок:

5. Анализ эпюры нормальных напряжений показывает, что наиболее нагруженным, то есть опасным, является V участок, на котором действуют максимальные напряжения. Исходя из условия прочности, определяем сторону квадрата:

max=

= 0,79м

На основании ГОСТ 6636 - 69 «Нормальные линейные размеры» из ряда Ra 20 принимаем bn = 0,810-2 м.

Определяем максимальное напряжение на V участке при выбранном размере сечения bn .          

А = bn2 = (0,8 10-2)2 = 0,6410-4 м2

 = 156106 Па =156 МПа.

Недогрузка составляет:

∆ =100 % = 100 % = 2,5 % < 15 %,

что соответствует допустимым нормам.

6. Определяем нормальное напряжение по участкам:

I участок 1 = 0

II участок 2= -= =  = - 125 МПа

III участок 3= = 

IV участок 4 = 0

V участок 5 = max = 156 МПа

7. Состаляем уравнения для определения перемещений сечений относительно заделки. Для простоты решения задачи границы участков обозначим буквами (A, B, C, D, E). Перемещение в жесткой заделке всегда равно нулю δA =0.

Перемещение в точке В складывается из перемещения в точке А и перемещения всего звена АВ:

δВ= δА+ δАВ= δА +  0 + = 18,7510-4 м.

Перемещение в точке С относительно заделки равно сумме деформаций точки В и участка ВС:

δc = δB+ δBC= δB +  18, 7510-4 + = 18, 75 м.

Перемещение в точке D равно сумме перемещения точки С и участка СD:

δD = δc+ δCD = δD +  18, 7510-4 += 3, 7510-4 м.

Перемещение в точке Е равно сумме перемещений точки D и участка DE:  

δЕ= δD+ δDE= δD += 10-4 += - 5-4 м.

Перемещение в точке F складывается из перемещения в точке Е и перемещения участка EF:

δF= δE+ δEF = δE +=  5 = - 510-4 м.

По полученным значениям построим эпюру перемещений.

Рис.8