Методическое пособие и задания для домашней контрольной работы по учебной дисциплине "Математика" для студентов заочного отделения специальности 080110 «Экономика и бухгалтерский учёт».
методическая разработка по теме

ГБОУ СПО «Ардатовский аграрный техникум»

                                                                                  «Утверждаю»  

Заместитель  директора по УВР:

________________А.П.Ефимова  

«____»  ______________2011год.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ.

Специальности 080110 «Экономика и бухгалтерский учёт».

                                                       Преподаватель: Е.В.Безрукова

                                            Рассмотрено на заседании

   методкомиссии общеобразовательных

                                               и общественных дисциплин

                                              Протокол № ___________

                                                          От «___»______________ 2011г.

                                                       Председатель методкомиссии

                                                                ________________Г.А Бочкарёва

2011 год

ВВЕДЕНИЕ

Учебная дисциплина «Математика» предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников среднего профессионального образования.

В результате изучения дисциплины студент должен:

иметь представление:

1. о роли математики в современном мире, общности её понятий и представлений;

знать и уметь:

2. использовать математические методы при решении прикладных задач.

Данное методическое пособие содержит примерный тематический план учебной дисциплины, общие рекомендации по выполнению контрольной работы, краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольной работы, образцы решения задач, приведены примеры использования математических методов при решении экономических задач, контрольные задания.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 1.1 Матрицы и определители.

Тема 1.2. Системы линейных уравнений.

Раздел 2. Основы дискретной математики

Тема 2.1. Множества и отношения.

Тема 2.2. Основные понятия теории графов.

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.1. Теория пределов.

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление.

Тема 3.3. Интегральное исчисление.

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел

Тема 4.1. Основные понятия теории комплексных чисел.

Раздел 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Тема 5.1. Случайные события и их вероятности.

Тема 5.2. Основы математической статистики.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО

ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Контрольная работа имеет 10 вариантов. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре шифра.

Работы, выполненные не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются студенту без оценки.

Студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя, исправить все ошибки, допущенные в работе, а в случае неудовлетворительного выполнения работы исправить её и представить вторично или по указанию преподавателя выполнить другой вариант и представить его на рецензию.

При выполнении контрольной работы надо помнить следующие правила:

1. каждая работа выполняется в отдельной тетради в рукописном варианте или в печатном варианте на листах формата А4, на титульном листе указываются предмет, номер работы, номер варианта, фамилия, имя, отчество и шифр студента;
2. контрольные работы, выполненные в рукописном варианте, должны быть написаны чернилами, аккуратно и разборчиво, для пометок преподавателя должны быть оставлены поля;
3. контрольная работа, представленная в печатном виде, должна содержать 5 разделов:

1. титульный лист;
2. оглавление;
3. основной раздел, где каждый вопрос начинается с новой страницы;
4. список используемой литературы;
5. страницы пронумерованы.

1. в конце работы проставляется дата её выполнения

Замечания рецензента стирать и исправлять нельзя, все проверенные контрольные работы сохраняются и представляются на экзамене.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.

Матрицы.

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами 

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы  существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например:  – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец  или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

Действия с матрицами:

1. Умножение матрицы на число.

Пример:

Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

2) Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное. 
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:
Сложить матрицы  и 

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:
Найти разность матриц , 

3) Умножение матриц.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  необходимо, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

Пример: 
Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла 

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. 
Например, для матриц,  и  возможно как умножение , так и умножение 

Как умножить матрицы?

Начнем с самого простого:

Пример:
Умножить матрицу  на матрицу 
Сразу привожу формулу для каждого случая:

 – попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицу  на матрицу 

Формула: 

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение  (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу  на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу  на матрицу 

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу  на матрицу 

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Применение линейной алгебры в экономике.

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Задача:

Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора  на матрицу А:

Раздел 2. Основы дискретной математики

 Множества и отношения.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами A, B, C , а элементы множества строчными латинскими буквами a, b, c .

Объединением двух множеств A и B называется множество A U B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Пример 1

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти AUB и A∩B

Решение

Симметрической разностью  множеств  A и В называется множество

А Δ В, которое состоит из тех элементов,  которые не являются общими для двух заданных множеств.

Пример 3.

Пусть А = {1,2,3,4,5}, В = {3,4,5,6,7}

Найти АΔВ.

Решение

Декартовым произведением А×В множеств А,В называется множество всех упорядоченных пар (а,b) , где а А , bВ. Кратко это записывают так  А×В ={(а,b) , а А , bВ}.

Декартовым квадратом множества А называют декартово произведение множества А на множество А (т.е. само на себя).

Если перемножаются одинаковые множества, используется обозначение степени:

An = A × A × A ×...× A

Пример 4. 

Пусть А = {1,2}, В = {1,5,7}.

Найти А× В; А× А; В2.

Решение

А×В ={(1,1) , (1,5), (1,7), (2,1), (2,5), (2,7)}.

А× А = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1)}

В2 = {(1,1), (1,5), (1,7), (5,1), (5,5), (5,7), (7,1), (7, 5), (7,7)}.

Применение методов дискретной математики в экономике.

При исследовании, анализе и решении управленческих проблем, моделировании объектов исследования и анализа широко используются методы формализированного представления, являющегося предметом рассмотрения в дискретной математике. К ним относятся методы, основанные на теоретико-множественных представлениях, графы, алгоритмы формальные системы, математическая логика.

В экономике существует множество отраслей, использующих методы дискретной математики. Это и эконометрика, и логистика, и математическое моделирование. Так, в эконометрике булевские переменные применяются в исследовании регрессионных моделей с переменной структурой и в построении регрессионных моделей по неоднородным данным. В этом случае рассматривается лишь одно уравнение регрессии, куда вводятся булевские переменные, которые характеризуют изучаемый фактор. Данный метод удобен для выявления зависимости модели от некоторого фактора.

 Теория графов широко используется в логистике для описания потоков, задания маршрутов. Так схему дорог удобнее представить в виде ориентированного графа, и известными нам методами выбрать кратчайший путь. В настоящее время, прокладывая маршрут, нельзя не брать во внимание и пропускную способность магистралей, интерпретируя маршруты в графы, можно получить экономически выгодное решение.

При помощи теории нечетких множеств, методом нечеткого предпочтения, можно выбрать конкурентоспособный товар или услугу. Поэтому, данная теория применяется в маркетологии, при исследовании рынков различных экономических благ.

Раздел 3. Основы математического анализа

Дифференциальное исчисление.

Общая схема исследования функции и построения ее графика

1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Найти точки пересечения с осями координат
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
8. Найти наклонные асимптоты функции.
9. Построить график функции.

Пример:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график   y = x3+6x2+9x+2

РЕШЕНИЕ:

1) Область определения функции – вся числовая прямая, то есть  

D (y) = (−∞; +∞) .  

Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.  

2) Точки пересечения с осями координат:

Ox : найти затруднительно

Oy:x=0⇒ 03 +6*02 +9*0+2=2 ⇒ Точка (0;2)

3)Функция общего вида, так как  

y(-x) = -x3 +6x2 -9x+2≠ ±y(x)

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
y'=3x2 +12x+9

Находим критические точки: y'=0; 3x2 +12x+9=0; x1 =-1; x2 =-3.

Исследуем знак производной на интервалах,

на которые критические точки делят область определения функции.

    y'        +                  -                      +

     y                 -3                  -1                      x

Функция возрастает на интервалах (−∞ ;-3),(-1; +∞)  , убывает на интервале

(-3;-1). Функция имеет минимум в точке x = -1 ,  y(-1) =-2 , функция имеет максимум в точке x = -3 ,  y(-3)=2.

5) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.  

y''=(3x2 +12x+9)'=6x+12

Находим критические точки:   y''=0; 6x+12=0; x=-2.

Исследуем знак производной на интервалах, на

которые критические точки делят область определения функции.  

     y''     -                +

     y              -2                 x

Функция выпукла вверх на интервале (−∞;-2) , выпукла вниз на интервале

 (-2 ; +∞)  .  Точка перегиба:  x =-2, y(-2) = 0.

6) Асимптоты.  

Так как    = =∞ , асимптот нет.  

7) Строим график функции.   

           x

Интегральное исчисление.

Пример 2:

 (положим t = 2x+3, тогда  x=  t- , dx =  dt)

=  =-   +C= =-   +C                  

Пример 3:

dx= (положим t= x2 +25, тогда dt = 2x dx, x dx= dt) =*dt=dt=   +C =  +C =   +C =   +C

Определенный интеграл.

Если существует определенный интеграл от функции f(x) , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке  .

Для интегрируемости функции на отрезке  достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.

Если функция непрерывна на  , то от нее существует неопределенный интеграл

и имеет место формула

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула

называется формулой Ньютона-Лейбница. 

Пример 1:

 Необходимо найти определенный интеграл

Имеем:

   Таким образом искомый интеграл равен 6. 

Пример 2:

Вычислить интеграл:  

 Решение:                                                  

 =( 3  + 4  +5x) = +2-

- (+2 26- 8=18.

Приложение определенного интеграла в экономике

Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Задача . Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q2, где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.

Решение.

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел

 Основные понятия теории комплексных чисел.

Комплексным числом  называется число вида , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число  называется действительной частью комплексного числа , число  называется мнимой частью  комплексного числа .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:  или переставить мнимую единицу:  – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:  

Сложение комплексных чисел

Пример 1:

Сложить два комплексных числа , 

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2:

Найти разности комплексных чисел  и , если  

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная: 

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3:

Найти произведение комплексных чисел  , 

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что  и быть внимательным.

Повторим  школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что 

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

Деление комплексных чисел

Пример 4:

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть 

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример подобран «хороший», если взять два произвольных числа, то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

Комплексные числа в экономике

Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Теория электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и других наук невозможна без применения моделей в виде комплексных чисел. Экономика, более сложная наука, до сих пор не знала применения комплексных чисел.

Товар является носителем двух составляющих: потребительских свойств, объективно присущих товару, и цены - денежной оценки потребительских свойств товара конкретным потребителем. С учетом того, что и потребительские свойства товара и его цена являются необходимыми показателями свойств товара, возникает потребность разработки и использования комплексного показателя, характеризующего эти две стороны одного объекта. Именно таким показателем может стать комплексное число, состоящее из действительной и мнимой частей.

Представив какую-либо оценку потребительских свойств товара П как действительную часть комплексного числа, а его цену Ц - как мнимую часть, получим:

Т = П + iЦ, (1)

где i - мнимая единица, которая определяется условием i? (0, 1) и удовлетворяет соотношению:

i2 = -1. (2)

Легко убедиться в том, что запись (1) позволяет полностью описать свойства конкретного товара и математически корректно работать как с каждой из двух его составляющих, так и с их совокупностью в целом.

Раздел 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Случайные события и их вероятности.

Применение комбинаторики к подсчету вероятности.

Пример 1:

В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?

Решение.

Количество всех элементарных исходов равно  . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей  способами, а из N – n небракованных можно выбрать 

k – s небракованных деталей  способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно  . Искомая вероятность равна:

p =         (1)

Замечание:

Всякое k-членное подмножество n-членного множества  называется  сочетанием из n элементов по k.

Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается  .

Справедлива формула

 =  ,       (2)

n! =1234…n

Пример 2:

В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение.

Искомую вероятность найдем по формуле (1) для случая

N =12, n =7, k = 6, s = 4.

p =  =  =  =  .  

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание №1.

Задание №2.

Задание №3.

Задание №4.

Задание №5.

Задание №6.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1)Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.-256 с.

2)Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие.- 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990-576 с.

3)Пехлецкиий И.Д. Математика: учебник.- М., 2003.

Дополнительные источники:

4)Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. -11-е изд.,стер. –М.: Мнемозина, 2010.-399 с.

5)Алгебра и начала  математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений ( базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича.-10-е изд., стер.-М.: Мнемозина,2009.-239 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………....2

Примерный тематический план……………………………………………...3

Общие методические указания по выполнению контрольной работы…4

Краткие теоретические сведения и образцы решения задач……………..5

Раздел 1. Элементы линейной алгебры. ……………………………………….5

Матрицы………………………………………………………………………….5

Раздел 2. Основы дискретной математики……………………………………10  

Множества и отношения……………………………………………………….10

Раздел 3. Основы математического анализа………………………………….12

Дифференциальное исчисление……………………………………………….12

Интегральное исчисление……………………………………………………...14

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел………………………………..18

 Основные понятия теории комплексных чисел……………………………...18

Раздел 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики…..22

Случайные события и их вероятности………………………………………...22

Задания контрольной работы………………………………………………..23

Рекомендуемая литература…………………………………………………..27