Презентация Вводного занятия для специальности «Компьютерные системы и комплексы», 2-й курс дистанционного обучения
презентация урока для интерактивной доски на тему

Новороссийский колледж строительства и экономики
Преподаватель: Татьяна Петровна Пушкина
Пояснительная записка
Курс «Элементы высшей математики» состоит из четырех разделов:Элементы линейной алгебрыЭлементы векторной алгебрыЭлементы аналитической геометрии4 Основы математического анализаОсновы теории комплексных чиселДифференциальные уравненияФункции нескольких переменных
Пояснительная записка
Каждый раздел содержит материалы:теоретический и практический (Части I и II) Часть 1. Основной текст (теория);Часть 2. Практикум (содержит примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения)Вопросы для самоконтроляГлоссарий (математический справочник) Задания и образцы решения помещены в папке «Методические указания»
Прохождение аттестации
Этапы промежуточной аттестации:– ознакомление с теоретическим материалом;– просмотр образцов выполнения самостоятельных работ по предлагаемым темам;– просмотр Практикумов по данным темам;– получение необходимой консультации в ЧАТе– выполнение двух практических работ;– выполнение одной контрольной работы;– прохождение контрольного тестирования.Итоговая аттестация (зачет):Итоговое тестирование
Порядок выполнения письменных работ
Письменную работу выполнить и отправить документом Microsoft Word по электронной почте с обязательным титульным листом и листом «Рецензия преподавателя»В виду возникающих затруднений с набором математических формул разрешается отправить по электронной почте рукописный вариант письменной работы, выполненный в FineReader (сканированный вариант)Работу можно выполнить в тетрадном варианте (каждое задание - с новой страницы)
Сроки выполнения письменных работ
Контрольную работу и практические работы необходимо выполнить и сдать в сроки, обозначенные индивидуальным учебным графиком.
РАЗДЕЛ 1
ГЛАВА 1. Элементы линейной алгебрыГЛАВА 2. Элементы аналитической геометрии
Тема 1 Матрицы и определители1.1 Матрицы
Матрица - это таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
где i - номер строки, j - номер столбца
Или
,
Пример: Матрица 2х3
Например, в матрице
две строки
и три столбца;
1.2 Линейные операции над матрицами
Матрицы одинакового размера можно складывать. Суммой двух матриц А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Сложение матриц
Пример 1.
Пусть даны матрицы
Требуется найти сумму этих матриц.
и
Решение:
Ответ:
Пример 2.
Пусть даны матрицы
и
Решение:
Ответ:
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А на число
называется матрица, элементы которой равныпроизведению числа на соответствующие элементы матрицы.
Решение:
Ответ:
Пример.
Пусть дана матрица
Вычислить .
Пусть даны матрицы
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой составляются следующим образом:
1.3 Умножение матриц
, i = 1, 2, … , m , j = 1, 2, ..., n
Или:
Пусть даны матрицы
Требуется найти матрицы АВ и ВА.
Пример 1.
Решение:
Ответ:
Имеем
Вычислить ВА
ВНИМАНИЕ!
Пример 2.
Решение:
Ответ:
2 Определители квадратных матриц
Определители второго и третьего порядка
Определителем второго порядка называется число,равное :
Для квадратных матриц вводится понятие определителя.
Пусть дана матрица
Пример 1.
Решение:
Вычислить определитель второго порядка
Ответ: -23
Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по правилу треугольника (Сарруса):
Пусть дана матрица третьего порядка
Выразим правило Сарруса (треугольника) следующей схемой:
2. Нахождение определителя классическим способом
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка, элементы которой для удобства обозначим через: а1, а2, а3, b1, b2, b3, c1, c2, c3. Её определитель равен:
Пусть даны матрица
Требуется найти определитель матрицы А.
Пример 1.
Решение:
Ответ: 45
Пусть даны матрица
Требуется найти определитель матрицы А разложением по первой строке.
Пример 2.
Решение:
Ответ: 45
Тема 2 Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Положим
и если
то
Аналогично
где
Габриэл Крамер -швейцарский математик (1704-1752)
Определитель Δ называется определителем системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и при этом решение системы находим по формулам Крамера:
Решить систему уравнений:
Пример.
Решение:
Ответ: (5; 2)
Вычислим определители Δ, Δх, Δу:
Методы решения систем трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
По формулам КрамераМетодом ГауссаМетодом Жордана-Гаусса
Решение системы трех линейных уравнений,а так же решение матричных уравнений, векторный анализ предлагается рассмотреть самостоятельно, используя теоретический и практический материал, и рекомендуемую литературу
РАЗДЕЛ 2 Основы математического анализа
ГЛАВА 3. Введение в анализ. Дифференциальное исчислениеГЛАВА 4. Интегральное исчисление функции одной действительной переменнойГЛАВА 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Двойные интегралыГЛАВА 6. РядыГЛАВА 7. Численные методы
Глава 3 Введение в анализ. Дифференциальное исчисление
Тема 1: Множества. Действительные числаТема 2: Функции действительной переменнойТема 3: Теория пределов. Непрерывность функцииТема 4. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной
Тема 3 Теория пределовПредел функции
Число А называется пределом функцииy = f(x) в точке (при ), если для любого положительного числа существует число , такое, что для всех допустимых значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство
Пример 1.
Вычислить предел
Решение:
Ответ:
при
Пример 2.
Вычислить предел
Решение:
Ответ: 3
Тема 4 Дифференциальное исчислениеПроизводная
Определение: Производной функции в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
х
y
0




k – угловой коэффициент прямой(касательной)
Касательная
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
.
Δх – перемещение тела
Δt – промежуток временив течение которого выполнялосьдвижение
Физический смысл:Скоростьускорение
Производная от перемещения по времени есть мгновенная скорость.Производная от скорости по времени есть ускорение.
Правила дифференцирования
1. Производная суммы равна сумме производных,производная разности равна разности производных:
2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
3. Производная произведения:
4. Производная частного:
Глава 4 Интегральное исчисление
Тема 1: Первообразная и неопределённый интегралТема 2: Определённый интегралТема 3: Дифференциальные уравнения
Первообразная
Неопределенный интеграл
Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрированиеИнтегрирование заменой переменныхИнтегрирование по частям
Непосредственное интегрирование (метод разложения)
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение:
Ответ:
Метод замены переменной
Пусть требуется найти интеграл первообразная которого неизвестна, но известно что она существует. В этом случае можно попытаться сделать такую замену переменной, чтобы интеграл стал табличным.
где
дифференцируемая функция на множестве Т
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение:
Ответ:
Пример 2.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 3.
Найти
Пример 3.
Интегрирование по частям
Определенный интеграл
– формула Ньютона-Лейбница
, где xn[a; b].
Читают: интеграл от a до b эф от икс дэ икс.
Для вычисления определённого интеграла применяют:
Число a называют нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.
Определение:
Отметим некоторые свойства интеграла (объясните их самостоятельно):
, если f (x) – нечётная функция
, если f(x) – чётная функция
Применение этих свойств часто упрощает вычисление интегралов.
, где c[a; b]
, где c
Пример 1
Пример 2
РАЗДЕЛ 3 Основы теории комплексных чисел
ГЛАВА 8. Комплексные числа
Определение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.
i2= -1
Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:
Арифметические операции над комплексными числами
(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Пример 1.
Найти сумму, разность и произведение комплексных чисел
Решение:
Ответ:
Пример 2.
Найти частное двух комплексных чисел:
Решение:
Ответ:
i; 2i, -0,3i – чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3.
где a и b - числа действительные.
В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:
Модуль комплексного числа
Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число , равное расстоянию отточки z до начала координат
b
a
A (a, b)
y
x
На рисунке вектор изображает комплексное число: отличное от нуля число z = a + bi
O
Тригонометрическая форма комплексного числа
где φ – аргумент комплексного числа,r = - модуль комплексного числа,
Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме
Теорема 1. Если
и
то:
б)
а)
Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда
Литература
1 Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А Математика для техникумов - М., Наука, 19912 Валуцэ И.И. Математика для техникумов : учебное пособие М.: Наука, 1990. 4 Дадаян А. А. Математика: учебник -М.: Форум: ИНФРА-М, 2005.5 Данилина Н.И. Вычислительная математика. - М.: Высшая школа, 19856 Ильин В. А. Основы математического анализа: в 2 т. - М.: Наука: Физматлит, 2001.7 Солодовников А. С., Торопов Г. А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1987.8 Турчак Л. И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987.9 Шипачев В. С. Высшая математика: учебник-М.: Высшая школа, 2000.10 Электронный носитель. Учебник для ДО. - 2006.