СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ЕН.01"МАТЕМАТИКА"
учебно-методический материал на тему

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ  МО «СЕРПУХОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01. «МАТЕМАТИКА»

для специальности: 15.02.08. Технология машиностроения

2016

Разработчик    Снядовская Наталья Валерьевна

        Сборник практических занятий по дисциплине ЕН.01. «Математика» для подготовки студентов по специальности 15.02.08. Технология машиностроения

Сборник состоит из пояснительной записки, описания практических занятий, которые снабжены общими теоретическими сведениями, контрольными вопросами и заданиями в соответствии с программой.

Сборник практических занятий окажет помощь преподавателям в организации практических занятий, а также может пригодиться студентам при повторении изученного материала и подготовке к экзамену.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

        Сборник практических занятий составлен в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математики» для специальности 15.02.08. Технология машиностроения. Практические занятия занимают важное место при изучении дисциплины «Математики». Цель выполнения работ – формирование навыков решения математических задач при помощи различных методов, позволяющих разрабатывать алгоритмы решения задач различных областей производства, экономики, науки и техники.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

-основные математические методы  решения прикладных задач;

-основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики;

-основы интегрального и дифференциального исчисления;

-роль и место  математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

уметь:

-анализировать сложные функции и строить их графики;

-решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

-решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;

Сборник состоит из пояснительной записки, описания практических занятий, которые снабжены общими теоретическими сведениями, контрольными вопросами и заданиями в соответствии с программой.

На выполнение каждой работы отводится определенное количество часов в соответствии с тематическим планом.

Форма отчетности указана для каждого занятия.

Выполнять задания рекомендуется в отдельных тетрадях.

Сборник практических занятий окажет помощь преподавателям в организации занятий, а также может пригодиться студентам при повторении изученного материала и подготовке к дифференцируемому зачету.

Практическое занятие №1.

Решение задач по вычислению неопределённых интегралов

Неопределенный интеграл.

Определение. Функция F(x), определенная на некотором множестве называется первообразной для функции y=f(x) на этом множестве, если выполняется условие 

Определение. Если F(x)- одна из первообразных функции f(x), то множество функций вида F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается,

Свойства неопределенного интеграла.

1.                  3. , где а=const

2.                   4. 

5. Если , то 

Основные формулы интегрирования.

1.                        8.

2.                                        9.

3.                                       10.

4.                                            11.

5.                                 12.

 6.                                    13.

 7.                                     14.

Способ подстановки (замены переменных).

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример. 

Замена  Получаем:

Интегрирование по частям.

 Пример.

Вариант № 1.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5.
∫arccosxdx. 

Вариант № 2.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ∫xlnxdx.

Вариант № 3.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ∫x2sinxdx. 

Вариант № 4.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ∫xcosxdx. 

Вариант № 5.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ∫x2e−xdx.

Вариант № 6.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ∫(x2−2x+3)cosxdx.

Вариант № 7.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5.

Вариант № 8.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5.

Вариант № 9.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5.  

Вариант № 10.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5.

Вариант № 11.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5.

Вариант № 12.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5.

Вариант № 13.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5.

Вариант № 14.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ;

Вариант № 15.

    Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ;

Практическое занятие №2.

Решение дифференциальных уравнений

        Цель: Формирование навыков решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений первого порядка? линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

        На выполнение практической работы отводится 2 часа

Теоретический материал

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию  и ее производные или дифференциалы.

, , .

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Уравнение вида , где  и  - функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частности  и  могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где  и  - новые функции от .

Примеры

Задание 1:        Найдите общее решение уравнения .

Решение:        Разделив переменные, имеем . Интегрируем обе части полученного уравнения:

                        ;        .

Так как произвольная постоянная  может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо  мы написали . Потенцируя последнее равенство, получим .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Задание 2:        Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям  при .

Решение:        Разделив переменные, имеем . Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

                ;                        ,

или

                        ,                .

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной  подставим значения  и  в выражение для общего решения: , или , откуда .Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Задание 3:        Найдите общее решение уравнения .

Решение:        Это линейное уравнение: здесь , . Положим  и продифференцируем это равенство по :

.

Подставив теперь выражения для  и  в данное уравнение, получим

,

или

.                (∗)

Так как одну из вспомогательных функций  или  можно выбрать произвольно, то в качестве  возьмем одно из частных решений уравнения . Разделив в этом уравнении переменные и проинтегрируя, имеем , ;         ,          (произвольную постоянную  принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для  в уравнение (∗); тогда получим уравнение , или .

Отсюда находим ;        .

Зная  и , теперь получим общее решение данного уравнения:

                .

Задание 4:        Решить уравнение: .

Решение:        Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Отсюда следует, что , . Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) запишется так:                         .

Задание 5:        Найти частное решение уравнения , если  и  при .

Решение:        Составим характеристическое уравнение . Решая его, получим, , . Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , то есть .

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных  и . Подставив в общее решение значения  и , получим .

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения  и , имеем , отсюда следует, что . Из данного выражения находим: , .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

Задание 6:        Решить уравнение .

Решение:        Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , . Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни; поэтому согласно формуле (4) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде .

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите общее решение уравнений:

1) ;        2) ;        3) ;

4) ;                5) ;

6) ;                7) ;

8) .

2. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1) ;         при ;

2) ;         при ;

3) ;         при ;

4) ;         при ;

5) ;  при ;

6) ;  при ;

7) ;  при .

3. Найдите общие решения уравнения:

1) ;                                2) ;

3) ;                                4) ;

5) ;                        6) .

4. Решите уравнения:

1) ;                2) ;

3) ;                        4) ;

5) ;                        6) ;

7) ;                        8) .

5. Найдите частные решения уравнений:

1) ;  и  при ;

2) ;  и  при ;

3) ;  и  при .

6. Решите уравнения:

1) ;                2) ;

3) .

7. Найдите частные решения уравнений:

1) ;  и  при ;

2) ;  и  при .

Вопросы для самоконтроля:

1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Что называется решением дифференциального уравнения?
3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим?
4. Какое решение дифференциального уравнения называется частным?
5. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?
6. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?
7. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями второго порядка?
8. Какие уравнения называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка?
9. Какой вид имеет характеристическое уравнение? Для чего необходимо его нахождение?
10. Какие случаи возможны при нахождении общего решения дифференциального уравнения второго порядка?

Практическое занятие №3.

Решение задач на вычисление вероятности события

       Задача № 1.          

      1.1. В конверте  среди  100  фотокарточек  находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлекают 10  карточек. Найти  вероятность того, что среди них окажется нужная карточка.

      1.2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово  "книга". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получилось слово "книга".

       1.3. В партии  готовых изделий, содержащей 20 штук, имеется 4 бракованных. Партию делят на две равные части. Какова вероятность, что  бракованные изделия разделятся поровну?

       1.4. В урне 2 белых и 4 черных шара. Из урны один за другим вынимаются все шары, находящиеся в урне. Найти вероятность того, что  последний вынутый шар будет черным.

       1.5. В группе студентов 17 юношей и 8  девушек. Какова  вероятность того, что  студент, фамилия которого в списке группы находится на первом месте, окажется девушкой?

       1.6. Какова вероятность  того, что номер билета студента четный? Делится на пять? Оканчивается нулем? (Предполагается, что студенческих  билетов достаточно большое число).

       1.7. В партии готовой продукции, состоящей из 20 изделий, три бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе 4  изделий одновременно  все  они  окажутся небракованными. Какова вероятность того, что бракованных и небракованных  изделий окажется поровну?

       1.8. В партии готовой продукции из 20 лампочек имеется 5  лампочек  повышенного качества. В выборку отбирается 7 лампочек. Какова вероятность того, что в этой выборке окажется 3 лампочки повышенного качества?

        1.9. В первом  ящике находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Во втором ящике -шары с номерами 6, 7, 8, 9, 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова  вероятность  того, что сумма номеров вынутых шаров не меньше 7? Какова вероятность того, что сумма номеров равна 11 ?

         1.10. Какова вероятность того, что взятый наудачу год  содержит  53 воскресенья, если это год невисокосный; високосный?

        1.11. Найти вероятность  того, что  среди пяти случайно взятых цифр нет совпадающих.

        1.12. На пяти карточках написаны буквы а, д, к, л, о. После тщательного перемешивания берут по одной карточке  и  кладут  последовательно  рядом. Какова вероятность того, что получится слово "лодка"?

         1.13. Группа, которую составляют 10 мужчин и 10 женщин, делится на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части будет по одинаковому числу мужчин и женщин.

        1.14. Буквы  а, а, в, к, к, о, x  написаны  на отдельных карточках. Какова вероятность того, что извлекая эти карточки по одной наудачу (без возвращения обратно), получим в порядке их выхода слова "Каховка"?  

        1.15. Телефонный номер  состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

        1.16. Найти вероятность  того, что  при  шести  бросаниях игральной кости появятся все грани.

        1.17. В магазине работает 10 продавцов, из них 6 женщин. В смену заняты 3 продавца. Найти вероятность того, что в наудачу  укомплектованную смену войдут все 3 продавца мужчины.

        1.18. На 8 одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наугад берутся 2 карточки. Определить вероятность того, что из двух полученных чисел дробь сократима.

        1.19.Четырехтомное сочинение стоит на полке  в  случайном  порядке. Какова  вероятность того, что номера томов образуют монотонную последовательность?

        1.20. Из 15  билетов выигрышными являются 4. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 6 билетов будет 2 выигрышных?

        1.21. В урне находятся 16  шаров, помеченных   номерами 1, 2, 3, ..., 16. Наудачу извлечены 5 шаров (без возвращения). Найти  вероятность того, что среди извлеченных шаров окажутся шары с номерами 1 и 2.

       1.22. Из последовательности целых чисел 1...10 наудачу выбираются 2 числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 6, а другое больше 6?

       1.23.  Группа из  n человек , в том числе  А и В, располагается за круглым столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что между  А и В будет сидеть ровно  r  человек  .

       1.24. Из тридцати карточек с буквами русского алфавита наугад  выбираются

4 карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово "небо"?

       1.25. Вычислить вероятность того, что дни рождения всех r (r ≤ 365) человек различны, предполагая, что в году 365 дней и что все дни рождения одинаково вероятны для каждого человека.

       1.26. Трое пассажиров входят в лифт пятиэтажного дома. Какова вероятность того, что двое из них выйдут на одном этаже? Вероятность  выхода пассажиров на каждом этаже считается одинаковой.

      1.27. Группа из 10 человек садится  на  скамейку. Какова  вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?

       1.28. В ящике содержится 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных; нет годных?

        1.29. На отдельных карточках выписаны цифры  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все девять  карточек  тщательно перемешаны, после чего наугад берут одну из них, записывают цифру и возвращают  карточку  назад. Какова  вероятность того, что  после  выписывания  четырех цифр получится четное число? число 1234?

       1.30. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 кинескопов окажется 3 кинескопа Львовского завода.

        1.31. Слово "Машина"  составлено  из букв разрезной азбуки. Определить вероятность того, что при произвольном извлечении без  возвращения 4 букв в порядке их выхода образуется слово "шина".

        1.32. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18  команд, среди которых имеется 5 команд экстра класса. Случайным  образом  формируются  2  группы по 9 команд в каждой. Найти  вероятность того, что все команды экстра класса попадут в одну и ту же группу.

        1.33. На 9  карточках  написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается  полученное  число, например, 07,14  и  т.п. Найти вероятность того, что число будет четное.

         1.34. Четыре человека входят в лифт пятиэтажного дома. Какова вероятность, что все они выйдут на разных этажах, если выход  пассажира  на любом этаже равновозможен ?

       1.35. Телефонный номер состоит из  5  цифр. Найти  вероятность  того, что цифры одинаковы.

       1.36. Из шести букв разрезной азбуки составлено слово "ананас". Ребенок,

неумеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном  порядке. Найти  вероятность того, что у него снова получилось слово "ананас".

         1.37. Из колоды в 32 карты берутся наугад  10  карт. Найти  вероятность того, что среди них будут 8 карт одной масти.

         1.38. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли два человека. Каждый из них с  одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная  со второго. Найти вероятность того, что оба пассажира выйдут на пятом этаже.

         1.39. Колода карт (52 карты) произвольным  образом  делится  пополам. Найти вероятность того, что в каждой половине будет по два туза.

        1.40. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение четырем.

       1.41. Среди 25 деталей, подвергаемых проверке, имеются 15 точных. Какова  вероятность того, что из числа взятых наудачу 10 деталей окажется 8 точных?

        1.42. Лифт в  пятиэтажном  доме  отправляется  с  тремя пассажирами. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не  более  одного пассажира, предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны.

       1.43. Для уменьшения общего количества игр на соревнованиях 16 во-лейбольных команд разбиты на 2 подгруппы (по 8 в каждой). Найти  вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах, в одной подгруппе?

       1.44. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков кратна 5.

       1.45. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые будут распределены  по жребию для игры в двух группах по 10 человек. Какова вероятность, что двое наиболее сильных участников турнира  будут  играть  в разных группах?

      1.46. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили  оценку отлично, 10 - оценку хорошо, 9 учеников - оценку удовлетворительно, 5 учеников  - оценку неудовлетворительно. Какова вероятность того, что три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительную оценку по контрольной работе?

     1.47. Куб, все  грани  которого  окрашены, распилен  на 125 кубиков одинакового размера. Все кубики перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь три окрашенные грани.

      1.48. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами  перемешиваются, из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?

     1.49. В автобусе 5 пассажиров. Найти вероятность того, что на каждой из  оставшихся 5 остановок будет сходить по одному пассажиру. Предполагается, что каждый из пассажиров с равной вероятностью может  выйти  на любой из остановок.

     1.50. Каждая из букв слова "интеграл" написана на одной из восьми карточек. Карточки перемешиваются. Найти вероятность того, что при извлечении трех карточек появится (в порядке их выхода) слово "три".

     1.51. Найти вероятность  угадывания в "Спортлото" 4-х цифр (всего 49 цифр).

    1.52. В квадрат наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь круга, вписанного в квадрат.

      1.53.  На 10 из 20 карточек написана цифра “1”, а на остальных 10 - цифра “0”. Пять карточек вынимают наугад. Найти вероятность того, что на двух карточках будет стоять цифра “1”, а на трех - цифра “0” (безразлично в каком порядке).

      1.54. В урне «a» белых и «b» черных шаров. Из урны вынимают один шар  и откладывают  в  сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

     1.55. В урне «a» белых и «b» черных шаров (a ≥ 2).Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

      1.56. Из ящика, содержащего n  перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим находящиеся в нем изделия, каждое изделие после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другим, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1,2..., n.

      1.57. В отделение связи поступило 4 телеграммы, всего имеется четыре канала связи. Телеграммы случайным образом распределяются  по  каналам, каждая телеграмма с одной и той же вероятностью передается по любому из четырех каналов. Найти вероятность того, что на один из каналов попадут три телеграммы, на другой - одна, а два оставшихся канала будут незагружены.

     1.58. Бросаются две  игральные  кости. Определить  вероятность  того, что сумма очков не превышает пяти.

     1.59. В отрезке единичной длины наудачу  появляется  точка. Определить вероятность того, что расстояние от концов отрезка превосходит величину 1/5.

     1.60. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий  первого сорта – 1, второго  сорта - 2, третьего сорта - 2, четвертого сорта - 4. Для контроля наудачу берут 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них одно  изделие  первосортное, одно - второго сорта, два - третьего и три - четвертого сорта.

              Задача № 2.

       2.1. Какова вероятность  извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой  масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама, король).

       2.2. В урне  два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по  шару, не  возвращая  их  обратно. Выигрывает  тот, кто раньше  получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

       2.3. Изделия изготавливаются параллельно на  двух  станках. Вероятность  брака  на одном станке - 0,04, на втором - 0,08. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных по 5  на  каждом  станке, ни одного не будет бракованного.  

       2.4. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность четырех попаданий при четырех выстрелах.

        2.5. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно  соединенных  элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями 0,3; 0,4; 0,6. Как  изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя.

        2.6. Из полной колоды (52 карты) вынимают  одновременно  три  карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт найдется хотя бы одна карта красной масти.

        2.7. У сборщика  имеется  16  деталей, изготовленных заводом № 1 и 4 детали -заводом № 2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность  того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

        2.8. Испытуемому предлагается два теста. Вероятности решения тестов соответственно равны: 0,75 и 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один тест будет решен (тесты решаются независимо друг от друга).

        2.9. Происходит бой  между  двумя  участниками  А и В. У стороны А в запасе два выстрела, у стороны В - один. Начинает стрельбу  А: он делает  по В  один выстрел и поражает его с вероятностью 0,2. Если В не поражен, он отвечает противнику выстрелом и поражает его с вероятностью 0,3. Если  А  этим  выстрелом  не поражен, то он делает по В свой последний выстрел и поражает его с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что в бою будет поражен участник А, участник  В?

         2.10. Радист трижды вызывает корреспондента, причем последующий вызов  производится  при  условии, что предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3; второй 0,4 и третий 0,5.Определить вероятность вызова корреспондента.

        2.11. В ящике лежат 10 заклепок, отличающихся друг от друга  только материалом: 5 железных, 3 латунных, 2 медных. Наугад берутся две заклепки. Какова вероятность того, что они будут из одного материала.

        2.12. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая  вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

        2.13. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

        2.14. В студии телевидения имеется  три  телевизионных  камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя  бы  одна камера.

       2.15. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранной смене окажется не менее двух мужчин.

        2.16. Два лица поочередно  бросают  монету, выигрывает  тот, у  кого раньше появится герб. Определить вероятность выигрыша для каждого лица.

        2.17. Группа состоит из двух стрелков. Определить вероятность попадания в цель каждым стрелком, если известно, что вероятность совместного попадания  в  цель  при  условии, что каждый сделает, независимо друг от друга, по одному выстрелу, равна 0,56, а вероятность совместного  промаха 0,06.

       2.18. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта.  Рассматриваются события:  А - появление туза, В - появление карты красной масти. Зависимы или независимы эти события?

       2.19. На стеллаже  библиотеки  в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в  переплете. Библиотекарь  берет  наудачу  3 учебника. Найти  вероятность  того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

      2.20. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга  элементов. Вероятность   безотказной  работы  первого  элемента  равна  0,85, второго - 0,72. Определить вероятность безотказной работы прибора.

       2.21. Из последовательности чисел 1...20 выбирают наудачу три различных числа. Какова  вероятность, что среди выбранных чисел есть хотя бы одно, кратное заданному числу 3 ?

      2.22. Вероятность того, что замаскировавшийся  противник  находится на обстреливаемом участке, равна 0,3, вероятность попадания в этом случае при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Для  поражения  достаточно одного попадания. Какова вероятность поражения при двух выстрелах?

       2.23. Найти наименьшее число монет, которое необходимо бросить, чтобы вероятность утверждения, что выпадет хотя бы один герб, превосходила 0,999.

       2.24. Две команды по  20  спортсменов  производят  жеребьевку  для присвоения  номеров участникам соревнований. Два брата входят в состав различных команд. Найти вероятность того, что братья будут  участвовать в соревнованиях под одним и тем же номером "5".

      2.25. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что эти четыре карты будут разных мастей.

      2.26. Вероятность того, что  каждый  из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны P1 = 0,8,  P2= 0,4,  P3 = 0,7. Определить вероятность  того, что  встреча  состоится, если  для  этого  достаточно явиться двум из трех друзей.

       2.27. В механизм входит три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если  при  его сборке будут поставлены все детали с размерами больше обозначенного на чертеже. У сборщика осталось 12 деталей, из  которых  5  больших размеров. Найти вероятность нормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали  наудачу.

        2.28. Пусть вероятность  попадания  в  движущуюся  цель  при одном выстреле постоянна и равна 0,05. Сколько необходимо  сделать  выстрелов для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,75, иметь хотя бы одно попадание?

       2.29. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в  июле равно  6. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

       2.30. В мешке смешаны нити, среди  которых  30%  белых, а  остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут одного цвета.

       2.31. Вероятность того, что книга имеется в фондах первой библиотеки, равна 0,5,  второй - 0,7,  третьей - 0,4. Определить вероятность наличия книги в фондах хотя бы одной библиотеки.

      2.32. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в  течение смены потребует его внимание первый станок равна 0,7, второй - 0,75, третий - 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены потребует внимания рабочего какие-либо два станка.

        2.33. Производится три  выстрела  по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем  выстрелах  соответственно равны 0,42; 0,5; 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

    2.34. Машина выходит  из строя, если выходит из строя любая из трех независимых деталей. Если вероятности выхода из строя за год работы деталей А, В, С равны соответственно 1/3, 1/4, 1/5, то какова вероятность того, что машина выйдет из строя в течение года?

      2.35. Вероятность того, что  событие  появится  хотя  бы один раз в трех независимых испытаниях, равна  0,936. Найти  вероятность  появления события  в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

      2.36. При увеличении напряжения в два раза может произойти  разрыв электрической  цепи вследствие выхода из строя одного их трех последовательно соединенных элементов  соответственно  с  вероятностями  0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи.

     2.37. В коробке лежат 30 электрических лампочек одинаковой величины, причем  12  из  них  рассчитаны  на  напряжение  220 В, а остальные – 120 В. Какова вероятность того, что из 4-х наудачу взятых одновременно электроламп все окажутся с напряжением 220 В или с напряжением 120 В.

      2.38. Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,9. Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы  с вероятностью не меньшей 0,95, можно было бы ожидать, что  среди них есть хотя бы одно  изделие первого сорта?

      2.39. Числитель и  знаменатель  рациональной дроби написаны наудачу.  Какова вероятность того, что эта дробь не сократима на пять?

      2.40. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой  линии. Каждый шарик  с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в любую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.

     2.41. В электрическую цепь последовательно  включены  три  элемента, работающие  независимо  один  от  другого. Вероятности отказов 1, 2, 3 элементов соответственно равны P1 = 0,1; P2 = 0,15; P3  = 0,2.   Найти  вероятность того, что тока в цепи не будет.

      2.42. Истребитель перехватывает и  первым  атакует  бомбардировщик противника. Вероятность перехвата равна 0,7. В случае, если перехват состоялся, бомбардировщик сбивается с вероятностью 0,6. Если перехват  состоялся, но бомбардировщик не сбит, то ответным огнем он сбивает истребитель с вероятностью 0,3. Найти вероятность  поражения  бомбардировщика, истребителя.

      3.43. Производится стрельба по  самолету  зажигательными  снарядами. Горючее  на  самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Поверхности баков одинаковы. Чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков  попало  два  снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится.

      2.44. Пусть вероятность оплаты в кассе выписанного у продавца чека равна 0,99. Найти вероятность того, что из 100 выписанных чеков хотя  бы один окажется неоплаченным.

      2.45. Для некоторой  местности  среднее число дождливых дней в августе рав-

но 11. Чему равна вероятность того, что первые два дня  августа будут дождливыми?

      2.46. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых  испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном  испытании (предполагается, что  вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

     2.47. Электрическая цепь  имеет два параллельно соединенных дублирующих друг друга элемента и один элемент, соединенный с ними  последовательно. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение заданного времени равна 0,8. Отказ каждого элемента не зависит от  отказа других. Определить вероятность безотказной работы всей цепи.

   2.48. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле 0.8, а вторым стрелком - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

      2.49. Вероятность попадания бомбы в цель равна  0,4. Бомбардировщик сбрасывает  три  бомбы. Какова вероятность того, что все бомбы попадут в цель; ни одна не попадет в цель; по крайней мере одна попадет в цель?

      2.50. На предприятии брак составляет в среднем 2 % от общего выпуска  изделий. Среди  годных  изделий  изделия  первый  сорт составляют 95 %. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта; если изделие взято из числа прошедших проверку; из общей массы  изготовляемой продукции?

       2.51. Вероятность того, что студент первого курса перейдет на  второй, равна  0,9, а  вероятность  того, что  студент первого курса окончит институт, равна 0,8. Какова вероятность того, что студент  второго  курса окончит институт?

       2.52. Дана система  S, состоящая из двух независимых блоков a1 и a2. Система  исправна тогда и только  тогда, когда  исправен  хотя  бы один из блоков: a1  или  a2 . Надежность каждого блока равна 0,8. Найти надежность системы.

      2.53. Три исследователя независимо друг от друга производят измерения некоторой  физической  величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний  прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

      2.54. Партия из  100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной  детали  среди  пяти  проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть принятой, если она содержит 5 % неисправных деталей?

      2.55. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми  агрегатами  которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы вывести из строя самолет, достаточно поразить два двигателя вместе или кабину пилота. Вероятность  поражения  первого  двигателя  равна 0,6,  второго двигателя - 0,75, кабины пилота - 0,5. Агрегаты  самолета  поражаются  независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

      2.56. Какова должна быть вероятность изготовления изделия, удовлетворяющего стандарту, чтобы с вероятностью, равной 0,9, можно было бы утверждать, что среди 20 изготовленных изделий хотя бы одно не удовлетворяет стандарту?

      2.57. Вероятность того, что  танк  наедет  на мину, равна 0,4. Какова вероятность того, что танк подорвется на мине,  если 15 %  мин имеют дефектные взрыватели?

      2.58. В пакет сложены 20 одинаковых карточек, пронумерованных по порядку с номера 31 по 50 номер, и тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что при взятии наудачу двух карточек (последовательно) номер первой карточки окажется кратным числу 4, а  номер второй  карточки окажется кратным числу 7?

      2.59. Производят кратковременные  включения  мощного  блока  питания. Вероятность  отказа в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты независимы и происходят последовательно до наступления отказа. Определить вероятность того, что придется произвести четвертое включение?

     2.60. Экспедиция газеты направила газеты в  два  почтовых  отделения. Вероятность  своевременной доставки газет в каждое из почтовых отделений равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя;  б) оба почтовых отделения получат газеты с опозданием; в) одно отделение получит газеты вовремя,   а второе - с опозданием.