Открытый урок по дисциплине "Элементы высшей математики"
план-конспект урока

Кривые второго порядка

Скачать:


Предварительный просмотр:

Министерство образования Московской области

Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Московской области

«Подмосковный колледж «Энергия»

Открытый урок

Дисциплина: «Элементы высшей математики»

Тема:

Кривые второго порядка

             

Специальность:

09.02.07  Информационные системы и программирование

Курс: II

Преподаватель  Бекаревич А.В.

2019 год

Дисциплина: «Элементы высшей математики»

Тема:

Кривые второго порядка

Дата: 16.10.2019

Группа:  2ИС1-18Э

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

 Образовательная:

- проверить уровень усвоения обучающимися темы ««Уравнения прямых. Расстояние от точки до прямой»;

 - в обзорном порядке дать определение кривых второго порядка;

- ввести определение окружности и эллипса, гиперболы и параболы;

- рассмотреть уравнения рассмотренных фигур и их характеристик;

- рассмотреть задачи по определению уравнений и основных характеристик кривых второго порядка

Развивающая:

- изучение и восприятие нового материала;

- развитие способностей: логически рассуждать, выделять главное, анализировать, делать выводы;

- развитие умения применять знания для решения практических задач.

Воспитательная:

- воспитание инициативы и творчества;

- воспитание ответственного отношения к учебному труду

Методическая:

-развитие внимания, логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, активности учащихся на уроке;

-воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точности и ясности словесного выражения мысли; сосредоточенности и внимания. 

В результате изучения темы студент должен:

знать :

- канонические уравнения кривых второго порядка и их характеристики;

- общий вид графиков кривых второго порядка

уметь:

- определять вид кривой второго порядка и его характеристики;

- строить графики кривых второго порядка

Оборудование к уроку:

- Компьютер с ОС Windows 7/8/10

- Мультимедийный проектор.

- Презентация.

План урока.

№, п/п

Этапы урока

Время, мин

Методы и средства урока

1

Организационный момент

2

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих

2

Введение в тему урока. Целеполагание

3

Объявление темы и цели урока

3

Актуализация опорных знаний

15

Повторение пройденного материала  по теме «Прямая на плоскости» Поверочная работа.

4

Изучение нового материала

25

Обзорная лекция.

План изложения нового материал (презентация «Кривые второго порядка»:

5

Первичное усвоение знаний

40

практическое занятие

6

Домашнее задание

2

Задание для самостоятельной работы обучающихся  во внеаудиторное время

7

Подведение итогов работы. Рефлексия.

3

Сообщение преподавателя, высказывания обучающихся, выставление оценок

Итого:

90


Ход занятия:

  1. Организационный момент  
  1. Проверка подготовленности кабинета к занятию.
  2. Приветствие обучающихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.

  1. Введение в тему урока. Целеполагание
  1. Объявление темы и цели урока

  1. Актуализация опорных знаний

Повторение пройденного материала  по теме «Прямая на плоскости» Поверочная работа.  

Вариант 1

  1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
  2. Определить угловой коэффициент k и длину отрезка , отсекаемого прямой на оси OY, для следующей прямой  2x – y + 3 = 0
  3. Найти расстояние от точки P(2, −1) до прямой 4x + 3y + 10 = 0.

Вариант 2

  1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
  2. Определить угловой коэффициент k и длину отрезка , отсекаемого прямой на оси OY, для следующей прямой  3x – 2y - 6 = 0
  3. Найти расстояние от точки М(-1; 1) до прямой 3х + 4у – 12 = 0   

  1. Изучение нового материала –

Обзорная лекция.

План изложения нового материала по презентации «Кривые второго порядка»:

  1. Кривые  второго порядка.
  2. Окружность, ее уравнение и свойства.
  3. Эллипс, его уравнение и свойства.
  4. Гипербола, ее уравнение и свойства.
  5. Парабола ее уравнение и свойства.
  6. Перенос и поворот осей координат.


  1. Первичное усвоение знаний – практическое занятие

Решение на доске и в тетрадях:

 Закрепить основные понятия темы, научиться составлять уравнения кривых второго порядка, определять свойства кривых второго порядка по уравнению.

Задача 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно , а малая полуось .

Решение.

 По условию , т.е. .

Мы знаем, что , отсюда , т.е.  или .

Уравнение эллипса имеет вид:

.

Задача 2. Найти координаты фокусов и вершин гиперболы . Написать уравнение её асимптот и вычислить эксцентриситет.

Решение.

 Напишем каноническое уравнение гиперболы, для этого обе части уравнения поделим на . После сокращения получим:

.

Отсюда видно, что , т.е.  и , т.е. .

Для гиперболы , отсюда .

Теперь можем написать координаты вершин и фокусов гиперболы:

.

Эксцентриситет , а уравнения асимптот имеют вид:

 и .

 Задача 3. Составить уравнение параболы и её директрисы, зная, что она симметрична относительно оси , фокус находится в точке , вершина совпадает с началом координат.

Решение.

Будем искать уравнение параболы в виде . По условию , а значит . Итак, искомое уравнение имеет вид: , уравнение её директрисы: .

Задача 4. Найдите координаты центра и радиус окружности:

Решение.

Выделяя полные квадраты суммы и разности слагаемых в левой части уравнения, получим:  или; .

Центр: , Радиус: .

Задача 5. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

Решение. Указанное уравнение определяет параболу . Действительно,

,

.

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке  и .

Задача 6. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

Решение.

Преобразуем уравнение:

.

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые  и

 VI.Задание для самостоятельной работы обучающихся  во внеаудиторное время

  1. Проработать конспект.

Решить: 1. Составить уравнение окружности с центром О(3; -2) и радиусом r = 5. Построить ее.

  1. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2b = 6, а расстояние между фокусами = 8.
  2. Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 16х2 + 25у2 = 400.

VII.Подведение итогов, рефлексия 

Сообщение преподавателя, высказывания обучающихся, выставление оценок.


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Проверочная работа «Прямая на плоскости» Вариант 1 Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4). Определить угловой коэффициент k и длину отрезка b, отсекаемого прямой на оси OY, для следующей прямой 2x – y + 3 = 0 Найти расстояние от точки P(2, −1) до прямой 4x + 3y + 10 = 0. Вариант 2 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат. Определить угловой коэффициент k и длину отрезка b, отсекаемого прямой на оси OY, для следующей прямой 3x – 2y - 6 = 0 Найти расстояние от точки М(-1; 1) до прямой 3х + 4у – 12 = 0

Слайд 2

Кривые второго порядка Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей –гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Слайд 3

Общее уравнение кривой второго порядка К кривым второго порядка относятся: эллипс , частным случаем которого является окружность , гипербола и парабола . Они задаются уравнением второй степени относительно x и y : Общее уравнение кривой второго порядка В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

Слайд 4

Окружность Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А( a; b ) на расстояние R . y 0 х А R М (x; y) Для любой точки М справедливо: Каноническое уравнение окружности

Слайд 5

Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2 , называемых фокусами , есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2 Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [ F 1 F 2 ]

Слайд 6

Эллипс b 2 b 2 b 2 Каноническое уравнение эллипса

Слайд 7

Эллипс y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2 а -а большая полуось малая полуось b -b фокальное расстояние фокальные радиусы точки М эксцентриситет эллипса Для эллипса справедливы следующие неравенства: Эксцентриситет характеризует форму эллипса ( ε = 0 – окружность)

Слайд 8

Пример Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках F 1 (-4; 0) F 2 (4; 0) , а эксцентриситет равен 0,8. Каноническое уравнение эллипса: y 0 х - 5 5 - 3 3

Слайд 9

Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2 , называемых фокусами , есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2

Слайд 10

Гипербола b 2 b 2 b 2 Каноническое уравнение гиперболы После тождественных преобразований уравнение примет вид:

Слайд 11

Гипербола y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) а - а -b b Для гиперболы справедливо: r 1 r 2 фокальные радиусы точки М действительная полуось мнимая полуось эксцентриситет гиперболы асимптоты гиперболы

Слайд 12

Пример Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями: Решим систему: Точка А лежит на гиперболе

Слайд 13

Пример Каноническое уравнение гиперболы: 0 y х

Слайд 14

Парабола y 0 х F M(x; y) d r Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы)

Слайд 15

Парабола y 0 х F M(x; y) d r каноническое уравнение параболы директриса параболы фокус параболы фокальный радиус Эксцентриситет параболы:

Слайд 16

Преобразование общего уравнения к каноническому виду Составим из коэффициентов уравнения два определителя: Дискриминант старших членов уравнения Дискриминант уравнения Эллипс Точка Гипербола Пара пересекающихся прямых Парабола Пара параллельных прямых

Слайд 17

Преобразование общего уравнения к каноническому виду Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если 2Bxy =0: Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:

Слайд 18

Преобразование общего уравнения к каноническому виду y 0 х - 1 1 5 5 4 4 y’ x’ Перенесем начало координат в точку (1; -1) , получим новую систему координат:

Слайд 19

Преобразование общего уравнения к каноническому виду Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому виду необходимо повернуть оси координат на угол α . При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами: Угол α удовлетворяет условию: В случае, если A = C , то

Слайд 20

Задание для самостоятельной работы 1. Проработать конспект. Решить: 1. Составить уравнение окружности с центром О(3; -2) и радиусом r = 5. Построить ее. 2. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2b = 6, а расстояние между фокусами = 8. 3. Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 16х 2 + 25у 2 = 400.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку Основы высшей математики по теме:"Признаки сходимости рядов. Признаки Даламбера и Коши"

Презентация выполнена в офисной программе Power Point. Предназначена для преподавателей математики. Данная работа окажет помошь в подготовке к уроку при объяснении данного материала...

Открытый урок по дисциплине "Дискретная математика"

В данном разделе представлен материал открытого урока-соревнования (повторение и обобщение пройденного материала) по дисциплине "Дискретная математика"...

Методическая разработка интегрированного урока по учебным дисциплинам «Элементы математической логики» и «Элементы высшей математики» преподавателей МКЭиИТ Невзоровой И.Б. и Сипачевой О.И.

Данная работа содержит методику проведения интегрированного урока по учебным дисциплинам «Элементы математической логики» и «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса специальности 23011...

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230111 КОМПЬЮТЕРНЫЕ СЕТИ

2 КУРСРАБОЧАЯ ПРОГРАММА  УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ         ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ  МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ...

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА ПО ПРЕДМЕТУ “МАТЕМАТИКА” ПО ТЕМЕ: НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Автор-составитель: преподаватель математики Козырева Татьяна Александровна Краснодар, 2014г.

Разработка урока составлена в соответствии с программой по математике ( по учебнику А. Н. Колмогоров и др. „ Алгебра и начало анализа ” 10 – 11кл. Урок по теме: „ Нахождение наибольшего и наимень...

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА ПО ПРЕДМЕТУ “МАТЕМАТИКА” ПО ТЕМЕ: НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Автор-составитель: преподаватель математики Козырева Татьяна Александровна Краснодар, 2014г.

Разработка урока составлена в соответствии с программой по математике ( по учебнику А. Н. Колмогоров и др. „ Алгебра и начало анализа ” 10 – 11кл. Урок по теме: „ Нахождение наибольшего и наимень...

Открытый урок по математике на тему"Показательные уравнения. Метод приведения к одному основанию.Использование современных технологий на уроках математики"

Открытый урок по математике на тему"Показательные уравнения. Метод приведения к одному основанию.Использование современных технологий на уроках математики"...