Памятка Треугольник Паскаля
консультация

Треугольник Паскаля

      Для того, чтобы получить треугольник Паскаля, перепишем Таблицу 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности» в следующем виде (Таблица П.):

      Таблица П. – Натуральные степени бинома   x + y

      Теперь, воспользовавшись третьим столбцом Таблицы П., составим следующую Таблицу - Треугольник Паскаля:

      Таблица - Треугольник Паскаля

     В треугольнике Паскаля каждая строка соответствует строке с тем же номером в Таблице П. Однако в каждой строке треугольника Паскаля, в отличие от Таблицы П., записаны только коэффициенты разложения в сумму одночленов соответствующей степени бинома   x + y .

   Заполнив сначала строки треугольника Паскаля с номерами   0   и   1,   рассмотрим строки с номерами   2   и далее.

  Основным свойством треугольника Паскаля, позволяющим последовательно, начиная со строки с номером   2,   заполнять его строки, является следующее свойство:

   Каждая из строк, начиная со строки с номером   2,   во-первых, начинается и заканчивается числом   1,   а, во-вторых, между числами   1   стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

    Действительно, число   2,   стоящее в строке с номером два, равно сумме чисел   1   плюс   1,   стоящих в первой строке. Точно так же, числа   3   и   3,   стоящие в строке с номером три, равны соответственно сумме чисел   1   плюс   2   и сумме чисел   2   плюс   1,   стоящих во второй строке.

      Также и для других строк.

    Таким образом, свойство треугольника Паскаля позволяет, заполнив одну из строк, легко заполнить и следующую за ней, т.е. получить необходимые коэффициенты разложения в сумму одночленов следующей степени бинома   x + y .

Пример. Написать разложение вида:

(x + y)7 .

      Решение. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером   6   и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером   7:  

      Следовательно,

(x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y2 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 .