Пособие Метод Гаусса-Крамера
методическая разработка на тему

                                    Департамент образования города Москвы

Государственное автономное образовательное учреждение

Среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

Плотникова И.А., Соколова Л.А.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

(для  внеаудиторной самостоятельной работы)

 ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА

СПЕЦИАЛЬНОСТИ:

 «Технология мяса и мясных продуктов»,

«Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров»,

«Монтаж и техническая эксплуатация холодильно- компрессорных машин и установок» (по отраслям),

         «Экономика и бухгалтерский учёт» (по отраслям).

Тема: Метод Гаусса»

Москва

2013

Авторы:

Соколова Л.А., Плотникова И.А. – преподаватели математики ГАОУ СПО города Москвы Технологический колледж № 28

Пособие для студентов 2-го курса. Методическая разработка «Решение прикладных задач с использованием методов Крамера и Гаусса»

Соколова Л.А., Плотникова И.А. – М.: ГАОУ СПО ТК № 28. 2013. - 21 с.

 Методические указания по выполнению практических работ по математике (алгебре и началам анализа) содержат следующие позиции:

- цель работы;

- какие знания и умения должен приобрести студент по выполнении работы;

- краткие сведения по теории;

- образцы решения примеров и задач по теме;

- задания для самостоятельного решения;

- контрольные вопросы для проверки теоретических знаний;

- общие рекомендации по выполнению самостоятельной работы.

          Методические указания     предназначены для студентов второго курса и преподавателей математики профессиональных колледжей.

Практическая работа

Решение прикладных задач с использованием методов Крамера и Гаусса

Цель работы:

- научить студентов решать прикладные задачи;

-выработать умение доводить решение задачи до логического конца;

- развивать алгоритмическую культуру;

В результате выполнения работы студент должен приобрести следующие умения:

- решать прикладные задачи

Для выполнения практической работы необходимо:

1.Ознакомиться  с целями и задачами  данной практической работы.

2. Ознакомиться  с теоретической частью работы.

3. Разобрать  решённые примеры.

4. Ответить на контрольные вопросы.

5. Решить задания для самостоятельной работы.

6. Оформить решение заданий в тетради для практических работ.

Теоретическая часть

       Использование систем линейных уравнений при решении практических  задач.

Пример 7.1. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.

Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма
3x +2y +z должна равняться 360, т.е.

3x +2y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

                                        x + 6y +2z = 300

                                        4x + y + 5z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼ .

Следовательно, исходная система равносильна следующей:

                                        x + 6y +2z = 300,

                                              2y +9z = 570,

                                                  -67z = - 4020.

Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем
x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Пример 7.2. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x i j количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде

x 11 + x 12 = 6000,                                         (5.7)

где x 11, x 12 - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

x2 1 + x22 = 4000.                                         (5.8)

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x 31 = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид

x 32 =3000.                                             (5.9)

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

x 11 + x 21 = 8000.                                       (5.10)

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:

4,3x 11 + 7,8 x 12 + 5,25 x 21 + 6,4x 22 + 3,25x 32 = 58850.                 (5.11)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) - (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде:

4,3x 11 + 7,8x 12 +5,25x 21 +6,4x 22 = 49100,

и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x 11, x 12, x 21, x 22, расширенная матрица которой имеет вид:

•A = .

Преобразуем ее к треугольному виду:

•A ∼  ∼  ∼
∼  ∼ .

Наша система равносильна следующей:

                                x 11 + x 12                   = 6000,

                                       - x 12 + x 21          = 2000,

                                                 x 21 + x 22 = 4000,

                                                -2,35 x 22 = - 4700,

откуда x 22 = 2000, x 21 = 2000, x 12 = 0, x 11 = 6000.

Пример 7.3. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

Решение. Обозначим через x1, x2, x3, x4 количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

                                  x1 +   x2 +   x3 +  x4 = 94,

                                2x1 +   x2 + 7x3 + 4x4 = 574,

                                6x1 +12x2 +2x3 + 3x4 = 328.

Решаем ее методом Гаусса:

 ∼ ∼ .

Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x4 - свободное. Исходная система равносильна следующей:

                                x1 + x2 +   x3 = 94 - x4,

                                     - x2 + 5x3 = 386 - 2x4,

                                             26x3 = 2080- 9x4.

Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x1 и x4 не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x1 = - 12/13 x4 получим: x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.

          Самостоятельная  работа №4

                         Решение практических задач.

Предприятие специализируется по выпуску продукции трех видов P1, P2, и P3; при этом использует сырье трех типов: S1, S2 и S3. Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день заданы таблицей. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Полученную систему уравнений решить методом Гаусса и методом  Крамера.

Решение

Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 шт изделия S1, x2 шт изделия S2 и x3 шт изделия S3. Запишем это в виде столбца суточного выпуска продукции X. Далее выпишем матрицу технико-экономических коэффициентов A, а также столбец суточного расхода сырья В

Найдем количество сырья S1 ,  затраченного на производство обуви:

.

Найдем количество сырья S2 ,  затраченного на производство обуви:

.

Найдем количество сырья S3 ,  затраченного на производство обуви:

.

В результате получаем следующую систему уравнений для определения суточного выпуска продукции:

Решение системы уравнений методом Гаусса.

1. Пошаговый способ решения системы уравнений.

I шаг прямого хода:

1.1. Делим первое уравнение системы на коэффициент, стоящий перед x1

1.2. Из второго уравнения вычитаем первое, умноженное на 2:

Или, умножая это уравнение на -5,  

1.3. Из третьего уравнения вычитаем первое, умноженное на 3:

Или, умножая это уравнение на 5,  

1.4. В результате получаем следующую систему уравнений:

Список рекомендуемой литературы

1. Богомолов Н.В., Математика, Учебник для ССУЗов . – М.: Дрофа. 2010.  – 398 с.
2. Григорьев С.Г.Математика. Учебник для ССУЗов . – М.: Академия. 2010. – 384 с.        
3. Башмаков М.И. Математика. Учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования. – М.,: Академия. 2011. – 256 с.

Дополнительная литература

4. Г.Н. Матвеев  «Алгебра и начала анализа» ч.1. – М.: Наука. 2002. – 465стр.

Биография Гаусса Карла Фридриха

1777—1798 годы

         Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца.    Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: .

До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.

Дом, где родился Гаусс (не сохранился) 

С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу

закончить колледж Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792—1795).

Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле.

В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там он сделал несколько открытий в теории чисел, в том числе доказал закон взаимности квадратичных вычетов. Лежандр, правда, открыл этот важнейший закон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось. Кроме этого, Гаусс создал «метод наименьших квадратов» (тоже независимо открытый Лежандром) и начал исследования в области «нормального распределения ошибок».

С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете, где его учителем был А. Г. Кестнер. Это — наиболее плодотворный период в жизни Гаусса.

1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида (числом Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг.

С 1796 года Гаусс ведёт краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их «мутациями»).

Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было ни одной.

1798 год: закончен шедевр «Арифметические исследования» (лат. Disquisitiones Arithmeticae), напечатан только в 1801 году.

В этом труде подробно излагается теория сравнений в современных (введенных им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка, глубоко исследуются квадратичные формы, комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, изложены свойства квадратичных вычетов, приведено доказательство квадратичного закона взаимности и т. д. Гаусс любил говорить, что математика — царица наук, а теория чисел — царица математики.

1798—1816 годы

Памятник Гауссу в Брауншвейге с изображенной на нём 17-лучевой звездой

В 1798 году Гаусс вернулся в Брауншвейг и жил там до 1807 года.

Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать его докторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры. До Гаусса было много попыток это сделать, наиболее близко к цели подошёл Д'Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных её доказательства.

С 1799 года Гаусс — приват-доцент Брауншвейгского университета.

1801 год: избирается членом-корреспондентом Петербургской Академии наук.

После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своих интересов, включив в него и естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера (1801), потерянной вскоре после обнаружения. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления, пользуясь разработанным им же новым вычислительным методом[1], и с большой точностью указал место, где искать «беглянку»; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена.

Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европы избирают Гаусса своим членом, герцог увеличивает пособие, а интерес Гаусса к астрономии ещё более возрастает.

1805 год: Гаусс женился на Иоганне Остгоф. У них было трое детей.

1806 год: от раны, полученной на войне с Наполеоном, умирает его великодушный покровитель-герцог. Несколько стран наперебой приглашают Гаусса на службу (в том числе в Петербург). По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.

1807 год: наполеоновские войска занимают Гёттинген. Все граждане облагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму — 2000 франков — требуется заплатить Гауссу. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему на помощь, но Гаусс отклоняет их деньги; тогда неизвестный из Франкфурта присылает ему 1000 гульденов, и этот дар приходится принять. Только много позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте.

1809 год: новый шедевр, «Теория движения небесных тел». Изложена каноническая теория учёта возмущений орбит.

Как раз в четвёртую годовщину свадьбы умирает Иоганна, вскоре после рождения третьего ребёнка. В Германии разруха и анархия. Это самые тяжёлые годы для Гаусса.

1810 год: новая женитьба, на Минне Вальдек, подруге Иоганны. Число детей Гаусса вскоре увеличивается до шести.

1810 год: новые почести. Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества.

1811 год: появляется новая комета. Гаусс быстро и очень точно рассчитывает её орбиту. Начинает работу над комплексным анализом, открывает (но не публикует) теорему, позже переоткрытую Коши и Вейерштрассом: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю.

1812 год: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложение практически всех известных тогда функций.

Знаменитую комету «пожара Москвы» (1812) всюду наблюдают, пользуясь вычислениями Гаусса.

1815 год: публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры.

1816—1855 годы

1820 год: Гауссу поручают произвести геодезическую съёмку Ганновера. Для этого он разработал соответствующие вычислительные методы (в т. ч. методику практического применения своего метода наименьших квадратов), приведшие к созданию нового научного направления — высшей геодезии, и организовал съёмку местности и составление карт.

1821 год: в связи с работами по геодезии Гаусс начинает исторический цикл работ по теории поверхностей. В науку входит понятие «гауссовой кривизны». Положено начало дифференциальной геометрии. Именно результаты Гаусса вдохновили Римана на написание его классической диссертации о «римановой геометрии».

Итогом изысканий Гаусса была работа «Исследования относительно кривых поверхностей» (1822). В ней свободно использовались общие криволинейные координаты на поверхности. Гаусс далеко развил метод конформного отображения, которое в картографии сохраняет углы (но искажает расстояния); оно применяется также в аэро/гидродинамике и электростатике.

1824 год: избирается иностранным почётным членом Петербургской Академии наук.

        1825 год: открывает гауссовы комплексные целые числа, строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравнений высоких степеней.

1829 год: в замечательной работе «Об одном новом общем законе механики», состоящей всего из четырёх страниц, Гаусс обосновывает новый вариационный принцип механики — принцип наименьшего принуждения. Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: «движение

Гаусс в 1828 г.

системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной».

1831 год: умирает вторая жена, у Гаусса начинается тяжелейшая бессонница. В Гёттинген приезжает приглашённый по инициативе Гаусса 27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер, с которым Гаусс познакомился в 1828 году, в гостях у Гумбольдта. Оба энтузиаста науки сдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начинают цикл исследований электромагнетизма.

1832 год: «Теория биквадратичных вычетов». С помощью тех же целых

Гаусс и Вебер. Скульптура в Гёттингене.

комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для вещественных чисел. Здесь же Гаусс приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой.

1833 год: Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером) строит его действующую модель.

1837 год: Вебера увольняют за отказ принести присягу новому королю Ганновера. Гаусс вновь остаётся в одиночестве.

1839 год: 62-летний Гаусс овладевает русским языком и в письмах в Петербургскую Академию просил прислать ему русские журналы и книги, в частности «Капитанскую дочку» Пушкина. Предполагают, что это связано с интересом Гаусса к работам Лобачевского, который в 1842 году по рекомендации Гаусса был избран иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества.

В том же 1839 году Гаусс в сочинении «Общая теория сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» изложил основы теории потенциала, включая ряд основополагающих положений и теорем — например, основную теорему электростатики (теорема Гаусса).

1840 год: в работе «Диоптрические исследования» Гаусс разработал теорию построения изображений в сложных оптических системах.

Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене.

Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора.

Увековечение памяти[

В честь Гаусса названы:

• кратер на Луне;
• малая планета № 1001 (Gaussia);
• Гаусс — единица измерения магнитной индукции в системе СГС; сама эта система единиц часто именуется гауссовой;
• одна из фундаментальных астрономических постоянных — Постоянная Гаусса;
• вулкан Гауссберг в Антарктиде.

С именем Гаусса связано множество теорем и научных терминов в математике, астрономии и физике.

• Алгоритм Гаусса вычисления даты Пасхи
• Дискриминанты Гаусса
• Гауссова кривизна
• Гауссовы целые числа
• Интерполяционная формула Гаусса
• Лента Гаусса
• Метод Гаусса (решения систем линейных уравнений)
• Метод Гаусса — Жордана
• Метод Гаусса — Зейделя
• Нормальное или Гауссово распределение
• Прямая Гаусса
• Пушка Гаусса
• Ряд Гаусса
• Теорема Гаусса — Ванцеля
• Фильтр Гаусса
• Формула Гаусса — Бонне

• Гаусс на почтовых марках
• 

Почтовая марка ФРГ (1955), 10 пфеннигов, (Михель 204)

Почтовая марка ГДР, 1977 год, 20 пфеннигов (Михель 2215, Скотт 1811)

Почтовая марка ФРГ, 1977 год, 40 пфеннигов (Михель 928)

Габриэль Крамер

Gabriel Cramer

День рождения: 31.07.1704 года
Место рождения: Женева, Швейцария
Дата смерти: 04.01.1752 года
Место смерти: Баньоль-сюр-Сез, Швейцария
Гражданство: Швейцария

Биография

Швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.

н

,,

Пособие для студентов 2-го курса. Методическая разработка «Решение прикладных задач с использованием методов Крамера и Гаусса»

_________________________________________________________________

Соколова Людмила Александровна, Плотникова Ирина Анатольевна – преподаватели математики ГАОУ СПО ТК № 28

Сдано в печать 14.11.2013 г. г.

Формат бумаги 60х90/16

Тираж 30 экз.

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

109382, Москва, ул. Верхние поля, 27

Тел./факс 8(495)359-65-29

E-mail: 28-2@prof.educom.ru