РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по разделу: «Начала математического анализа» общеобразовательной учебной дисциплины ОУД. 04 «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ»
учебно-методический материал на тему

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по разделу: «Начала математического анализа»

общеобразовательной учебной дисциплины

ОУД. 04 «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ»

по специальности 34.02.01 Сестринское дело

Пояснительная записка.

Рабочая тетрадь по разделу: «Начала математического анализа» разработаны на основе Рабочей программы по учебной дисциплине «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ» по специальности  34.02.01 Сестринское дело, утвержденной

31 августа 2017г.

Она может быть использована для самостоятельной работы обучающихся, а также для выполнения домашних работ.  Тетрадь содержит задачи репродуктивного, поискового характера, а так же имеется ряд задач повышенной сложности, решение которых требует определенных умений и навыков, которые могут служить базой для дальнейшего изучения математики.

Содержание

1. Предел последовательности и функции
2. Вычисление пределов
3. Определение производной
4. Основные правила дифференцирования
5. Упражнения на закрепление изученных понятий
6. Производные тригонометрических функций
7. Проверочная работа
8. Геометрический смысл производной
9. Физический смысл производной
10. Производная сложной функции
11. Письменная работа
12. Первообразная. Неопределенный интеграл
13. Упражнения на закрепление изученных понятий
14. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
15. Проверочная работа
16. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Предел последовательности и функции

1. Понятие предела последовательности

2. Правила вычисления пределов последовательности

если

Например:

3. Теоремы об арифметических операциях над пределами: если

Пример. Найти предел последовательности:

Решение: - Предел последовательности вычисляется путем почленного деления числителя и знаменателя на неизвестную в наибольшей степени.

- Какая наибольшая степень из предложенных нам дана? (2)

- Разделим почленно на  п2, получим:

Вычислите

 =

=

=

- рассмотрим предел последовательности, когда х стремится к предельному значению.

Простейшим способом вычисления предела является подстановка предельного значения (конкретного числа) в подпредельное выражение, т.е. подставляем число 4 вместо х.

Вычислите

=_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

=_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

=_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

=_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРОИЗВОДНАЯ

Основные правила дифференцирования

                  1.  a′=0

                  2.  x′=1                              

                  3. (ax)′=a

            4. (xⁿ)′=nxⁿˉ¹

   5. (u+v)′=u′+v′

   6. (uv)′=u′v+uv′

   7. (u/v)′=(u′v-v′u)/v²

                              1.    a′=0.  Производная от  числа равна нулю.

                         7′=0;    (1⁄3)′=0;   (-2,5)′=0;    (√11)′=0

4′ =_____;           (-15)′ =______;               (7,81)′ = ______; (√2)′=_______              (5/7)′ =______.

                             2.  x′=1.   Производная от любой переменной равна                      

        единице.      

у′ =________________;          в′=_____________

         3.  (ax)′=a.    Постоянный множитель можно выносить        

                                                  за знак производной.

(13х)′=13;   (-8х)′= -8;   (-¼х) ′ = -¼;   (√2х)′ = √2

(101х)′ = __________

(-56х)′ = __________

(⅞х) ′ =  __________

(√8х) ′ =  _________

                        4. (xⁿ)′=n·xⁿˉ¹      

                       (х⁶)′=6х⁵;        (3х⁴)′ = 3·4х3 = 12х3;

                       (-¼х4)′ =-¼·4 х3=- х3

(Х21)' =   _______________

(10х4)' = _______________

(-⅓х3)' = _______________

(Х1/2)' =  _______________

                               5. (u+v)′=u′+v′

   (3х+5)'=(3х)'+5'=3+0=3

   (5х2+8х-10)'=(5х2)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

   (х4-х9)'= (х4)' – (х9)'= 4х3 – 9х8

(3х2 – 6х)' = _______________________________________________________

(х3+ 4х100-1)' = _____________________________________________________

(3х4-7х3+2х2+1/х2)'=___________________________________________________

                      6. (u·v)′=u′·v+u·v′

1. (х(х+3))' = х'·(х+3) + х· (х+3)'= 1·( х+3) + х · 1=х+3+х=2х+3

2. ((х2-х)(5х-8))'= (х2-х)'·(5х-8) + (х2-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+

+(х2-х)5= 10х2-21х+8+5х2-5х= 15х2-26х+8

((х+5)(х+7))'=___________________________________________________________

_______________________________________________________________________

((х2-2)(х7+4))'=__________________________________________________________

_______________________________________________________________________

                7. (u/v)′=(u′·v-v′·u)/v²

(х2/(х+3))'= ((х2)'·(х+3) - х2·(х+3)')/(х+3)2=

=(2х(х+3)-х2)/(х+3)2=(2х2+6х-х2) /(х+3)2=(х2+6х) /(х+3)2

((3х)/(2х-1))'=__________________________________________________________

______________________________________________________________________

 ((6х-9)/(-11х+7))'= ______________________________________________________

_______________________________________________________________________

   Проверь себя   

                   Производные тригонометрических          

                                            функций

• (sinx)′=cosx
• (cosx)′=-sinx
• (tgx)′=1/cos²x
• (ctgx)′=-1/sin²x

(2sinx)′=2cosx;                         (x+2cosx)′=1-2sinx;

(1/2tgx)′=1/2cos²x;               (сosx-tgx)′=-sinx-1/cos²x

(2tgx-sinx)′=2/cos²x-cosx

(tgx+11) '= _____________________________________________________________

(cosx- sinx) '=___________________________________________________________

(5sinx+2х) '=  ___________________________________________________________

(Ctgx+2х3) '= ___________________________________________________________

(2sinx+ cosx-3)'= ________________________________________________________

(tgx +3 cosx)'= __________________________________________________________

(-sinx+х3) '= ____________________________________________________________

(2cosx-5х4+2х+1) '= ______________________________________________________

                   Установи соответствие   

1.Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х0):

Решение:  f(х) =х2,    х0=-4

К= f '(х0);      f '(х)=2х;           f '(х0)= f '(-4)=2·(-4)=-8,          т.е. к=-8

1. f(х)=1⁄х, в х0=- 1⁄3 ______________________________________________

________________________________________________________________

2. f(х)= sinx, в х0 = ¶⁄3_____________________________________________

______________________________________________________________

3. f(х)= 3х3 – 2х +1, в х0=1__________________________________________

________________________________________________________________

2. Найдем  тангенс угла касательной к кривой у=1⁄2 х2 с осью Ох, в точке х0=1.

Решение:  tgα=у'(х0);     у'(х)=( 1⁄2 х2)'=х;      у'(х0)= у'(1)=1,     т.е. tgα=1;    α=π⁄4

        1. у= х2 при х0=√3⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

              2. f(х)=1⁄3 х3, х0=1 ________________________________________________

______________________________________________________________________

3. Найдем уравнение касательной к графику функции у=1⁄3 х2-2в точке с абсциссой х0=3.

Решение: Находим уравнение касательной  у=у(х0)+у'(х0)(х-х0)

у(х0)=у(3)= 1⁄3 ·32-2=1;   у'(х)= (1⁄3 х2-2)'=2⁄3 х;   у'(х0)= у'(3)= 2⁄3 ·3= 2

у=1+2(х-3)=1+2х-6=2х-5;       т.е. у=2х-5 – уравнение касательной

1. f(х)=3х2-5х+4, в х0=1____________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

2. у=1⁄2 х2+1, в х0=2_______________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

 Тело движется по закону  S (t)=3t2-5t+8. Найдем скорость и ускорение движения тела и вычислить их значения при t=1.

Решение: V (t)= S' (t)= 6 t-5;   V (1)=6·1-5=1

а= V'(t)=( 6 t-5)'=6

                                               Ответ: V=1, а=6

1. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= t2+2 в момент времени t=5: _____________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= 0,5t3+2t2-7t+11 в момент времени t=2:

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Найдем производную сложной функции:

1.((2х+3)¹°°)′=2·100(2х+3)⁹⁹=200(2х+3)⁹⁹

2.(√3х²+1)′=(1/2·(3х²+1))·(3х²+1)′=6х/(2·√3х²+1)=3х/√3х²+1

1. у =(4х-9)7 _________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. у = (х⁄3 +2)12_______________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. у = (7-24х)10 _______________________________________________________

_______________________________________________________________________

4. у = cosx(5х-9)_______________________________________________

_______________________________________________________________________

5. у= sinx(7-2х) ______________________________________________

_______________________________________________________________________

        ПРОВЕРЬ СЕБЯ                                                                                    

1.Производная функции у=f(х) в точке х0 называется предел _________________

     __________________, когда приращение аргумента стремится к нулю.

    2.Функцию, имеющую производную в точке х0 называют____________________

    _________________ в этой точке.

    3.Найти производные функций:

3.1  у=х3+√2____________________________________________________________

3.2  у=3х4-7х3-х+π_______________________________________________________

3.3  у=7х3-5х___________________________________________________________

3.4  у=х-х3+7___________________________________________________________

3.5  у=(5х-2)·(4х-1)______________________________________________________

______________________________________________________________________

3.6  у=(5х+2)⁄(4х-1)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.7  у=(7х+5)·(8х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.8  у=(3х2-8)/(2х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.9  у=3cosх____________________________________________________________

3.10  у=sin2х___________________________________________________________        

3.11  у=1/2 sinх-х5_______________________________________________________

3.12  у=5tgх____________________________________________________________

3.13  у= tg3х____________________________________________________________

3.14  у=3cosх+2_________________________________________________________

______________________________________________________________________

3.15  у=2х5-3cosх________________________________________________________

_______________________________________________________________________

     4. Найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0:

4.1  у=7х3-21х2+18, при х0=1______________________________________________

_______________________________________________________________________

4.2  у=х3-2х2+3х-6, при х0=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

4.3  у=sinx+cosx, при х0=¶⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

4.4  у=х2⁄2+х, при х0=1____________________________________________________

_________________________________________

     5.Пусть S, пройденный телом за время t, выражается формулой. Определить скорость тела V. Вычислить значение скорости при определенном значении t.

5.1  S(t)=2х3-5х2+11х-3, при t=2___________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5.2  S(t)=5,5t2-8t+11, при t=2_______________________________________________

_______________________________________________________________________

5.3  S(t)=t2+2, при t=10___________________________________________________

_______________________________________________________________________

     6. Найти угол, образованный касательной к графику функции в точке х0:

6.1 у=х6-4х, при х0=1_____________________________________________________

_______________________________________________________________________

6.2  f(х)= -х5-2х2+2, при х0=-1______________________________________________

_____________________________________________________________________    

7.Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:

7.1  у=-1⁄3 х2+4, при х0=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.2 у=1⁄6 х2+х-3, при х0=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.3  у=х3-6х2+5, при х0=1_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.4  у=х-х2+3, при х0=2___________________________________________________

_______________________________________________________________________

ПРЕВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Чтобы найти неопреленный интеграл (то есть множество первообразных для подинтегральной функции), достаточно его свести к табличным. Это часто удаётся путём преобразования подинтегрального выражения и применения основных правил интегрирования:

1)   =   

2)  =  , где  - постоянная

3)  = , где   и  b – постоянные,

Для нахождения первообразных используется следующая таблица

Используя формулы первообразных, заполните таблицы:

f (х) = xn            F(x) = +C

f (х) =             F(x) = ln x+C

f (х) =             F(x) = - +C

f (х) =             F(x) = +C

f (х) =             F(x) = +C

f (х) =             F(x) = +C

f (х) =             F(x) = x +C

f (х) =             F(x) =  +C

f (х) =             F(x) = +C

f (х) =             F(x) =  +C

f (х) = sin x            F(x) =-cos x  +C

f (х) = cos x            F(x) = sin x  +C

f (х) =                  F(x) = -ctg x  +C

f (х) =                  F(x) = tg x  +C

Используя второе и третье правила интегрирования найдите первообразные следующих функций:

f (х) = xn            F(x) = +C

f (х) =             F(x) = ln x+C

f (х) =             F(x) = - +C

f (х) =             F(x) = +C

f (х) =             F(x) = +C

f (х) =             F(x) = +C

f (х) =             F(x) = x +C

f (х) =             F(x) =  +C

f (х) =             F(x) = +C

f (х) = sin x            F(x) =-cos x  +C

f (х) = cos x            F(x) = sin x  +C

f (х) =                  F(x) = -ctg x  +C

f (х) =                  F(x) = tg x  +C

УСТАНОВИ СООТВЕТСТВИЕ

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл  - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной сверху графиком положительной на отрезке   функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

, где  - первообразная функции .

По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

=

=

Ответ: 4

2..Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у=х2, х=1, х=39 у=0;

б) y= 2 cosх, у=0, л < х < 2 л.

в) у = х3, х=1, х=3, у=0;

г) у = 2cosx , у=0, 0 <х <л.

д) у=2х2, у=-2х2+4;

д) у=2-х2 , у=х, х=0, х>0;

е) y=l/cos2 x, y=8cosx, х=0 0< х <.

ж) у= l/cos2x, y=8cosx, у=0, х=0, 0<х<.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Из геометрических соображений вычислить интеграл:

а) ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б) ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________