ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«Ногинский колледж»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ  РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ  

«МАТЕМАТИКА»

ПРОИЗВОДНАЯ

Методические указания по выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика», 2019.

В методических указаниях по выполнению самостоятельной работы изложены этапы и требования, предъявляемые к данному виду работ. Приведен список литературных источников.

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ФГОС СПО.  

Разработчик:

ГБПОУ МО «Ногинский                    преподаватель     Селина Е. М.

колледж»                                                          

дисциплины                                         Математика

Разработано  под руководством методиста

ГБПОУ МО «Ногинский колледж»

Прокофьевой О.А.____________________

Оглавление

Введение        4

Глава 1. Определение производной.        7

1.1 Приращение аргумента.        7

1.2 Производная        9

Задания для самостоятельного решения:        10

Введение

Тема «Производная и ее применение» является одним из основных разделов начал математического анализа.

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной — это мгновенная скорость. Актуальность темы «Производная и ее применение» следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций.

Производная — часть математической науки, одно из её звеньев. Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. С  помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства и, даже, решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения.

Производная нужна также и  в экономике. В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин. Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Можно сделать вывод, что производная — одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.  

Данное учебно-методическое пособие разработано с целью оказания помощи студентам при самостоятельной работе над разделом «Производная и её применения», в первую очередь над материалом практического характера.

Задачи:

закрепить и систематизировать знания студентов, полученные во время аудиторных занятий, самостоятельно овладеть новым учебным материалом.

Данное пособие составлено в соответствии с рекомендациями по планированию и организации самостоятельной работы студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. Оно содержит краткое изложение теоретического материала, сопровождающееся решениями примеров и задач, и предлагает задания    для самостоятельной работы. Среди заданий есть как заимствованные из различных сборников задач, так и составленные нами. Учебно-методическое пособие содержит приложение, которое включает в себя варианты для индивидуальных самостоятельных работ.

Выполненная и аккуратно оформленная работа сдается на проверку преподавателю по графику, утвержденному учебным планом. Без контрольной работы студент к зачету, экзамену не допускается.

        Критерии оценки работы: работа оценивается по полноте и качеству изложения материала, правильности ответов на тестовое задание и решения задач.

        Решение задач должно быть приведено в полном объеме, включая все необходимые для получения правильного ответа преобразования. В том случае, если решение приведено не в полном объеме или из данного решения не следует правильный ответ, задача не будет зачтена.

Глава 1. Определение производной.

1.1 Приращение аргумента.

Путь x – аргумент функции  f(x) и  - малое число, отличное от нуля.

Окрестностью точки называется интервал, содержащий данную точку.

𝑥 - произвольная точка окрестности точки .

Разность 𝑥- называется приращением независимой переменной (аргумента) в точке .

-приращение аргумента в точке (читается «дельта икс»);

;

На рисунке показано изменение аргумента от значения x до значения    (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).

При переходе от значения аргумента  к   значения функции изменяются соответственно от  до  при условии монотонности функции на отрезке .

Разность   называют приращением функции , соответствующем данному приращению аргумента.На рисунке приращение функции показано синей линией.

Пример 1: Найти приращения   и  в точке  , если , ,

Решение:

1)

2)

3)

4)

Ответ: ,

Пример 2: Найти приращение    функции  в точке , если приращение аргумента равно

Решение:

1) Из равенства выразим

2)

3)

4)

Ответ:  

1.2 Производная

        Пусть задана функцияв окрестности точки . Дадим приращение аргумента . Возникнет приращение функции . Рассмотрим частное  и предел этой дроби при . Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке , а сам предел называется производной этой функции в точке .

        Производная обозначается , , и др.

        Производная для функции может существовать и не существовать. Если производная существует в каждой точке некоторого промежутка, то функция называется дифференцируемой на этом промежутке.

Для нахождения производной используются следующие формулы и правила дифференцирования:

Таблица производных

1. 
2. -любое число
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 

Пример 1:

Найти производные следующих функций:

а)

б)

в)

г)

д)

Задания для самостоятельного решения:

1) Найдите приращение функции  в точке , если

а) , ,

б) , ,

в) , ,

2) Найдите производные следующих функций:

1. 2 + 3𝓍 

2.

3.

4.  

5.  

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.