Конспект занятия по ЕН.01.Математика
методическая разработка

Дисциплина

ЕН.01. Математика

Преподаватель

Степкина Светлана Сергеевна

Группа

21-09, 22-09, 23-09

Учебник

Дискретная математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/М.С. Спирина  изд. «Академия»  

Тема урока

Тема 2.1. Элементы комбинаторики

Тип урока

Комбинированный урок

Форма урока

Урок-практикум.

Цели урока

Цель урока: изучить основные комбинаторные конфигурации, научиться решать комбинаторные задачи.

Оборудование и основные источники информации: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, раздаточный материал.

Задачи урока

Задачи:

Образовательная: познакомить учащихся с  правилами  суммы и произведения, методом перебора для решения комбинаторных задач, формировать навыки их  применения  при решении профессиональных задач;

Развивающая: развивать математическое мышление и логическую речь учащихся; мотивацию  к познанию социокультурной среды;

Воспитательная: формировать навыки самоконтроля, воспитывать  чувство ответственности за качество и результата выполняемой работы, вырабатывать партнерские отношения.

Методы обучения: проблемный, частично – поисковый, объяснительно – иллюстративный, исследовательский.

Технология

Сотрудничества, ИКТ

Формы организации урока

Фронтальная, групповая, индивидуальная

Оборудование

Доска, компьютер, проектор, экран, раздаточные материалы

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Примечание

1.Орг. момент

- Здравствуй Уважаемые студенты, сегодня у нас открытое занятие, открываем тетради, записываем число

Готовят всё необходимое к занятию

2. Активизация познавательной деятельности

- Я приготовила для сегодняшнего дня занятия презентацию, но я не могу воспользоваться  компьютером, так как установлен пароль, а я в нем забыла две последних цифры. Что делать? Подскажите, какая пара цифр может подойти?

Предлагают пары цифр

- Сколько же пар мне нужно набрать, чтобы пароль точно подошёл?

Предлагают варианты

- Как называются наборы чисел, которые мы составляем?

Предлагают варианты

- Сегодня на уроке мы познакомимся с разделом математики, который поможет ответить нам на все эти вопросы. Предположите, как называется этот раздел?

Комбинаторика

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Записывают определение в тетради

Так как при изучении нового материала студенты часто задают вопросы: "А зачем она нужна?", "Может ли она чем-то помочь в реальной жизни и профессии?"

Поэтому для начала предлагаю поиграть в игру "Верите ли вы, что..." (Приложение №1)

Я выслушала ваше мнение и в конце урока мы вернемся к этим вопросам.

Заполняют графу карточки «В начале урока»

3. Актуализация опорных знаний

Для того чтобы перейти к новому материалу нам нужно вспомнить опорные моменты:

1. Дайте определение факториала числа n?
2. Вычислите: 7! =
3. Вычислите:  =

Произведение первых n чисел.

1×2×3×4×5×6×7 = 5040

= 4×5×6×7 = 840

4.Объяснение нового материала

Историческая справка: Первые упоминания  о вопросах близких к комбинаторным, встречаются в китайских рукописях 12-13 вв до н.э. В древней Греции изучали фигуры, которые можно было составить из частей квадрата, разрезанного особым образом.  Позже  появились такие игры как нарды, карты, шашки, шахматы и т.д. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.   Многие ученые проводили исследования по комбинаторике. И только в  1666 г. была опубликована работа Готфрида Вильгельма Лейбница «Об искусстве комбинаторики». С этого момента комбинаторику рассматривают как самостоятельный раздел математики.

Новый материал: Скажите, а вам приходится делать выбор, подсчитывать способы? В каких ситуациях?

Утром выбирая завтрак, одежду, маршрут движения и т.д.

Проведём небольшой эксперимент, вы можете представить себя, когда пришли в буфет. В меню предложено на выбор 3 первых блюда, 4 вторых, 2 салата и 3 напитка. А теперь ответьте на вопрос: сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго, салата и напитка, можно составить?

Записывают условие

Записывают решение: 3×4×2×3 = 72

Для решения этой задачи мы использовали Правило произведения.  Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk  способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

 способами.

Записывают правило

Чтобы выбрать обед, нужно встать в очередь, а в столовой 7 человек, сколькими способами может сформироваться очередь?

Предлагают варианты

Чтобы решить эту задачу мы будем использовать формулу перестановок.

 Определение: Перестановками из n элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Записывают определение и формулу:

Записывают решение:

 = 4032

После обеда к вам в спортивный зал пришли 8 ребят, которые изъявили желание быть капитаном и судьёй на ближайших соревнованиях. Сколькими способами вы можете выбрать капитана и судью?

Предлагают варианты

Чтобы решить данную задачу мы будем использовать формулу размещений.

Определение: Размещениями из m элементов по n в комбинаторике называются такие соединения, которые состоят из n элементов и отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Записывают определение и формулу:

 Записывают решение:

 =  = 7×8= 56

Чтобы принять участие в соревнованиях «Весёлые старты» необходимо сформировать команду из 5 учеников. Сколькими способами это можно сделать, если на участие есть 7 претендентов?

Предлагают варианты

Чтобы решить данную задачу мы будем использовать формулу сочетаний.

Определение: Сочетанием из m элементов по n в каждом называются соединения, которые состоят из n элементов, и которые отличаются по крайней мере одним элементом.

Записывают определение и формулу:

Записывают решение:

 =  =  = 21

Для систематизации полученной информации сделаем следующую схему, которую будем использовать в качестве шпаргалки: (Приложение №2)

Делают схему в тетради

5.Закрепление изученного материала

Для закрепления изученного материала решим следующие задачи:

Записывают решение:

1. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

 = = =

= 25×13 = 325

2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

6×7×4= 168

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

 = 6×7×8×9×10 =

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 14 человек?

5. Сколькими способами может быть занят пьедестал, среди 9 участников соревнований?

6. Подведение итогов занятия

Сегодня на уроке мы изучили:

• Понятие комбинаторики;
• Правило произведения;
• Формулу перестановок;
• Формулу размещений;
• Формулу сочетаний.
• Области применения комбинаторики:

• учебные заведения (составление расписаний), сфера общественного питания (составление меню)
• лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв), география (раскраска карт)
• спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
• производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)
• агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
• азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
• химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
• экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)
• криптография (разработка методов шифрования)
• доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

7.Рефлексия

Вернемся к игре, которую мы начали в начале урока:

Заполните графу «в конце урока» и сравните свои ответы. Какой вывод мы можем сделать?

8.Домашнее задание

Дома составьте три комбинаторные задачи по тематике физической культуры и спорта.

Верите ли вы, что:

В начале урока

да/нет

В конце урока

да/нет

… вы решаете комбинаторные задачи ежедневно

… вы будете применять комбинаторику в своей профессии

… комбинаторика применяется во всех профессиях