Группа Мг 21, 06.05.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Сложное сопротивление

Сложным называется сопротивление, при котором действующие нагрузки вызывают комбинацию простейших деформаций. При расчетах на сложное сопротивление исходят из принципа независимости действия сил.

В общем случае действующие внешние нагрузки в любом сечении бруса могут создать шесть внутренних силовых факторов: N, Qy, Qz, T, My, Mz. Каждый из шести внутренних силовых факторов в любой точке сечения вызывает шесть соответствующих напряжений: σ(N), σ(Mz), σ(My), τ(T), τ(Qy), τ(Qz).

Следовательно, в общем случае сложного сопротивления в любой точке рассматриваемого сечения могут быть:

а) три нормальных напряжения;

б) три касательных напряжения.

Нормальные напряжения как векторы, направленные перпендикулярно сечению, суммируются алгебраически:

σ∑ = σ(N) + σ(Mz) + σ(Mz).

Касательные напряжения как векторы, действующие в одной плоскости и направленные под углом друг к другу, суммируются геометрически:

τ∑ = τ(T) + τ(Qy) + τ(Qz).

В общем случае в любой точке рассматриваемого сечения напряжения приводятся к двум суммарным напряжениям: σ∑ и τ∑.

Оценка влияния этих разноименных напряжений на прочность может быть учтена только путем применения одной из теорий прочности, которые позволяют приравнивать данное сложное сопротивление к эквивалентному по прочности растяжению – сжатия.

Эквивалентные напряжения определяются:

а) по третьей теории прочности (критерий – наибольшие касательные напряжения):

σэквIII = ≤  [σ];

б) по четвертой теории прочности (критерий – энергия изменения формы):

σэквII = ≤[σ].

9.1. Косой изгиб.

Косой изгиб – изгиб в двух главных плоскостях. При косом изгибе в произвольном поперечном сечении балки возникают четыре внутренних силовых фактора: изгибающие моменты Мz  и My, поперечные силы Qy, Qz. Влияние поперечных сил в данном случае пренебрежимо мало.

Определение нормальных напряжений и деформаций при косом изгибе основано на принципе независимости действия сил.

Всю нагрузку проецируют на две главные плоскости балки и строят эпюры изгибающих моментов в этих двух плоскостях.  Затем по известным формулам прямого изгиба определяют напряжения и деформации.

Результирующие напряжения определяют алгебраическим сложением:

σ(x,y,z) = σ(Mz)+ σ(My) = ± ·y ± ·z,

а результирующие деформации – геометрическим сложением:

δ∑ =δy + δz.

Условие прочности для пластичных материалов составляется по абсолютной величине напряжений:

σmax ≤ [σ]р  и σmin ≤ [σ]сж.

9.2. Изгиб с растяжением - сжатием

Изгиб с растяжением - сжатием называется случай сложного сопротивления материалов, при котором внешняя сила приложена вне центра тяжести сечения, то есть когда в поперечном сечении стержня одновременно действуют продольная сила (растягивающая или сжимающая) и изгибающий момент.

В случае совместного действия изгиба и растяжения - сжатия в произвольном поперечном сечении стержня действуют пять внутренних силовых факторов: продольная сила (N), изгибающие моменты (Мz и Мy), поперечные силы (Qy и Qz). В большинстве случаев влияние поперечных сил пренебрежимо мало.

При одновременном действии на брус растягивающей (сжимающей) силы N и изгибающих моментов Мz и Мy, в сечении возникают нормальные напряжения, которые могут быть определены как алгебраическая сумма напряжений от каждого компонента нагрузки:

σx,y.z = σ(N) + σ(Мz) + σ(Мy) = ±±y ±z.

Для определения положения опасного сечения стержня следует построить эпюры N, Мz и Мy. Опасным будет то сечение, в котором возникают наибольшие нормальные напряжения.

Расчет на прочность проводится аналогично, как при косом изгибе. В проектном расчете при определении размеров поперечного сечения в первом приближении напряжением от продольного усилия σ(N) =  пренебрегают, но проверка на прочность поперечного сечения проводится с учетом этого напряжения. Часто продольная внешняя сила приложена не в центр тяжести поперечного сечения бруса, а с некоторым смещением (эксцентриситетом) относительно главных центральных осей инерции сечения (рис. 39).

Рис.41.

Тогда в любом поперечном сечении бруса возникает продольная сила N=F и изгибающие моменты Мz = FуA, Мz = FzA, где yA, zA – координаты точки приложения силы.

Следовательно, внецентренное растяжение - сжатие приводится к центральному растяжению - сжатию и изгибу в двух плоскостях.

При внецентренном растяжении - сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами.

Ядро сечений – некоторая область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой приложенная продольная растягивающая или сжимающая сила, вызывает во всех точках сечения напряжения только одного знака.

Когда точка приложения силы находится на границе ядра сечения, нейтральная линия касается контура сечения.

9.3 Изгиб с кручением.

При совместном действии изгиба и кручения в поперечных сечениях стержня действуют пять внутренних силовых факторов: изгибающие моменты Мz и My, крутящий момент Т и поперечные силы Qy и  Qz. Детали, работающие на совместное действие кручения и  изгиба,- это валы различных машин. При расчете на прочность, пользуясь принципом независимости действия сил, определяют отдельно касательные напряжения, возникающие в валах при кручении, и отдельно нормальные напряжения, возникающие в балке при изгибе (как и раньше, пренебрегаем касательными напряжениями при изгибе). При совместном действии нормальных и касательных напряжений имеет место плоское напряженное состояние, и для проверки прочности необходимо применить одну из теорий прочности.

Для круглого поперечного сечения (сплошного или кольцевого) эквивалентные напряжения могут быть определены по формуле:

σэкв =

где  - расчетный или эквивалентный момент;

(1-a3) – осевой момент сопротивления сечения.

По третьей теории прочности (критерий – наибольшие касательные напряжения):

МрасчIII = .

По четвертой теории прочности (критерий – энергия изменения формы):

МрасчIV= .

Расчет бруса круглого поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения ведется как бы на прямой изгиб, но в расчетной формуле роль изгибающего момента играет расчетный момент.

Условие прочности:

 max σэкв  ≤ [σ].

Деформации (прогибы и углы закручивания) определяются независимо при расчете на изгиб и кручение. Вышеуказанный расчет вала проводится для статических нагрузок. В большинстве случаев на вал действуют циклические нагрузки, поэтому вал необходимо рассчитывать и на выносливость.