Главные вкладки
Стрекалов Алексей Львович
Сайт преподавателя математики
Профессия: преподаватель
Профессиональные интересы: русские шашки, история математики
Увлечения: русские шашки, спорт
Регион: Ленинградская область
Населенный пункт: Лисино -Корпус
Место работы: Лисинский Лесной Колледж
Навигация
Ссылка на мой мини-сайт:
https://nsportal.ru/strekalov-aleksey-lvovichМатематику уже затем изучать надо, что она ум в порядок приводит.
Здравствуйте дорогие друзья. Я рад приветствовать вас на моей страничке.
О себе
Здравствуйте друзья1 Я работаю преподавателем математики в Лисинском лесном колледже третий год. До этого, четырнадцать лет я работал учителем математики в школах Санкт-Петербурга. Для повышения мотивации и интереса учащихся к изучению предмета я постоянно ввожу на уроках исторические справки, рассказываю в краткой форме истории развития тех или иных математических понятий. Кроме того, в рамках дополнительного образования, я веду кружок "Русские шашки", что по моему глубокому убеждению серьезно развивает у студентов логическое и абстрактное мышление, не говоря уже о других полезных качествах. Приведу пример
Математик, не являющийся
хоть немного поэтом, не может
Быть настоящим математиком.
Карл Вейерштрасс
В настоящее время появилась проблема мотивации учащихся в изучении предметов. Особенно остро она проявляется на уроках естественно-научного цикла.
По глубокому убеждению автора, опираясь на опыт великих педагогов и свой личный опыт преподавания математики этот вопрос можно разрешить, если проводить уроки в более живой, доступной и интересной форме. Можно перечислить различные формы и методы, такие как игровые уроки, исторические, прикладные, уроки с ярко выраженными межпредметными связями и другие.
Настоящая работа посвящена исторической форме работы с учениками на уроках алгебры. По каждой теме предлагается проводить краткую беседу попутно с изучением программного материала. В среднем на каждые 5-6 уроков приходиться одна беседа.
Условный термин «беседа» следует понимать как сообщение некоторого факта из истории математики, который может быть преподнесен ученикам в виде рассказа учителя, рассмотрения и объяснения рисунка, краткого замечания, разбора задачи, сопровождаемого исторической справкой.
Знакомство учеников с фрагментами истории алгебры в связи с изучением основ предмета на уроках имеет вполне определенные цели, а именно:
- сведения из истории повышают интерес школьников к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы.
- Ознакомление с историческими фактами расширяет умственный кругозор учеников и повышает их общую культуру, позволяет лучше понять роль математики в современном обществе.
- Знакомство с историческим развитием математики способствует общим целям воспитания подрастающего поколения.
На первый взгляд кажется трудным найти на уроке время, необходимое для ознакомления с историческим материалом. Однако вопрос о формах использования элементов истории математики на уроках почти
полностью подчинен главному вопросу – связи с изучаемой в школе алгебры с историей. Какая бы не была форма сообщения исторических фактов – краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и разъяснение рисунка, - использованное время (5-15 мин) нельзя считать потерянным напрасно, если учитель сумел преподнести исторический факт в тесной связи с изучаемым на уроке тематическим материалом.
Следует отметить, что объем данной работы не позволяет привести все беседы по всем темам алгебры. Автор ограничился лишь малой частью наиболее ярких и доступных из них.
Необходимо также отметить, что исторический материал вводится автором не только на уроках алгебры, но и математического анализа (вводится история развития таких понятий, как предел, производная, интеграл), и геометрии (рассматриваются не только исторические моменты геометрии Евклида, но и не Евклидовых геометрий)
Краткий обзор исторического
развития алгебры
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Немало свойств, правил действий над величинами, алгебраических приемов знали ученые Древней Греции. Однако они выражали их в геометрической форме. Следы геометрической алгебры встречаются поныне в терминах «квадрат» числа, «куб» числа и т.д. процесс освобождения алгебры от геометрической формы и создание буквенной символики начался еще в Древней Греции (Диофант) и был продолжен в Индии ив средние века в Европе. Однако, лишь после того как Виет ввел буквенное обозначение не только для неизвестных, но и для известных величин, после появление трудов Декарта, Ньютона и других ученых этот длительный исторический процесс был в основном завершен.
Введение в алгебру операций над буквенными символами ознаменовало начало переменных величин. Рассмотрение переменных величин, связей между ними и введение декартовых координат привели к понятию функций.
Понятие переменной величины и функции возникли в XVII в. не случайно, а под влиянием запросов естествознания, требовавшего изучения явлений, связанных с движением. Примерно до середины XIX в. на развитие алгебры влияла в основном проблема решения уравнений.
Под влиянием исследований молодого французского математика Э.Галуа (1811-1832) в дальнейшем развитии особенно в XXв., алгебра все больше определялась как наука об общих алгебраических операциях (действиях). Значение современной алгебры выходит далеко за пределы учения об уравнениях. Алгебра широко применяется в любом разделе математики, в естествознании и технике. Она продолжает бурно развиваться и в настоящее время.
Алгебраические сведения в «Арифметике»
Л.Ф.Магницкого
«Арифметика» Магницкого, изданная в 1703 г., наряду с подробным и систематическим изучением арифметики содержала также сведения из алгебры. По книге Магницкого русский читатель впервые знакомился с действиями над многочленами, с правилами решения уравнений первой и второй степени. Хотя в целом Магницкий не употреблял еще алгебраической символики, он все же был знаком с нововведением Виета, следуя которому обозначал неизвестные величины прописными гласными, а известные согласными буквами. Подобно английскому математику Т.Гарриоту он еще писал вв, ввв… вместо в , в , …
В левом нижнем углу заглавного листа «Арифметики» Магницкого изображена доска со следующей записью:
2R + 1
3R ¸ 2
6g + 3R
¸ 4R ¸ 2
6g ¸ 1R ¸ 2
Это не что иное, как умножение «столбиком» двух многочленов. Буквой R (начальная в латинском слове Radix – корень) обозначено неизвестное (наш X), буквой g – неизвестное в квадрате. Черточка с точками ¸ служила знаком вычитания.
Задание ученикам: Переписать запись Магницкого современными символами и проверить умножение.
Неравенства
В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребляемым лишь в XVIII в. после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи.
Знаки неравенства (>,<) появились впервые в 1631 г. но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности.
В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятия «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Приближенные вычисления также связаны с понятием неравенства.
Некоторые неравенства древности.
- В V книге начал Евклида доказывается:
« если а – наибольшее число в пропорции
а = с
в d
где а, в, с, d – положительные числа, то существует неравенство
а + d > в + с
Докажите!»
2) В основном труде Паппа Александрийского, названном «Математическое собрание» и написанном в III в., доказывается:
«Если а > с
в d , то аd > вс ( а > 0, в > 0, с > 0, d > 0 )
Докажите!»
Символы ³ и £ были введены в 1734 г. французским математиком Пьером Буге. Еще более 2000 лет назад было известно следующее неравенство:
а * в £ а + в
- ,
где а, в ³ 0. Словами оно выражается так: среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел.
Задание ученикам: доказать неравенство.
Как составлял и решал Диофант
Квадратные уравнения
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. таким образом , одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение
(10 + x) * (10 – x) = 96 , или же
100 – x = 96
x - 4 = 0
отсюда x = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение
x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала тока положительные числа.
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
О теореме Виета
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом : «Если В + D, умноженное на А минус А , равно АD, то А равно В и равно D».
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное ( наше x ), гласные же В, D – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:
Если имеет место
(а + в) x – x = ав,
т.е. x - (а +в)x + ав = 0
то x = а , x = в
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.
Системы двух уравнений первой степени
с двумя неизвестными
Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII – XVIII вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и др.
В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет следующий вид
а x + в у = с
а x + в у = с
Решение этой системы выражается формулами
с в - с в , а с - а с
а в - а в а в - а в
Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц, что в большей мере способствовало созданию теории определителей.
Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным геометрическое решение уравнений системы. Так называемый графический метод решения состоит в построении абсциссы x и ординаты у точки пересечения двух соответствующих прямых (рис.)
Книги, которые сформировали мой внутренний мир
История математики, Библия.
Моё портфолио
Рад всех приветствовать на своей страничке.
В настоящее время появилась проблема мотивации учащихся в изучении предметов. Особенно остро она проявляется на уроках естественно-научного цикла.
По глубокому убеждению автора, опираясь на опыт великих педагогов и свой личный опыт преподавания математики этот вопрос можно разрешить, если проводить уроки в более живой, доступной и интересной форме. Можно перечислить различные формы и методы, такие как игровые уроки, исторические, прикладные, уроки с ярко выраженными межпредметными связями и другие.
Настоящая работа посвящена исторической форме работы с учениками на уроках алгебры. По каждой теме предлагается проводить краткую беседу попутно с изучением программного материала. В среднем на каждые 5-6 уроков приходиться одна беседа.
Условный термин «беседа» следует понимать как сообщение некоторого факта из истории математики, который может быть преподнесен ученикам в виде рассказа учителя, рассмотрения и объяснения рисунка, краткого замечания, разбора задачи, сопровождаемого исторической справкой.
Знакомство учеников с фрагментами истории алгебры в связи с изучением основ предмета на уроках имеет вполне определенные цели, а именно:
- сведения из истории повышают интерес школьников к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы.
- Ознакомление с историческими фактами расширяет умственный кругозор учеников и повышает их общую культуру, позволяет лучше понять роль математики в современном обществе.
- Знакомство с историческим развитием математики способствует общим целям воспитания подрастающего поколения.
На первый взгляд кажется трудным найти на уроке время, необходимое для ознакомления с историческим материалом. Однако вопрос о формах использования элементов истории математики на уроках почти
полностью подчинен главному вопросу – связи с изучаемой в школе алгебры с историей. Какая бы не была форма сообщения исторических фактов – краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и разъяснение рисунка, - использованное время (5-15 мин) нельзя считать потерянным напрасно, если учитель сумел преподнести исторический факт в тесной связи с изучаемым на уроке тематическим материалом.
Следует отметить, что объем данной работы не позволяет привести все беседы по всем темам алгебры. Автор ограничился лишь малой частью наиболее ярких и доступных из них.
Необходимо также отметить, что исторический материал вводится автором не только на уроках алгебры, но и математического анализа (вводится история развития таких понятий, как предел, производная, интеграл), и геометрии (рассматриваются не только исторические моменты геометрии Евклида, но и не Евклидовых геометрий)
Краткий обзор исторического
развития алгебры
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Немало свойств, правил действий над величинами, алгебраических приемов знали ученые Древней Греции. Однако они выражали их в геометрической форме. Следы геометрической алгебры встречаются поныне в терминах «квадрат» числа, «куб» числа и т.д. процесс освобождения алгебры от геометрической формы и создание буквенной символики начался еще в Древней Греции (Диофант) и был продолжен в Индии ив средние века в Европе. Однако, лишь после того как Виет ввел буквенное обозначение не только для неизвестных, но и для известных величин, после появление трудов Декарта, Ньютона и других ученых этот длительный исторический процесс был в основном завершен.
Введение в алгебру операций над буквенными символами ознаменовало начало переменных величин. Рассмотрение переменных величин, связей между ними и введение декартовых координат привели к понятию функций.
Понятие переменной величины и функции возникли в XVII в. не случайно, а под влиянием запросов естествознания, требовавшего изучения явлений, связанных с движением. Примерно до середины XIX в. на развитие алгебры влияла в основном проблема решения уравнений.
Под влиянием исследований молодого французского математика Э.Галуа (1811-1832) в дальнейшем развитии особенно в XXв., алгебра все больше определялась как наука об общих алгебраических операциях (действиях). Значение современной алгебры выходит далеко за пределы учения об уравнениях. Алгебра широко применяется в любом разделе математики, в естествознании и технике. Она продолжает бурно развиваться и в настоящее время.
Алгебраические сведения в «Арифметике»
Л.Ф.Магницкого
«Арифметика» Магницкого, изданная в 1703 г., наряду с подробным и систематическим изучением арифметики содержала также сведения из алгебры. По книге Магницкого русский читатель впервые знакомился с действиями над многочленами, с правилами решения уравнений первой и второй степени. Хотя в целом Магницкий не употреблял еще алгебраической символики, он все же был знаком с нововведением Виета, следуя которому обозначал неизвестные величины прописными гласными, а известные согласными буквами. Подобно английскому математику Т.Гарриоту он еще писал вв, ввв… вместо в , в , …
В левом нижнем углу заглавного листа «Арифметики» Магницкого изображена доска со следующей записью:
2R + 1
3R ¸ 2
6g + 3R
¸ 4R ¸ 2
6g ¸ 1R ¸ 2
Это не что иное, как умножение «столбиком» двух многочленов. Буквой R (начальная в латинском слове Radix – корень) обозначено неизвестное (наш X), буквой g – неизвестное в квадрате. Черточка с точками ¸ служила знаком вычитания.
Задание ученикам: Переписать запись Магницкого современными символами и проверить умножение.
Неравенства
В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребляемым лишь в XVIII в. после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи.
Знаки неравенства (>,<) появились впервые в 1631 г. но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности.
В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятия «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Приближенные вычисления также связаны с понятием неравенства.
Некоторые неравенства древности.
- В V книге начал Евклида доказывается:
« если а – наибольшее число в пропорции
а = с
в d
где а, в, с, d – положительные числа, то существует неравенство
а + d > в + с
Докажите!»
2) В основном труде Паппа Александрийского, названном «Математическое собрание» и написанном в III в., доказывается:
«Если а > с
в d , то аd > вс ( а > 0, в > 0, с > 0, d > 0 )
Докажите!»
Символы ³ и £ были введены в 1734 г. французским математиком Пьером Буге. Еще более 2000 лет назад было известно следующее неравенство:
а * в £ а + в
- ,
где а, в ³ 0. Словами оно выражается так: среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел.
Задание ученикам: доказать неравенство.
Как составлял и решал Диофант
Квадратные уравнения
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. таким образом , одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение
(10 + x) * (10 – x) = 96 , или же
100 – x = 96
x - 4 = 0
отсюда x = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение
x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала тока положительные числа.
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
О теореме Виета
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом : «Если В + D, умноженное на А минус А , равно АD, то А равно В и равно D».
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное ( наше x ), гласные же В, D – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:
Если имеет место
(а + в) x – x = ав,
т.е. x - (а +в)x + ав = 0
то x = а , x = в
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.
Системы двух уравнений первой степени
с двумя неизвестными
Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII – XVIII вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и др.
В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет следующий вид
а x + в у = с
а x + в у = с
Решение этой системы выражается формулами
с в - с в , а с - а с
а в - а в а в - а в
Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц, что в большей мере способствовало созданию теории определителей.
Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным геометрическое решение уравнений системы. Так называемый графический метод решения состоит в построении абсциссы x и ординаты у точки пересечения двух соответствующих прямых (рис.)
Добавить творческую работу ученика
Код для вставки списка публикаций на другие сайты