Методическая копилка

Подготовка к ЕГЭ по

математике 2016

Теория для решения

 Задач 2

Одни из самых простых заданий, так как требуется прочитать график и по нему определить какую-нибудь величину. Но ошибки есть:

• выпускники путают  горизонтальную и вертикальную оси;

• находят значение из всей области графика при условии, что величину нужно определить на заданном интервале;

• неправильно  вычисляют  масштаб  –  необходимо  в  каждой  задаче

обращать внимание на цену деления (не всегда 1 деление есть одна единица)

Как таковой теории для решения задач на графики и диаграммы нет. Необходимо умение по графику определить какое-либо значение, указанное в условии.

Графики (диаграммы) могут быть следующих видов:

Гистограмма

График

Круговая

Линейчатая

Разработчиками ЕГЭ могут быть добавлены и другие виды диаграмм, но все они наглядны, оличаются только формой представления.

Подготовка к ЕГЭ по

математике

Теория для решения задач 4

Задачи по теории вероятности на ЕГЭ по математике — это простые задачи. Большинство из них можно решить, зная всего лишь одну формулу. Для решения понадобятся лишь самые основные понятия теории вероятностей. Многие задачи можно решить исходя из простых логических рассуждений. В жизни в разговорах людей вы, наверное, не раз слышали, что событие может случится с вероятностью один к одному (или 50 на 50 имеется в виду проценты), или один к десяти. Также вы слышали «даю стопроцентную гарантию», «это невозможно». Все эти высказывания имеют самое непосредственное отношение к теории вероятности.

Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.

Вы получили подарок, оказавшись тысячным покупателем в бутике — случайное событие. Встретили свою будущую половину в трамвае — случайное событие, хотя как знать, может за вами долго следили ;)

О каждом        из таких        событий        можно        сказать,        что        оно        произойдет

• некоторой вероятностью. Вы интуитивно знакомы с этим понятием. Дадим математическое определение вероятности. Рассмотрим простые примеры:

Монета

Бросаем монетку. Орел или решка? Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием. Орел и решка — два возможных исхода испытания (все варианты событий, которые только могут произойти, монета не может ни зависнуть, ни встать на ребро).

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2. Так же вероятность выпадения решки 1/2.

Игральная кость

• кубика шесть граней, поэтому возможных исходов шесть (кубик упадѐт на одну из шести граней).

Выпадение одного очка это один исход из шести возможных. Выпадение двух очков, это один исход из шести возможных. В теории вероятности такой исход называется благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки так же равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных). Вероятность четверки — тоже 1/6. А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Карты

Возьмѐм колоду из 36 карт. Вероятность того, что вытащите из колоды карт одну, которую загадали, равна один к тридцати шести или 1/36, тридцать шесть это число возможных исходов, которые могут произойти (число всех карт), один это число благоприятных исходов (загаданная карта).

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт туза, равна 4 к 36 или 4/36. Четыре это число благоприятных исходов (в колоде четыре туза), тридцать шесть - число возможных исходов.

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт красную карту (черви или буби) равна 1 к 2 или 1/2. Число благоприятных исходов 18 (красных карт ровно половина), возможных исходов также 36, 18/36=1/2.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы. Понимания этого определения вполне достаточно для решения 80 процентов типов задач по теории вероятности.

Другой пример. В пакете 23 шара одинакового размера, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете один. Вероятность вытащить красный шар равна 8/23, а зеленый — 15/23.

Вероятность достать красный или зеленый шар равна 8/23 + 15/23 = 1. Вероятность равна единице, означает, что событие (вы достанете либо красный либо зелѐный шар) произойдѐт в любом случае.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
КАГАЛЬНИЦКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1

ШКОЛЬНОЕ НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ «ИНТЕЛЛЕКТ»

Ежегодная школьная  научно-практическая конференция

«Научный потенциал  XXI  в.»

Секция  «Физико-математическая»

Исследовательская  работа

Тема:  «Нестандартные методы умножения натуральных чисел».

Автор: Какурин Вадим Николаевич, учащийся 7 г

Научный руководитель:

Хрипченко Ксения Алексеевна, учитель математики

ст. Кагальницкая

2019г.

                                             Содержание

                                                                                                                           стр.

      I.Введение ………………………………………………………... ……3-4

      II. Основная часть

      Глава 1.История появления таблицы умножения …………………..5

      Глава 2.Первая литература по способам счета ……………………..5

      Глава3. Нестандартные методы умножения натуральных чисел

      Глава 3.1Крестьянский способ умножения  …………………………6

      Глава 3.2Китайский (рисовальный) способ ………………………....7

      Глава 3.3 Итальянский способ………………………………………...8

      III Заключение  …………………………………………………………9

      IVСписок используемой литературы……………………………..…10

      V Приложение…………………………………………………………

Введение

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

А можно ли умножать не только так, как предлагают нам в учебниках математики?  Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Я решил провести свои собственные  научно практические  исследования.

Проведя анкетирование в прошлом месяце в 7 г и в 7 а классах, я выявил, что 72% учащихся не знают ни каких методов умножения  кроме таких, как: умножение в столбик, умножение в уме. Поэтому я поставил перед собой проблему: найти и рассмотреть нестандартные способы умножения, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики и научить своих одноклассников ими пользоваться.

Объект исследования: арифметическое действие «умножение».

Предмет исследования: нестандартные способы умножения натуральных чисел. 

 Цель исследования:

Выявить и изучить нестандартные способы умножения, которые не используются на уроках математики, показать их применение при вычислениях числовых выражений;

Практическая значимость исследования заключается в том, что учащиеся,  которые узнают нестандартные методы умножения чисел, смогут выбрать для себя более эффективные и получат возможность применять эти знания на контрольных работах, Основном государственном экзамене, Едином государственном экзамене.   

Я поставил перед собой следующие задачи:

-провести анкетирование;

-изучить литературу по данной теме;

-отобрать самые интересные и простые способы;

-научиться применять найденные способы умножения;

-проверить экспериментальным путём степень сложности каждого способа;

-провести  внеклассное занятие по знакомству с нетрадиционными способами умножения;

Актуальность выбранной темы заключается в том, что освоение данных способов развивает логическое мышление и помогает учащимся затрудняющимся умножать стандартным способом,  умножать, используя только таблицу умножения на число два.

Гипотеза: нижеперечисленные нестандартные способы умножения рассчитаны на ученика среднеобразовательной школы и не требуют высокого уровня подготовки.

II.Основная часть

Глава 1. История появления таблицы умножения

При раскопках здания в городе Нара, древней столице Японии, археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения. Из всех табличек, обнаруженных в Японии, найденная – самая древняя.

Самые старые в мире таблицы умножения были найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены с помощью клинописи на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет. Скорее всего, таблица умножения появилась где-то в тех краях.

Узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы, скорее всего, не удастся. Это пришло в голову сразу нескольким людям. В европейской культуре автором таблицы умножения считается знаменитый греческий математик Пифагор.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел, и все эти приемы соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Глава 2. Первая литература по способам счета

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных рукописных сборниках».

Наши способы умножения не является совершенными, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.
        Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

Глава 3. Нестандартные методы умножения натуральных чисел

Глава 3.1. Русский способ умножения

Способ этот  был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Таблица умножения в этом деле без надобности.            16 х 29

                                                  8      58
                                                             4    116

 2   232

                                               1  464

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечётное число? В этом случае от нечётного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечётных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением.

 Иными словами все строки с чётными левыми числами зачёркиваем; оставляем только с нечётными левыми числами, а затем суммируем
не зачёркнутые числа правого столбца.

                                    21 х 12

                                    10    24

                                      5    48

                                      2    96

                                      1   192                  192 + 48 + 12 = 252    

Глава 3.2. Китайский (рисовальный) способ

Пример: 24 × 13= 312

1)Пишем первое число 24: проводим две параллельных прямых обозначающих цифру 2 числа 24  , отступаем место и проводим еще 4 параллельных линии обозначающее цифру  4 , числа 24.

2) Рисуем второе 13: проводим одну  параллельную прямую обозначающую цифру 1 числа 13  , отступаем место и проводим еще 3 параллельных линии обозначающее цифру  3 , числа 13.

3)Отсекаем левый нижний угол и считаем точки пересечения , отсекаем правый нижний угол и считаем точки пересечения, затем считаем точки пересечения середины

4)В ответ записываем единицы (слева на право) десяток добавляем к следующему числу

Глава 3.3. Итальянский способ умножения

           Итальянский способ умножения был распространен в средние века на Востоке и Италии. Пусть нужно умножить  6827*345=2355315

Надо начертить таблицу, в которой четыре  клетки по длине и три по ширине. Запишем одно число по длине таблицы, другое по ширине таблицы.

Каждую клетку разделим по диагонали .В верхней части клетки пишем десятки, если их нет пишем 0, в нижней части единицы. Полученные цифры сложим по диагонали. Результат умножения записываем слева направо.

Заключение

В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению, не вся эта информация доходит до нас, современных учеников.
При выполнении исследовательской работы нам понадобились не только те знания, которые имеются у нас, но и необходимая работа с дополнительной литературой.
        В ходе работы я познакомился с нетрадиционными способами умножения, такими как «Крестьянский», «Японский (рисовальный)», «Итальянский».
       Ранее признавалось, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна.

         Для того, что бы доказать, что моя гипотеза верна, 14.12.2018 на РМО учителей математики, с помощью своего научного руководителя,  я провел внеклассное занятие по теме своего исследования. ( Приложение 2)
        Своей работой я доказал, что моя гипотеза верна,  вышеперечисленные нестандартные способы умножения рассчитаны на ученика среднеобразовательной школы и не требуют высокого уровня подготовки.

Так же в ходе своей работы  я   научился  подбирать, обрабатывать, обобщать  и систематизировать  материал по заданной проблеме.

Планирую провести исследования по теме: «Умножение, сложение обыкновенных дробей, способами которые не изучают в школьной программе».

Список используемой литературы

1. Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей.  – М.: Аванта , 2003, 693с.
2. Глейзер, Г. И. История математики в школе – М.: Просвещение, 1964,  239с. 3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов─М.:Просвещение,1989, 287с.
4.  Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985,160с.
5. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994, 188с.

Приложение 1

Графические результаты анкетирования учащихся 7г, 7а классов.

Приложение 2.