Справочные материалы

Киселева Наталия Константиновна

Здесь можно найти основные правила и формулы , с которыми мы работаем на уроках. Таблицы разделены на три раздела : математика , алгебра , геометрия.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Действия с обыкновенными  дробями .

             

                       



Предварительный просмотр:

Решение уравнений

56 + х = 200                                 2. у – 25,4 = 100

 х – неизвестное слагаемое           у- неизвестное уменьшаемое  

   х = 200 – 56                                      у = 100 + 25,4  

   х = 144                                              у = 125,4

3. 57,3 – а = 25                                4. 12,5х = 125

а – неизвестное вычитаемое          х – неизвестный множитель  

    а = 57,3 – 25                                     х = 125 : 12,5

    а = 32,3                                             х = 10

5. 19,6 : у = 0,14                              6. а : 58 = 6

у – неизвестный делитель              а – неизвестное делимое

     у = 19,6 : 0,14                                  а = 58  6

     у = 140                                             а = 348  



Предварительный просмотр:

Действия со степенями .

a n a m  = a n + m

                                    a n : a m  = a n – m

                                    ( a n ) m = a nm

                                    ( ab ) n = a n b n 

Умножение одночлена на многочлен .

                       a( b + c ) = ab + ac

                       a( b - c ) = ab - ac

Умножение многочлена на многочлен .

Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена .

          ( a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd 

Формулы сокращённого умножения .

( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

a 2 – b 2 = ( a –b )( a + b )

a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2 )

a 3 - b 3 = ( a - b )( a 2 + ab + b 2 )



Предварительный просмотр:

9 класс .

Арифметическая прогрессия ( аn ).

а1 – первый член прогрессии , аn – n-ый член прогрессии , d – разность арифметической прогрессии , Sn – сумма n первых членов прогрессии .

              d = an+1 – an                                   

              an = a1 + d(n – 1 )                          

Геометрическая прогрессия ( bn ) .

b1 – первый член геометрической прогрессии , bn - n-ый член прогрессии , q – знаменатель геометрической прогрессии , Sn – сумма n первых членов прогрессии , S – сумма бесконечной геометрической прогрессии .

              q =                                          

                   bn = b1 qn-1                                                         

Корень n- ой степени .

             ,   а – подкоренное выражение , n – показатель корня .

Арифметический корень n- ой степени – это неотрицательное значение корня n- ой степени из числа а .

                          , хn = a , где а  0 , х  0 ,nN

CВОЙСТВА

                                                                 

                                                 

                                                 

                                                 

                                                 

                                                 



Предварительный просмотр:

Постройте график функции у = - х2 - 2х + 3

Графиком является парабола .

1. х0 =        х0 =

    у0 = -1 – 2( -1 ) +3 = 4          М ( -1 ; 4 ) – вершина параболы

2. Ветви параболы направлены вниз , т. к. а = -1  0 

3. х = 0        у = - 02 – 0 + 3 = 3            ( 0 ; 3 )

    у = 0             - х2 - 2х + 3 = 0

                         х2 + 2х - 3 =0

                         х = 1 или х = -3

                       ( 1 ; 0 )                ( -3 ; 0 )

4.  х    -2   2      -4

     у    3    -5     -5

5. График

                                            y

                        0                                                   x



Предварительный просмотр:

9 КЛАСС

Решите неравенство :   - х2 - 2х + 3  0 метод схематической параболы

- х2 - 2х + 3  0                                    

f (x) = - х2 - 2х + 3                                                                                                

1.Нули функции : - х2 - 2х + 3 = 0

                        х2 + 2х - 3 =0

х = 1 или х = -3

 2.Ветви направлены вниз, т.к. а = -1                          

   

      -3               1

Ответ :   ( -3 ; 1 )

Решите неравенство :   - ( х – 1 ) ( х + 3 )  0 метод интервалов

 - ( х – 1 ) ( х + 3 )  0                            

f (x) =  - ( х – 1 ) ( х + 3 )                        

Нули функции : - ( х – 1 ) ( х + 3 ) = 0

х – 1=0 или х + 3=0

х = 1 или х = -3

    -             +          -  

         -3               1

Ответ :   ( -3 ; 1 )

Как правильно оформить задачу , решаемую с помощью уравнения .

Скорость течения реки 3 км/ч . По течению от пристани А до пристани В лодка двигалась 5часов , а против течения от пристани В до пристани А – 7 часов .Найти собственную скорость лодки и расстояние между пристанями .

Решение :

1)Пусть собственная скорость лодки х км/ч ,

тогда скорость по течению будет ( х + 3 ) км/ч ,

а скорость против течения ( х – 3 ) км/ч .

По течению лодка прошла 5( х + 3 ) км ,

против течения лодка прошла 7( х - 3 ) км ,

а по условию эти величины равны .

Уравнение :

5( х + 3 ) = 7( х - 3 )

5х + 15 = 7х – 21

5х – 7х = -21 – 15

-2х = -36

х = -36 : ( -2  )

х = 18 , 18 км/ч собственная скорость лодки .

2)5( 18 + 3 ) = 105 ( км ) расстояние между пристанями .

Ответ : 18 км/ч собственная скорость лодки ; 105  км  расстояние между пристанями .



Предварительный просмотр:

10 класс.

Формулы нахождения производных .

C ’ = 0                              (sin x ) ’ = cos x                ( u + v ) ’ = u’ + v’    

( xn ) = nxn-1                      (cos x )’  = - sin x             ( C u )’ = C u’

( kx + b )’ = k                   ( tg x )’ =                ( uv )’ = u’v + uv’

                      ( ctg x )’ =            

Производная сложной функции h(f(x)) :

( h(f(x)) )’ = h’(f(x))  f’(x)

10 класс

Геометрический смысл производной: Угловой коэффициент наклона касательной к графику функции f(x)  в точке х0 равен значению производной в этой точке : k = tg  = f ’(x0 )

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х0 :

y = f(x0) + f ’(x0 )( x – x0 )

Физический смысл производной:

х( t ) – закон изменения координаты  материальной точки.

Скорость движения материальной точки V( t ) :

V( t ) = х’( t )

Ускорение a( t ) : a( t ) = V’( t )



Предварительный просмотр:

Преобразования графиков

Дана функция y = f( x):   y = x2

1) y = f( x) + a . Параллельный перенос вдоль оси Оу на а единиц вверх.

y = x2 + 5

2) y = f( x) – a . Параллельный перенос вдоль оси Оу на а единиц вниз. 

y = x2 - 12

3) y = f( x + a) . Параллельный перенос вдоль оси Ох на а единиц влево.

 y = ( x + 3 )2

4) y = f( x - a) . Параллельный перенос вдоль оси Ох на а единиц вправо . 

y = ( x – 7 )2

5) y = k∙f( x) . Растяжение в k раз вдоль оси Оу .

y = 8 ∙ x2

6) y =  ∙f( x) . Сжатие в k раз вдоль оси Оу . 

y = x2

7) y = f( k ∙ x) . Растяжение в k раз вдоль оси Ох .

y = (3x)2

8) y = f( ∙ x) . Сжатие в k раз вдоль оси Ох . 

y = (x)2



Предварительный просмотр:

Решение уравнений и неравенств .

Тригонометрические

Показательные

Логарифмические

Иррациональные

Уравнения

Основные формулы:

sin x = a

x = (-1)narcsin a + πn

cos x = a

x = ± arccos a + 2πn

tg x = a

x = arctg a + πn

ctg x = a

x = arcctg a + πn

Уравнения

Обе части уравнения приводят к виду степеней с одним и тем же основанием, приравнивают показатели , решают уравнение.

Найденные корни проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Уравнения

Обе части уравнения приводят к виду логарифмов с одним и тем же основанием, приравнивают выражения , стоящие под знаками логарифмов , решают уравнение .

Найденные корни проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Уравнения

Решают возведением обеих частей уравнения во вторую степень, решают полученное уравнение .

Найденные корни проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Нужно помнить:

arcsin ( - a ) = - arcsin a arccos( -a ) = π – arccos a

arctg ( - a ) = - arctg a

arcctg( -a ) = π – arcctg a

Частные случаи :

1) sin x = 1       x = 2πn

   

  sin x = -1    x=2πn

   

   sin x = 0       x = πn

2) cos x = 1     x = 2πn

   

   cos x = -1     x=2πn

   

   cos x = 0      x = πn

Неравенства

Обе части неравенства приводят к виду степеней с одним и тем же основанием. Определяют возрастающей или убывающей является функция , оценив основание d:

1) d>1 →функция возрастает → знак неравенства сохраняется ;

2) 0 < d < 1 → функция убывает →знак неравенства меняется . Решают неравенство для показателей .

Неравенства

Обе части неравенства приводят к виду логарифмов с одним и тем же основанием . Определяют возрастающей или убывающей является функция , оценив основание d:

1) d>1 →функция возрастает → знак неравенства сохраняется ;

2) 0 < d < 1 →функция убывает →знак неравенства меняется . Решают систему неравенств: 1)неравенство для выражений , стоящих под знаком логарифмов;

2) область определения для каждого логарифма , входящего в исходное неравенство (выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля) .

Функции и их графики

y = kx + b

график – прямая

                       y

                                                  x    

y = x2

график – парабола

                      y

                                             

                                                    x    

чётная

y = x3

график – кубическая парабола

                      y

                                                   

                                                    X

нечётная

y =

график – гипербола

                   y

                                                   X

нечётная

y = , n-чётная

                                           

                       y

                                                   x

y = , n-нечётная

                    y

                                              х

y =

                                                                                                             

                       y

                                                    x  

   

чётная

y = ax

                     y

a>1

                      1

                                                 x

                      y

0

                     1                  

                                                   x

y = log a x

            y

a>1

                   

                     1                            x  

                                         

              y  

0

   

                     1                               x          

y = sin x

                   

                      y

                                        x

нечётная

y = cos x

                             y

                                             

                                                                               X

чётная

y = tg x

          y

                                                     x  

нечётная

 

y = ctg x

                 y

                 

                                                 X

нечётная