Методическая копилка

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ

КЯХТИНСКОЕ РАЙОННОЕ  УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

МБОУ  «КЯХТИНСКАЯ СОШ №3»

ПРОГРАММА  

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО АЛГЕБРЕ

«РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ»

Учителя математики высшей категории

Нимаевой Людмилы Бимбаевны

г. Кяхта

Пояснительная записка.

     Большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач, об этом можно судить по статистическим данным анализа результатов проведения ЕГЭ: решаемость задания содержащего текстовую задачу, составляет около 30 %.Вторая причина – это введение ГИА для выпускников 9-х классов. Задания 2-й части содержат задачу, которая оценивается максимумом баллов, за нетрадиционной формулировкой этой задачи учащимся необходимо увидеть типовые задачи, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этим причинам возникла необходимость более глубокого изучения традиционного раздела элементарной математики: решение текстовых задач. Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе, поэтому представленный элективный курс «Решение текстовых задач» рекомендуется вводить c  8-го класса.

Цель данного спецкурса:

Расширение и углубление знаний о способах решения задач и средствах моделирования явлений и процессов.

Развитие логического мышления учащихся, их алгоритмической культуры и математической интуиции.

 Подготовка учащихся к итоговой аттестации, продолжению образования, повышение уровня их математической культуры.

Задачи:

1.Расширение знаний о методах и способах решения математических задач.

2. Формирование умения моделировать реальные ситуации.

3. Формирование креативных умений при решении задач различных типов посредством метода моделирования.

4.Развитие коммуникативных умений.

5. Способствовать профориентации.

    Данный курс имеет общеобразовательный, межпредметный характер, освещает роль и место математики в современном мире. Всего на проведение занятий отводится 34 часа. На изучение методов решения типовых задач выделено 14 часов. Провести их можно в форме обзорных лекций с разбором ключевых задач. Основная деятельность учащихся на этом этапе – предварительная подготовка и самостоятельный поиск материалов, с последующим обсуждением на занятиях. Курс состоит из шести тем. Темы занятий независимы друг от друга и могут изучаться в любом разумном порядке. Первая тема «Текстовые задачи и техника их  решения» является обзорной по данному разделу математики.

     Изучаемый материал примыкает к основному курсу, дополняя его историческими сведениями, сведениями важными в общеобразовательном или прикладном отношении, материалами занимательного характера при минимальном расширении теоретического материала. Сложность задач нарастает постепенно.  Прежде, чем приступить к решению задач, надо рассмотреть решение более простых, входящих как составная часть в решение сложных.

   На практические занятия и отработку умений и навыков отведено 20 часов. В ходе изучения материала данного курса целесообразно сочетать такие формы организации учебной работы, как практикумы по решению задач, лекции, анкетирование, беседа, тестирование, частично-поисковая деятельность. Развитию математического интереса способствуют математические игры (дидактическая, ролевая), викторины, головоломки. Необходимо использовать элементы исследовательской деятельности.

Методические рекомендации по реализации программы

   Основным дидактическим средством для предлагаемого курса являются тексты рассматриваемых типов задач, которые могут быть выбраны из разнообразных сборников, различных вариантов ЕГЭ или составлены самим учителем. Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов. Затем можно приступать к решению более сложных задач. На более высоком уровне целесообразно предложить учащимся комбинированные задачи, условия которых предполагает различные типы задач, их комбинацию. В результате можно предложить учащимся составить самостоятельно задачу, включающую в себя все  четыре типа задач. Для более эффективной работы учащихся целесообразно в качестве дидактических средств использовать плакаты с опорными конспектами в виде примерной модели по каждому из четырех типов задач:

Задачи на движение:

S = v*t, S -  путь,  v – скорость,     t – время

Из текста задач определить одновременные события.

Обозначить скорости движения объектов.

Отсчет времени начинать с момента начала движения первого объекта.

При необходимости изобразить на рисунке все перемещения, отмечая одновременные события. Составить уравнение или систему уравнений по одновременным событиям на время или перемещение.

Замечания.

   В полученной системе уравнений количество неизвестных может оказаться больше, чем количество уравнений. В этом случае нужно обратить внимание на вопрос задачи. Если искомая величина уже обозначена и присутствует в системе, то можно сразу начинать решение системы,  последовательно исключая неизвестные (кроме искомой). НА заключительном этапе лишние неизвестные исчезнут (сократятся или уничтожатся). Если искомой величины в системе нет, то ее нужно обозначить и добавить к системе выражение этой величины, а затем решить полученную систему уравнений.

Задачи на проценты:

- х % процентов от а;

- простые проценты;

- х > 0, если а увеличивается на  х %;

- х < 0, если а уменьшается на х %

- сложные проценты.

Конечный результат последовательного изменения величины а сначала на

х %, затем на у % и еще на z %, где s – средний процент изменения величины  а,  n – число изменений.;

- общий процент изменения величины от а до в.

Замечания:

- основными формулами для составления уравнений являются формулы простых и сложных процентов;

- при необходимости для составления уравнений вводится параметр, если первоначальное значение изменяемой величины не задано.

Задачи на работу.

А – выполненная работа, р – производительность (мощность), t – время работы.

Замечания.

   Нередко в условии задачи говорится о выполнении некоторого задания без указания конкретных единиц, в которых измеряется работа. В этом случае обычно принимают всю работу за единицу: А = 1. Как правило, для составления уравнения или системы уравнений, буквами обозначаются в первую очередь производительности участников работы, а остальные величины вводятся по мере необходимости.

Задачи на концентрацию.

 - СА – концентрация вещества А в смеси, VA – количество вещества А, V -  общее количество смеси;

- процентное содержание вещества А в смеси.

Замечания:

1. Вещество и примесь в смеси для решения задачи – понятия условные, поэтому в качестве вещества можно выбрать компонент смеси.
2. 2. Заполнение схемы обычно начинается с обозначения общих количеств смесей (V1, V2, V) и концентрации данного вещества (С1,С2,С). Затем вычисляется количество вещества в каждой смеси.
3. 3. Основным уравнением является уравнение, составленное по количествам вещества: С1V1+ C2V2 = CV/
4. Другие уравнения могут быть составлены по разности концентраций, количеству вещества и примеси в каждой смеси, общим количеством вещества и т.п.., в зависимости от условий задачи.
5. 5.Вторые клетки схемы, как правило, не заполняются, если в условии задачи не дано явное количество примеси. Вместо этого используется соотношение V1+V2 = V.

    Значимой для формирования и развития умения решать задачи на составление уравнений является деятельность учащихся по самостоятельному выявлению видов задач каждого типа, составлению математической модели, плана решения. Учащиеся разбиваются на группы по 3-4 человека, в зависимости от наполняемости группы в целом. После двухчасовой теоретической части каждая группа работает с одним из четырех типов задач под руководством учителя. Для каждой группы разрабатываются методические инструкции и информационные листы. В течение работы учитель осуществляет разноуровневый контроль усвоения материала в рамках каждого типа задач. При этом, поскольку усвоение материала в разных группах   не зависит от другого типа задач, учащиеся абсолютно безболезненно могут переходить от одного типа к другому в течение всего курса.

Эффективность реализации программы легко определяется на выходе после прохождения всего цикла на разных уровнях, по отдельным типам задач и в целом по курсу. ПО итогам курса учащиеся должны получить отметку «зачтено». Важно правильно организовать работу учащихся с текстом задачи при проведении анализа условия. Для этого каждый учащийся должен быть обеспечен текстом. В этом плане наиболее удобными являются готовые сборники задач.

Безусловно, огромна роль учителя в правильной организации в самостоятельной познавательной деятельности школьников, поскольку доля самостоятельной работы учащихся составляет 75% всего учебного времени данного курса.

 При успешной реализации задач данного курса учащиеся должны знать:

1. Основные способы решения задач.

2. Основные способы моделирования реальных ситуаций при решении задач различных типов.

При успешной реализации задач данного курса учащиеся должны уметь:

1. Работать с текстами задачи, определять ее тип.

2. Составлять план решения задачи.

3. Решать задачи разного уровня (включая творческие задания).

4. Моделировать реальные ситуации, описываемые в задачах.

5. Работать в группе.

Содержание программы.

Текстовые задачи и техника их решения. (1ч)

Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовой задачи. Этапы решения тестовой задачи. Решение текстовых задач арифметическими приемами (по действиям). Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их системы. Значение правильного письменного оформления решения текстовой задачи. Решение текстовой задачи с помощью графика. Чертеж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели.

Задачи на движение. (11ч)

Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движения тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, скорости, ускорения и времени в различных видах движения.  Особенности выбора переменных и методики решения  задач на движение. Составление таблицы данных задачи на движение и ее значение для составления математической модели.

Задачи на смеси, сплавы, растворы. (6ч)

Формула зависимости массы или объема вещества в сплаве, смеси, растворе («часть») от концентрации («доля») и массы или объема сплава, смеси, раствора («всего»). Особенности выбора переменных и методики решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи на сплавы, смеси, растворы и ее  значение для составления математической модели.

Задачи на работу. (6ч)

Формула зависимости объема выполненной работы от производительности времени ее выполнения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи на работу и ее значение для составления математической модели.

Задачи на проценты. (5ч)

Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методики решения задач с экономическим содержанием.

Рациональные методы решения задач.(2ч)

Задачи и оптимальный выбор. Задачи с выборкой целочисленных решений. Особенности методики решения задач на оптимальный выбор и выборкой  целочисленных решений.  Задачи решаемые с конца.

Задачи повышенной трудности. (3ч)

Текстовые задачи из ЕГЭ за курс 11 класс

Учебно-тематический план спецкурса: «Решение текстовых задач»

Программа самостоятельной работы учащихся.

Задачи на движение

Движение из одного пункта в другой в одном направлении

     З а д а ч а. Первый турист, проехав 1,5 ч. на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч., а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?

     Р е ш е н и е.

     1. Из условия задачи ясно, что первый турист вышел в путь на 4 ч. раньше второго. В точке В (рис. 1) он сделал остановку на 1,5 ч. Второй турист догнал первого в точке D. Чтобы проехать

             А I                                            В                                                     D                                            

_______.______1,5ч____________ .______1ч_______.___________

                                    II                                          1, 5                           I;II

Рис. 1

это расстояние AD, первый турист затратил больше времени, чем второй, на 2,5 ч.

 (4 – 1,5 = 2,5 ч.).

     2. Пусть х – расстояние (в км) от точки A до точки D. Тогда t1 =  х/16 ч. – время, за которое

первый турист проезжает расстояние AD; t2 =   х /56 ч. – время, за которое второй турист

проезжает  расстояние AD.

                                                                    t1 – t2 = 2,5 ч.

     Составим и решим уравнение:

 х /16  -   х /56 = 2,5,    х = 56 км.

     О т в е т.  56 км.

     Решить задачи:

1. З а д а ч а.  Старший брат на мотоцикле, а младший на велосипеде совершили двухчасовую безостановочную поездку в лес и обратно. При этом мотоциклист проезжал каждый километр на 4 мин. быстрее, чем велосипедист. Сколько километров проехал каждый из братьев за 2 ч., если известно, что путь, проделанный старшим братом за это время, на 40 км больше?

       2. З а д а ч а.  Турист ехал на автомобиле 5 /8    всего пути, а остальную часть       на      катере. Скорость катера на 20 км/ч. меньше скорости автомобиля. На автомобиле турист ехал на 15 мин. дольше, чем на катере. Чему равны скорость автомобиля и скорость катера, если весь путь туриста равен 160 км?

     О т в е т ы. 1. 20 км., 60 км. 2. Скорость автомобиля 100 км/ч. или 80 км/ч.; скорость катера 80 км/ч. или 60 км/ч.

Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути

    З а д а ч а. Товарный поезд был задержан в пути 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.

  Р е ш е н и е.

  1. Из условия задачи следует, что если бы поезд после остановки в пункте В (рис. 2) продолжал двигаться с прежней скоростью, то затратил бы на 12 мин (12 мин = 1 ч.) больше,  чем предусмотрено  расписанием.                                                                              5                                                                                              

                                           А                                   В                  60 км                     С

                               ______  ____________________________________________________

                                            х км/ч                    12 минут                                   (х+15)км/ч                                                            

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Рис. 2

      2. Пусть х – первоначальная скорость поезда (в км/ч). Тогда t1 = 60/х ,  t2 =  60/(х +15)  ,  t1 – t2 =  1 /5 .  

     3. Составим и решим уравнение:    60  – 60  =  1  .  х1 = 60, х2 = - 75 – не удовлетворяет

                                                                 х    х + 15   5

условию задачи, так как скорость – величина неотрицательная.

     О т в е т. 60 км/ч.

     Решите задачи:

1. З а д а ч а  . Мотоциклист отправился из пункта А в пункт В, отстоящий от А на 120 км. Обратно он выехал с той же скоростью, но через час после выезда должен был остановится на 10 мин. После этой остановки он продолжал путь до А, увеличив скорость на 6 км/ч. Какова была первоначальная скорость мотоциклиста, если известно, что на обратный путь он затратил столько же времени, сколько на пути от А до В?

     2.  З а д а ч а.  Расстояние между станциями А и В равно 103 км. Из А в В вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся путь до В проходил со скоростью поезда, если известно, что оставшийся путь до В был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до задержки.

О т в е т ы. 1. 48 км/ч. 2. 80 км/ч.

Движение из разных пунктов навстречу друг другу

     З а д а ч а. В один и тот же час навстречу друг другу должны были выйти А из поселка М и В из поселка К. Но А задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что А прошел на 12 км меньше, чем В. Отдохнув, они одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате А пришел в К через 8 ч., а В пришел в М через 9 ч. после встречи. Определить расстояние МК и скорости пешеходов.

     Р е ш е н и е.

     1. Пусть υА = х (км/ч), SRD = 8х (км);  υВ = у (км/ч), SMD = 9у (км)   (рис. 3).

Тогда tА =  9у  — время, которое затратит А на пути из М в D; 

                     х

                                           А                                   D                   8ч                         К

                               ______  ____________________________________________________

                                            М          9ч                                                                                                                                                                          

                                                                                                                                        В                                                                                                                                                                

Рис. 3

tВ =  8х  ч — время, которое затратит В  на путь из К  в D (см. рис 3).

         у

     2. Из условия задачи следует, что 8х – 9у = 12. Так как пешеход В вышел раньше, чем А, на 6 ч, то на основании этого составим второе уравнение:   8х  -  9у  = 6.

                                                                                                           у       х

 3. Составим систему уравнений и решим ее:

 8х – 9у = 12,                                      8х – 9у = 12,

 8х  –  9у  = 6;                                    8а –  9  = 6,  где  х  = а.

 у        х                                                      а                   у            

       8х – 9у = 12

       а1 = 1,5

       а2 = –  3  (не удовлетворяет условию, так как  х        0).

                 4                                                                  у

  8х – 9у = 12,               8∙  3 у – 9у = 12,                 у = 4,

                                           2

   х  =  3  ;                       х =  3 у;                               х = 6.

   у      2                                  2

     Расстояние МК = 8 · 6 + 9 · 4 = 84 км.

     О т в е т. 84 км; 6км/ч; 4 км/ч.

     Решите задачи:

     1. З а д а ч а. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг  другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 ч после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин раньше, чем пешеход в В. Найти скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что оба все время двигались с неизменными скоростями.

     2. З а д а ч а. Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?

     О т в е т. 1.  4 км/ч и 16 км/ч.  2.  Через 10 с.

Основные компоненты движения заданы в общем виде

(задачи с параметрами)

     З а д а ч а.  Поезд был задержан на t ч. Увеличив скорость на а км/ч, машинист на перегоне в s км ликвидировал опоздание. Определить, какую скорость должен был иметь поезд на этом перегоне, если бы не было задержки.

     Р е ш е н и е.

     1. Полагая, что скорость поезда по расписанию х км/, имеем:

 s  -    s    = t,            откуда  х = - at ± √а2t2 + 4 sаt .

 х    х + а                                                  2t

     2. Теперь следует выяснить, оба ли корня уравнения удовлетворяют условию задачи:

х1 =  - аt - √а2t2 + 4аts  < 0,  так как  а > 0,  t > 0,  s > 0.

                   2t

х2 =  -аt + √а2t2 + 4аts  > 0,  так как  √а2t2 + 4аst > аt.

                   2t

     О т в е т.    √а2t2 + 4аts – tа км/ч.  

                          2t

     Решите задачи:  

1. З а д а ч а. Расстояние между поселками А и В равно b км. Из А отправились в В одновременно и по одной и той же дороге два автотуриста, которые должны были прибыть в В в одно и то же время. В действительности первый турист прибыл в В на k  часов раньше срока, а второй на  3k часов опоздал, так как последний проезжал за каждый час в среднем на  a км меньше первого. Определить среднюю часовую скорость каждого автотуриста.

2.  З а д а ч а. Дорога между поселками А и В сначала имеет подъем, а потом спуск. Велосипедист, двигаясь на спуске со скоростью на  a км/ч больше, чем на подъеме, затрачивает на путь от А до В ровно k часов, а на обратный путь от В до А половину этого времени. Найти скорость велосипедиста на подъеме и на спуске, если расстояние между поселками  b км.

О т в е т ы.  1. – ka + √ka (ka + b)  км/ч;       ka + √ka (ka + b) км/ч.

                                   2k                                            2k

2.  4b ± 3ak + √16b2 + 9a2k2 км/ч,    4b > 3ak.

                    6k

Движение по водному пути

З а д а ч а. В 9 ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В; 2ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19 ч 20 мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в котором часу баржа прибыла в пункт В. Расстояние между А и В равно 60 км.

Р е ш е н и е

  1. Обозначим собственную скорость баржи через х км/ч. Тогда время, затраченное на движение по течению реки, составляет  _60  часов, а против реки _60  часов.

                                                                     х+3                                       х-3

   2. Всего было затрачено времени (в ч) 19⅓   – 9 – 2 = 8⅓

На основании этого составим уравнение и решим его:

                                                    _60   + _60   = 8⅓    

                                                     х+3       х-3                          

х1= 15, х2 = - 0,6 (не удовлетворяет условию).

     3. Время, затраченное на движение против течения реки,

   60     =   60   = 5 ч. Следовательно, баржа прибыла в пункт В в 14 ч. 

15 - 3       12

     Решите задачи:

     1.  З а д а ч а. Два приятеля в одной лодке прокатились по реке вдоль берега и вернулись по той же речной трассе через 5 ч с момента отплытия. Весь рейс составил 10 км. По их подсчетам получилось, что на каждые 2 км против течения в среднем требовалось им столько же времени, сколько требовалось на каждые 3 км по течению. Найти скорость течения и время проезда туда и обратно.

     2.  З а д а ч а. Сначала катер шел а км по течению реки, а затем вдвое большее расстояние по озеру в которое река впадала. Весь рейс продолжался 1 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки с км/ч.

                  О т в е т ы.  1.   5    км/ч;   2 ч и 3 ч.    2.  3а – с + √ 9а2 + 2ас + с2  км/ч. 

                                12                                                         2      

Определение скорости при встречном прямолинейном движении тел

     З а д а ч а . Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил          секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3 с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 м.

     Р е ш е н и е.

     1. Пусть скорость встречного поезда х м/с. Скорость поезда, в котором ехал пассажир,

40 км/ч = 40000  = 100 м/с.

                  3600         9

     2. Встречный поезд за 3 с прошел 3 х м, а поезд с пассажиром – 3 · 100 = 33⅓м.

                                                                                                                                                                                9           

     3. Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно, 33⅓ + 3х = 75,

х = 13  8/9 м/с = 125 ∙ 3600 = 50 (км/ч)

Задача.

Автомобиль из пункта А в пункт В едет со скоростью 90км\ч, обратно со скоростью 60 км\ч. Найти среднюю скорость автомобиля.

 Решение.

V(ср) = S+S/ t +t

V(ср) = += (км.ч)

Задача.

Катер проплывает от пункта А до пункта В за 7 часов. А от пункта В до пункта А за 14 часов. За сколько времени проплывет плот от А до В?

Решение.

 2

( время обратная величина)

2. Задачи на совместную работу

                                       Некоторые указания к задачам на совместную работу:

     1. основными компонентами этого типа задач являются:

     а) работа; б) время;  в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).

     2. План решения задачи обычно сводится к следующему:

     а) Принимаем всю работу, которую, необходимо выполнить, за 1 ч.

     б) Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. 1,  

                                                                                                                                        t

где t – время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

     в) Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно, за то время, которое он работал.

     г) Составляем уравнение, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих (если, разумеется, в условии сказано, что при совместной работе всех рабочих выполнен весь объем работы).

     3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается выполненная работа. Основанием для составления уравнения может служить также указанное в условии соотношение  затраченного времени или производительности труда.

     Рассмотрим решение некоторых задач.

Вычисление неизвестного времени работы

  З а д а ча . Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги одна вторая бригада, производительность труда которой более высокая, чем первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила  2   всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован  

                                                          3

участок дороги каждой бригадой отдельно?

    Р е ш е н и е.

1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй – за у дней.                    

  2. Принимая всю работу за 1, имеем:

 1 — производительность первой бригады,

 х

 1 — производительность второй  бригады,

 у

 1 · 18 – часть работы, которую могла выполнить первая бригада за 18 дней,

 х

1 · 18 – часть работы, которую могла выполнить вторая бригада за 18 дней.

у

        3. Составление уравнения.

        Так как обе бригады, работая совместно, могли выполнить всю работу за 18 дней, то на основании этого имеем

 1 ∙18 + 1 · 18 = 1

 х           у

  4. Далее из условия задачи следует, что первая бригада выполнила 2 всей работы,

                                                                                                                      3

следовательно, она затратила на это 2 х дней, а вторая бригада выполнила 1 всей работы,

                                                              3                                                                3

следовательно, она затратила на это 1 у дней.

                                                              3

6. Так как всего было затрачено 40 дней, то можно составить второе уравнение:

 (2/3)х + (1/3)у = 40.

6. Составим систему уравнений и решим ее:

1 · 18 + 1 · 18 = 1

 х           у

(2/3 )х + (1/3 )у = 40.

 Имеем х1 = 24, х2 = 45; у1 = 72, у2 = 30.

     7. Так как производительность второй бригады была выше, чем первой, то условию задачи удовлетворяют х = 45 и у = 30.

     П р о в е р к а.

     Пусть известно, что первая бригада может выполнить всю работу за 45 дней, а вторая бригада – за 30 дней, тогда первая бригада за 1 день выполнит  1/45 часть всей работы, а

вторая бригада   1/30 всей работы, и, следовательно, вместе за 1 день они выполнят  1/45 + 1/30 = 1/18   всей работы.                                                                                                                                

  Значит, им понадобится на выполнение всей работы 18 дней, что соответствует условию задачи. Рассуждая аналогично, получим, что первая бригада выполнит  2 /3  всей работы за ( 2/3) · 45 = 30 дней, а вторая бригада выполнит  1/3 всей работы за

(1/3)∙ 30 = 10 дней, т.е. всего будет затрачено 30 + 10 = 40 дней, что соответствует условию.

 О т в е т. 45 дней, 30 дней.

     Решите  задачи:

     1. З а д а ч а. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем брига учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч., выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только  3  всего задания. Сколько времени требуется

                                                                     5            

бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?

     2. З а д а ч а. Два рабочих, из которых второй начал работать полутора днями позже первого, работая независимо один от другого, оклеили обоями несколько комнат за 7 дней, считая с момента выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому для ее выполнения понадобилось бы тремя днями больше, чем второму. За сколько дней каждый из них отдельно выполнил бы эту же работу?

        О т в е т ы.  1. 45 ч.  2.  За 14 и 11 дней.

Путь, пройденный движущимися телами,

рассматривается как совместная работа

     З а д а ч а. Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу друг другу. Они встретятся на половине пути, если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В. Если же оба поезда выйдут одновременно, то через 2 ч расстояние между ними составит  1  

                                                                                                                                                 4        

расстояние между пунктами А и В. За какие промежутки времени каждый поезд проходит весь путь?

     Р е ш е н и е.

     1. На первый взгляд эта задача кажется типичной задачей на движение. Однако следует обратить внимание на то, что в ней нет никаких данных о пройденном пути. Поэтому будем рассматривать эту задачу как задачу на совместную работу, где всю работу (пройденный путь) примем за 1.

     2. Полагая, что первый поезд пройдет весь путь за х часов, а второй – за у часов, и учитывая, что первый вышел на 2 ч раньше, составим уравнение  1 ∙ х -  1 ∙ у = 2.

                                                                                                                2          2

     3. Скорость каждого поезда будет соответственно  1/х  и  1/у,  следовательно,  (1 /х) ∙ 2 + ( 1 /у)∙ 2 =  3/4 .                                                                                          

     4. Составим систему уравнений и решим ее:

                                                                      1 х –  1 у = 2 ,

                                                                      2        2

                                                                  (1 /х)∙ 2 + (1 /у)∙ 2 =  3/4 .                                                                                          

     Получим  х = 8,  у = 4.                                    О т в е т.  8 ч,  4 ч.

Задачи на проценты

         Задачи этого раздела входят как составная часть в решение других типовых задач, заменяя проценты соответствующим количеством сотовых долей числа, легко свести данную задачу на проценты к задаче на части.

Задачи, решаемые арифметическим способом

       З а д а ч а. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

     Р е ш е н и е.

     Эту задачу проще решить чисто арифметически, не составляя уравнения.

     1. Пусть первоначальная цена товара х рублей, что соответствует 100%.

     2. Тогда после первого снижения цена товара будет х – 0,2х = 0,8х (р.).

     3. После второго снижения

0,8х – 0,15 · 0,8х = 0,68х (р.).

     4. После третьего снижения

0,68х – 0,68х ∙ 0,1 = 0,612х (р.).

     5. Всего цена товара снизилась на

х – 0,612х = 0,388х (р.).

х - 100%,

0,388х - у%;

у% = 0,388х · 100% = 38,8%

                                                                        х

     О т в е т. На 38,8%.

     Решите задачу:

     З а д а ч а. В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

     О т в е т.  На 7,1%.

Задачи, в которых известно, сколько процентов одно число

составляет от другого

      З а д а ч а.  Первое из неизвестных чисел составляет 140% второго, а отношение первого к третьему равно  14 . Найти эти числа, если равность между третьим и вторым на 40

                                              11

единиц меньше числа, составляющего 12,5% суммы первого и второго чисел.

    Р е ш е н и е.

    1. Пусть второе число – х. Тогда первое число – 1,4х, третье число -  11 ∙ 1,4х = 1,1х.

                                                                                                              14

    2. Из условия задачи следует уравнение

1,1х – х = 0,125 (1,4х + х) – 40.

    3. Решая уравнение, получим х = 200.

1,4х = 280, 1,1х = 220.

     О т в е т. 280, 200, 220.

     Решите задачи:

     1. З а д а ч а . Найти сумму трех чисел, зная, что третье относится к первому как 4,5 :  15  и составляет 40% второго, а сумма первого и второго равна 400.

                 4

      2. З а д а ч а. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%     воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов?

      О т в е т ы. 1. 520.  2. 2,5 кг.

Задачи, в которых известно, на сколько процентов одно число

больше (или меньше) другого

     З а д а ч а. За  килограмм одного продукта и  10 кг другого заплачено 2 р. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено 1 р. 82 к. Сколько стоит килограмм  каждого продукта?

     Р е ш е н и е.

     1. Пусть стоимость 1 кг первого продукта х рублей.

     2. Стоимость 1 кг второго продукта у рублей.

     3. Стоимость 1 кг первого продукта после подорожания

х + 0,15х = 1,15х.

     4. Стоимость 1 кг второго продукта после снижения

у – 0,25у = 0,75у.

     5. Из условия задачи следует:

   х + 10у = 2                                                            

1,15х + 0,75 · 10у = 1,82.

     6. Решая систему уравнений, получим х = 0,8,  у = 0,12.

     О т в е т. 80 к., 12 к.

   Решите задачи:

     1. З а д а ч а. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того как первый рабочий повысил производительность труда на 15%, а второй – на 25%, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда?

     2. З а д а ч а. На полях, выделенных агролаборатории для опытов, с двух земельных  участков собрали 14,7 ц зерна. На следующий год после применения новых методов агротехники урожай повысился на 80%. а  на втором – на 24%, благодаря чему с этих же участков было собрано 21,42 ц зерна. Сколько центнеров зерна собирают с каждого участка после применения новых методов агротехники?

    О т в е т ы. 1. 460 и 40.  2. 10,26 ц и 11,16 ц.

Задачи на смеси (сплавы)

     Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Очень важно разобраться в самом тексте задачи. Необходимо научиться расчленять такую задачу на ряд простейших.

Задачи, в которых отношение компонентов смеси задано в процентах

     З а д а ч а. Смешались 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

     Ре ш е н и е.

     1. Пусть 30%-ного раствора взято х граммов, а 10%-ного раствора взято у граммов.

     2. Тогда из условия ясно, что х + у = 600. Так как первый раствор 30%-ный, то в х граммах этого раствора содержится 0,3х граммов кислоты.

     3. Аналогично в у граммах 10%-ного раствора содержится 0,1у граммов кислоты.

     4. В полученной смеси по условию задачи содержится

600 x 0,15 = 90 г кислоты,

откуда следует

0,3х + 0,1у = 90.

     Составим систему и решим ее:

х + у = 600,

0,3х + 0,1у =90;

х + у = 600,

3х+ у = 900.

х = 150, у = 600 – 150 = 450.

     О т в е т. 150 г, 450 г.

     Решите задачи:

     1. З а д а ч а. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получивший сплав содержал 40% меди?    

2. З а д а ч а. Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Затем оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Определить процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.

     3. З а д а ч а. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

     4. З а д а ч а. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

     О т в е т ы.  1. 1,5 кг.  2.  20% и 60%.  3. 13,5 кг.  4.  40 т и 100 т.

Арифметический способ.

 Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Рассмотрим три способа решения этой задачи.

Первый способ.

Представим, что раствор отстоялся.

объем получившегося раствора

объем чистого вещества в первом растворе.

концентрация получившегося раствора.

Второй способ. По формуле.

где  концентрация первого и второго растворов соответственно.

объемы первого и второго растворов соответственно

Третий способ.

Объем раствора увеличился в 2,4 раза (было 5 л., стало 12 л. 12:5 = 2,4),

содержание вещества не изменилось, поэтому процентная концентрация получившегося раствора уменьшилась в 2,4 раза.12:2,4=5(%)

Ответ: 5 %.

Задача 2. Сколько литров воды нужно добавить в 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, чтобы получить 20 процентный раствор кислоты?

Объем чистой кислоты в растворе не меняется, процентное содержание кислоты в растворе уменьшится в 3 раза (60:20=3)

Объем раствора увеличится в 3раза:2·3=6(л)

6 – 2 = 4 (л) воды нужно добавить.

Ответ: 4 л.

Задача 3. Смешали 4 литра 15 процентного водного раствора

 с 6 литрами 25 процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Первый способ. По формуле.

где  концентрация первого и второго растворов соответственно.

объемы первого и второго растворов соответственно.

Второй способ.

объем получившегося раствора.

объем чистого вещества в четырех литрах раствора.

объем чистого вещества в шести литрах раствора.

объем  чистого вещества в получившемся растворе.

 концентрация получившегося раствора.

Ответ: 21%

Задача 4. Влажность сухой цементной смеси на складе

составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг.

Условно разделим цементную смесь на воду и сухое вещество.

воды в цементе на складе.

сухого вещества в цементе на складе.

сухого вещества в  цементе в 328 килограммах.

масса привезенной смеси.

Ответ: 410 кг.

Решение задач с помощью уравнения.

 Задача 5. Сколько надо взять 5 процентного и 25 процентного раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 процентного  раствора кислоты?

0,1· 4=0,4(л) – кислоты в новом растворе.

Пусть х л надо взять первого раствора. Тогда второго – (4 – х) л, а количество получившегося раствора 2х.  

0,05х л – кислоты в первом растворе.

0,25· (4 – х) л – кислоты во втором растворе.

0,05х + 0,25· (4 – х) = 0.05х + 1 – 0,25х = (1 – 0,2х) л.

Получим уравнение

 3 л надо взять первого раствора.

4 – 3 = 1 л – второго.                              

Ответ: 1 л, 3 л.

Задача 6. В сосуд емкостью 6л налито 4л 70% раствора серной

кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3л 90% раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился 74% раствор серной кислоты? Найдите все допустимые значения процентного содержания раствора серной кислоты в 6л раствора в первом сосуде.

Пусть х литров раствора кислоты нужно перелить из второго сосуда в первый. Тогда в нем станет (4 + х) литров 74 процентного раствора.

 кислоты в первом сосуде.

(0,9х) литров – кислоты нужно перелить.

(2,8 + 0,9х) литров – кислоты в новом растворе.

Учитывая, что новый раствор 74% и его объем (4 + х) литров, то кислоты в нем (0,74·(4 + х )) литров.

Получим уравнение:

Найдем допустимые значения процентного содержания.

Так как в первый сосуд налит 70 процентный раствор серной кислоты, а будем доливать 90 процентный раствор, то процентное содержание раствора будет увеличиваться.

Из второго сосуда в первый можно перелить максимальное количество раствора кислоты – 2 литра.

кислоты в двух литрах.

кислоты будет в первом сосуде.

Тогда процентное содержание раствора серной кислоты в шести литрах раствора в первом сосуде может быть

Ответ: 1;

Задача 7. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Условно разделим сплав на медь и еще какой-то металл.

Пусть х кг масса первого сплава. Тогда масса второго сплава (х + 3) кг, а масса третьего сплава (х + (х + 3)) = (2х + 3) кг.

Масса меди в первом сплаве (0,1х) кг, во втором – (0,4·(х + 3)) кг, а в третьем – (0,3· (2х +3)) кг.

Получим уравнение:

3 кг масса первого сплава.

2 · 3 + 3 = 9 (кг) – масса третьего сплава.

Ответ: 9 кг.

Задача 8. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11?

Условно разделим сплав на золото и серебро.

Пусть х кг- масса куска, взятого от первого сплава. Тогда масса куска, взятого от второго сплава (8 – х) кг.

Масса золота в первом куске  

Масса золота во втором куске  

Масса золота в новом сплаве

Получим уравнение

1 кг нужно взять от первого сплава.

8 – 1 = 7 (кг) – от второго сплава.

Ответ: 1кг; 7 кг.

В этой задаче можно было бы составить и другие уравнения

*

*               *

Решение задач с помощью систем уравнений

 Задача 9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Условно разделим сплав на никель и еще какой-то металл.

Пусть х кг масса первого сплава, у кг – второго.

Так как масса третьего сплава 200 кг, то получим уравнение

Масса никеля в первом сплаве (0,1х) кг,  во втором – (0,3у) кг, а в новом - 200·0,25=50 кг. Получим второе уравнение 

Получим систему уравнений:

50 кг – масса первого сплава.

150 кг – масса второго сплава.

150 – 50 = 100 (кг)

Ответ: на 100 кг.

 Задача 10. При смешивании 30 процентного раствора серной кислоты с10 процентным раствором серной кислоты получилось 400 г 15 процентного раствора. Сколько граммов 30 процентного раствора было взято?

Пусть х г масса 30 процентного раствора серной кислоты, а у г – 10 процентного. Получим уравнение х + у = 400.

кислоты в новом растворе.

кислоты в первом растворе.

 кислоты во втором растворе.

Получим второе уравнение

Получим систему уравнений:

100 г 30 процентного раствора было взято.

Ответ:100 г.

Задача 11. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360г серебра и 40г олова, а второй слиток – 450г серебра и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.

Первый слиток имеет вес 400 г, второй – 600 г.

серебра в первом слитке (соответственно и в первом куске).

серебра во втором слитке (соответственно и во втором куске).

Пусть х г масса куска, взятого от первого слитка, а у г – от второго.

0,9х (г) – серебра в первом куске;

0,75у (г) – серебра во втором куске;

200 · 0,81 = 162 (г) – серебра в новом сплаве.

Получим систему уравнений:

120 г нужно взять от второго слитка.

Ответ: 120 г.

Задача 14. Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй -  60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80 процентного раствора, то получился бы 70 процентный раствор. Сколько литров 60 процентного раствора кислоты было первоначально?

Пусть х л было 40 процентного, а у л – 60 процентного. Тогда нового, 20 процентного раствора – (х + у + 5) л.

0,4х (л) – кислоты в первом растворе;

0,6у (л) – кислоты во втором растворе;

0,2·(х + у + 5) (л) – кислоты в новом растворе.

Получим уравнение

 кислоты в 80 процентном растворе;

 кислоты в новом, 70 процентном растворе.

Получим второе уравнение

Получим систему уравнений:

2 л 60 процентного раствора было первоначально.   Ответ: 2 л.

Задачи на разбавление

     З а д а ч и. Из банка, наполненного спиртом, отлили часть спирта и долили до прежнего объема водой, затем из банка отлили столько же литров смеси, сколько в первый раз отлили спирта, после чего в баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько литров спирта отлили из бака в первый и во второй раз, если в баке содержалось 64 л?

      Р е ш е н и е.

     1. Будем полагать, что х литров спирта отлили в первый раз. Тогда (64 – х) литров спирта осталось в баке.

     2. После того как бак долили водой, в нем стало 64 л смеси. Следовательно, в 1 л  смеси содержалось  64 – х   литров спирта.

                       64

3. Так как во второй раз отлили х литров смеси, то спирта отлили во второй

        (64 – х) / 64

        литров.

     4. Из условия следует, что из бака всего отлили 64 – 49 = 15 л спирта.

     5. Составим уравнение и решим его:

х + (64 – х) х = 15.

            64                                                                

Откуда

х1 = 8, х2 = 120  (не удовлетворяет условию).

     Во второй раз отлили

(64 – 8) · 8 = 7.

     64                                                                      

     О т в е т ы.  8 л, 7 л.

     Решите задачи:

     1.  З а д а ч а. Сосуд объемом 8 л наполнен воздухом, содержащим 16% кислорода. Из сосуда откачали х литров воздуха и добавили такое же количество азота. Затем откачали х литров смеси и опять добавили такое же количество азота. В итоге в сосуде оказалось лишь 9% кислорода. Определить х.

     2. З а д а ч а. в сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25%-ный раствор кислоты?

     3. З а д а ч а. Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24 л чистой кислоты. Емкость сосуда 54 л. Сколько кислоты вылили в первый и второй раз?  

   О т в е т ы.  1. 2 л.  2. 6 л.  3. 18 л и 12 л.

Группа А

Движение: путь, скорость, время

1. От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч, а через полчаса после нее в том же направлении вышел пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки?
2. Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько шел пешком, то эти расстояния были бы равны. Сколько времени он шел пешком и сколько времени плыл по реке?
3. Экспресс проходит путь от  Москвы до Санкт-Петербурга на 3ч 30 мин быстрее пассажирского поезда, так как за 1ч он проходит на 35 км больше. Сколько километров в час проходит каждый из них, если расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом принять с округлением равным 650 км?
4. Группа студентов во время каникул совершила поход по Подмосковью. Первые 30 км они прошли пешком, 20% оставшейся части маршрута проплыли на плоту по реке, а затем опять шли пешком, пройдя расстояние в 1,5 раза больше того, которое проплыли по реке. Остальной путь проехали за 1ч 30 мин на попутном грузовике, который шел со скоростью 40 км/ч. какова длина всего маршрута?
5. Искусственный водоем имеет форму прямоугольника с разностью сторон 1 км. Два рыбака, находящиеся в одной вершине этого прямоугольника, одновременно отправились в пункт, расположенный в противоположной вершине. При этом один рыбак поплыл на лодке напрямик по диагонали, а второй пошел пешком вдоль берега. Определить размеры водоема, если каждый рыбак передвигался со скоростью 4 км/ч и один из них прибыл к месту назначения на 30 мин раньше другого.
6. Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает времени на 2ч больше, чем мотоциклист. Вычислить скорость каждого из них.
7. Расстояние от А до В по железной дороге равно 88 км, а по реке оно составляет 108 км. Поезд из А выходит на 1ч позже теплохода и прибывает в В на 15 мин раньше. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что она на 40 км больше средней скорости теплохода.
8. По одной из трамвайных линий начали курсировать трамваи новой конструкции. Рейс протяженностью 20 км продолжается теперь на 12 мин меньше, так как средняя скорость трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше средней скорости трамвая устаревшей конструкции. Сколько времени затрачивает на рейс трамвай новой конструкции и какова его средняя скорость?
9. Два автобуса одновременно выехали с фабрики и направились в зону отдыха, к озеру. Расстояние между фабрикой и озером 48 км. Первый автобус прибыл к озеру на 10 мин раньше второго, причем средняя скорость второго меньше средней скорости первого на 4 км/ч. Вычислить скорости автобусов.
10. Из порта одновременно вышли два теплохода, причем один из них пошел на юг, а другой на восток. Через 2 ч расстояние между ними составило 174 км. Найти среднюю скорость каждого теплохода, если известно, что один из них в среднем за каждый час проходил на 3 км больше, чем второй.

Работа

1. Однотипные детали обрабатываются на двух станках. Производительность первого станка на 40% больше производительности второго. Сколько деталей было обрабо-тано за смену на каждом станке, если первый работал в эту смену 6 ч, а второй – 8 ч, причем оба станка вместе обработали 820 деталей?
2. Одна мельница может смолоть 19 ц пшеницы за 3ч, другая 32 ц за 5ч, а третья 10 ц за 2ч. Как распределить 133 т пшеницы между этими мельницами, чтобы, одновременно начав работу, они окончили ее также одновременно?
3. На одной из двух станков обрабатывают партию деталей на 3 дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы обработка этой партии деталей каждым станком в отдельности, если известно, что при совместной работе на этих станках в три раза больше партия деталей была обработана за 20 дней?
4. Двое рабочих выполняют совместно некоторое задание за 8ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить его на 12ч скорее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая порознь, может выполнить задание?
5. Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?
6. При испытании двух двигателей было установлено, что первый израсходовал 3—г, а второй 192 г бензина, причем второй работал на 2ч меньше, чем первый. Первый двигатель затрачивает в час на 6 г бензина больше, чем второй. Какое количество бензина в час расходует каждый из двигателей?
7. Одна бригада может убрать все поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы нужно 75% этого времени. После того как в течении 5 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней работали бригады вместе?
8. За 3,5 ч работы один штамповочный пресс может изготовить 42% всех заказных деталей. Второй пресс за 9 ч работы может изготовить 60% всех деталей, а скорости выполнения работы на третьем и на втором прессах относятся как 6 : 5. За какое время будет выполнен весь заказ, если все три пресса будут работать одновременно?
9. Чан наполняется двумя кранами А и В. Наполнение чана только через кран А длится на 22 мин дольше, чем через кран В. Если же открыть оба крана, то чан наполнится за 1 ч. За какой промежуток времени каждый кран отдельно может наполнить чан?
10. В одном бассейне имеется 200 м3 воды, а в другом – 112 м3. Открывают краны, через которые наполняются бассейны. Через сколько часов количество воды в бассейнах будет одинаковым, если во второй бассейн вливается в час на 22 м3 больше воды, чем в первый?

Смеси, сплавы

1. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?
2. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
3. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
4. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержавшегося в сплаве, то получился бы новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра?
5. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось еще в руде?
6. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
7. Некоторое вещество впитывает влагу, увеличивая при этом свою массу. Чтобы впитать 1400 кг влаги, требуется взять нераздробленного вещества на 300 кг больше, чем раздробленного. Сколько процентов от массы вещества составляет масса впитанной влаги в случае раздробленного вещества и в случае нераздробленного, если во втором случае это число процентов на 105 меньше, чем в первом?

Группа В

Отношения, проценты

1. Одна из трех бочек наполнена водой, а остальные пустые. Если вторую бочку наполнить водой из первой бочки, то в первой останется ¼ бывшей в ней воды. Если затем наполнить третью бочку из второй, то во второй останется 2/9 количества содержавшейся в ней для ее наполнения потребуется еще 50 ведер. Определить вместимость каждой бочки.
2. По трем сосудам распределено 24 л жидкости. Сначала из первого сосуда перелили в два другие столько, сколько было в каждом из них. Затем из второй перелили в два другие столько, сколько стало в каждом из них после первого переливания. Наконец, из третьего перелили в остальные столько, сколько стало в каждом из них после второго переливания. В результате в каждом сосуде оказалось одинаковое количество жидкости. Сколько жидкости было в каждом сосуде первоначально?
3. Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объем вещества В составляет 1/5 суммы объемов веществ А и С. Найти отношение объема вещества С к сумме объемов веществ А и В.
4. Инженер в первую неделю отпуска израсходовал несколько меньше, чем 3/5 количества взятых с собой денег; во вторую неделю ¼ остатка и еще 3000 руб.; в третью неделю 2/5 нового остатка и еще 1200 руб.; после чего осталось 6/35 от количества взятых денег. Известно также, что количество денег, оставшихся неизрасходованными к концу первой, второй и третьей недели, убывало в арифметической прогрессии. Сколько денег было израсходовано за три недели отпуска?
5. Найти четыре числа, образующих пропорцию, если известно, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11, а сумма квадратов таких четырех чисел равна 221.
6. Было намечено разделить премию поровну между наиболее отличившимися сотрудниками предприятия. Однако выяснилось, что сотрудников, достойных премии, на три человека больше, чем предполагалось. В таком случае каждому пришлось бы получить на 40 000 руб. меньше. Профсоюз и администрация нашли возможность увеличить общую сумму премии на 900 000 руб., в результате чего каждый премированный получил 250 000 руб. Сколько человек получили премию?
7. Известно, что разность переменных величин z и у пропорциональна величине х, а равность величин х и z пропорциональна величине у. Коэффициент пропорциональности один и тот же и равен целому положительному числу k. Некоторое значение величины z в 5/3 раза больше разности соответствующих значений х и у. Найти числовое значение коэффициента k.
8. Трое рабочих участвовали в конкурсе. Первый и третий из них произвели продукцию в 2 раза больше, чем второй, а второй и третий – в 3 раза больше, чем первый. Какое место занял каждый рабочий в конкурсе? В каком отношении находятся количества выработанной ими продукции?
9. Два зубчатых колеса находятся в сцеплении. Колесо А имеет 12 зубьев, а колесо В – 54. Сколько оборотов сделает каждое колесо до того, как оба они вернутся в исходное положение?
10. Мяч катится перпендикулярно боковой линии футбольного поля. Предположим, что, двигаясь равномерно замедленно, мяч прокатился в первую секунду 4 м, а в следующую секунду на 0,75 м меньше. Футболист, находящийся первоначально в 10 м от мяча, побежал в направлении движения мяча, чтобы догнать его. Двигаясь равномерно ускоренно, футболист пробежал в первую секунду 3,5 м, а в следующую секунду на 0,5 м больше. За какое время футболист догонит мяч и успеет ли он сделать это до выхода мяча за боковую линию, если к линии поля футболисту надо пробежать 23 м?

Движение: путь, скорость, время

1. Путь от А до В пассажирский поезд проходит на 3 ч 12 мин быстрее товарного. За то время, что товарный поезд проходит путь от А до В, пассажирский проходит на 288 км больше. Если скорость каждого увеличить на 10 км/ч, то пассажирский пройдет от А до В на 2 ч 24 мин быстрее товарного. Определить расстояние от А до В.
2. Два спортсмена начинают бег одновременно – первый из А в В, второй из В в А. Они бегут с неодинаковыми, но постоянными скоростями и встречаются на расстоянии 300 м от А. Пробежав дорожку АВ до конца, каждый из них тотчас поворачивает назад и встречает другого на расстоянии 400 м от В. Найти длину АВ.
3. Два мотоциклиста отправляются одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В,  расстояние между которыми равно 600 км. В то время как первый проходит 250 км, второй проходит 200 км. Найти скорости движения мотоциклистов, считая их движения равномерными, если первый мотоциклист приходит в В на 3 ч раньше, чем второй в А.
4. Из пунктов А и С в пункт В выехали одновременно два всадника и, несмотря на то, что С отстоял от В на 20 км дальше, чем А от В, прибыли в В одновременно. Найти расстояние от С до В, если всадник, выехавший из С, проезжал каждый километр на 1 мин 15 с скорее, чем всадник, выехавший из А, который приехал в В через 5 ч.
5. Один турист вышел в 6 ч, а второй – навстречу ему в 7 ч. Они встретились в 8 ч и, не останавливаясь, продолжили путь. Сколько времени затратил каждый из них на весь путь, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 28 мин позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый? Считается, что каждый шел без остановок с постоянной скоростью.
6. Учебный самолет летел со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось пролететь на 385 км меньше, чем он пролетел, самолет увеличил скорость до 330 км/ч. Средняя скорость на всем пути оказалась равной 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет?
7. Дорога от почты А до поселка В идет сначала в гору на протяжении 2 км, потом по ровному месту 4 км и затем под гору 3 км. Почтальон проходит от А до В за 2 ч 16 мин, а обратно – за 2 ч 24 мин. Если бы конечный пункт его пути был расположен по той же дороге, но вдвое ближе к А, то на весь путь туда и обратно почтальону было бы достаточно 2 ч 19 мин. Сколько километров в час проходит почтальон, когда он идет: а) в гору; б) по ровному месту; в) под гору?
8. Турист возвращался из отпуска на велосипеде. На первом участке пути, составляющем 246 км, он проезжал в среднем за каждый день на 15 км меньше, чем проезжал за каждый день на последнем участке пути, составляющем 276 км. Он прибыл домой точно в срок – к концу последнего дня отпуска. Известно также, что на преодоление первого участка пути ему потребовалось на один день больше половины числа дней, оставшихся после этого до конца отпуска. За сколько дней до конца отпуска отправился турист домой?
9. Пункт С расположен в 12 км от пункта В вниз по течению. Рыбак отправился на лодке в пункт С из пункта А, расположенного выше пункта В. Через 4 ч он прибыл в С, а на обратный путь затратил 6 ч. В другой раз рыбак воспользовался моторной лодкой, увеличив тем самым  собственную скорость передвижения относительно воды втрое, и дошел от А до В за 45 мин. Требуется определить скорость течения, считая ее постоянной.
10. Навстречу движущемуся трамваю шла девушка – знакомая юноши, сидевшего у окна трамвая. Через 8 с после того, как она поравнялась с окном, юноша вышел из трамвая и пошел следом за ней. Сколько прошло времени с этого момента до того, как он догнал девушку? Скорость юноши в 2 раза больше скорости девушки и в 5 раз меньше скорости трамвая.

Работа

1. Обычно к выполнению некоторого задания привлекаются одновременно два механизма. Производительность этих механизмов ни одинакова и при совместном действии задание выполняется ими за 30 ч. Однажды совместная работа двух механизмов продолжалась только 6 ч, после чего первый механизм был остановлен и всю остальную часть задания выполнил второй механизм за 40 ч. За какое время такое же задание может выполнить каждый механизм, работая отдельно с присущей ему производительностью?
2. Некоторый заказ выполняют в мастерской № 1 на 3,6 ч дольше, чем в мастерской № 2, и на 10 ч дольше, чем в мастерской № 3. Если при тех же условиях работы мастерские № 1 и № 2 объединятся для выполнения заказа, то срок его выполнения окажется таким же, как в одной мастерской № 3. На сколько часов больше или меньше одного семичасового рабочего дня длится выполнение указанного заказа в мастерской № 3?
3. Рукопись в 80 страниц отдана двум машинисткам. Если первая машинистка начнет перепечатывать рукопись через 3 ч после второй, то каждая из них перепечатает по половине рукописи. Если же обе машинистки начнут работать одновременно, то через 5 ч останутся неперепечатанными 15 страниц За какое время может перепечатать рукопись каждая машинистка в отдельности?
4. Если выполнение заказа по набору нескольких книг возложить на одного из трех наборщиков, то первый справится с работой на 10 ч быстрее, а третий – на 6 ч быстрее, чем второй. Если же одну из заказанных книг будет набирать первый наборщик, а другую книгу одновременно будет набирать второй, то за 9 ч они наберут столько страниц, сколько за 10 ч наберут второй и третий, работая вместе при тех же условиях. Сколько времени потребуется каждому наборщику для  набора всех заказанных книг при раздельной работе?
5. Два «механических крота» разной мощности при одновременной работе с разных концов тоннеля могли бы прорыть его за 5 дней. В действительности же оба «крота» были применены последовательно с одной стороны тоннеля, причем первый прорыл 1/3, а второй – остальные  2/3 его длины. На выполнение всей работы ушло при этом 10 дней. За сколько дней каждый «крот», работая самостоятельно, мог бы прорыть тоннель?
6. При разгрузки баржи сначала 2 ч действовали четыре подъемных крана одинаковой мощности. Затем добавочно ввели в действие еще два крана меньшей, на одинаковой мощности. После этого для окончания разгрузки потребовалось еще 3 ч. Если бы все эти краны начали работать одновременно, то разгрузка была бы произведена за 4,5 ч. Если бы один кран большей и один кран меньшей мощности работали совместно, то за какое время они разгрузили бы баржу?
7. Два экскаваторщика должны выполнить некоторое задание. После того как первый проработал 15 ч, начинает работать второй и заканчивает это задание за 10 ч. Если он при раздельной работе первый выполнил 1/6, а второй – 1/4 всего задания, то для его окончания потребовалось бы еще 7 ч их совместной работы. За сколько часов может выполнить задание каждый экскаваторщик в отдельности?
8. Два одинаковых бассейна одновременно начали наполняться водой. В первый бассейн поступает в час на 30 м3 больше воды, чем во второй. В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объем каждого из них. После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а еще через 3 ч 20 мин – второй. Сколько воды поступало в час в каждый бассейн?
9. Для гидродинамических исследований изготовлена небольшая модель канала. К этой модели подведено несколько труб одинакового сечения, вводящих воду, и несколько труб другого, но тоже одинакового сечения, предназначенных для удаления воды. Если сразу открыть четыре вводящие и три выводящие трубы, то через 5 ч в модели прибавится 1000 м3 воды. Если одновременно открыть на 2 ч две вводящие и две выводящие трубы, то увеличение объема воды составит 180 м3. Сколько воды пропускает за час одна вводящая и на сколько пропускает одна выводящая труба?
10. Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала было открыта только первая труба в течение ¼ времени, которое необходимо второй трубе, чтобы наполнить бассейн, действуя отдельно. Затем действовала вторая труба также в течении ¼ времени, которое необходимо первой, чтобы одной наполнить бассейн, после чего оказалось, что остается наполнить 11/24 полной вместимости бассейна. Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности?

Смеси, сплавы

1. Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержания меди во втором сплаве. Затем оба эти сплава сплавили вместе, после чего  содержание меди составило 36%. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.
2. Сплавили два сорта чугуна с разным процентным содержанием хрома. Если одного сорта взять в 5 раз больше другого, то процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит процентное содержание хрома в меньшей из сплавляемых частей. Если же взять одинаковое количество обоих сортов, то сплав будет содержать 8% хрома. Определить процентное содержание хрома в каждом сорте чугуна.
3. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько олова содержится в полученном новом сплаве?
4. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1: 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2 : 3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?
5. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля?
6. Некоторый сплав содержит металлы А и В в отношении m : n, другой – те же металлы в отношении p : q. Какие количества первого и второго сплавов нужно взять, чтобы получить 1 кг третьего сплава с равным содержанием металлов А и В?
7. Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота, причем на долю кислорода приходится 16% вместимости сосуда. Из этого сосуда выпускают некоторое количество смеси и выпускают такое же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять добавляют столько же азота. В новой смеси кислорода оказалось 9%. Какое количество смеси каждый раз выпускалось из сосуда?
8. Примеси составляют 20% от общего объема раствора. Каково наименьшее число фильтров, через которые нужно пропустить раствор, чтобы окончательное содержание примесей не превышало 0,01%, если каждый фильтр поглощает 80% примесей? (Известно, что               lg 2 ≈ 0,30.)
9. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит около 70% воды, а полученный  из него мед содержит только 17% воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда?
10. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количества этих металлов находятся в отношении 1 : 2, в другом – 2 : 3. Сколько граммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 19 г сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 7 : 12?

Литература.

1. В.Н.Студенецкая, З.С. Гребнева. Готовимся к ЕГЭ. Учебное пособие. Часть 1, 2. – Волгоград «Учитель»,2003г.
2. М.А.Иванов. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. Учебное пособие. –М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2002г.
3. Ю.В.Садовничий. Математика. Конкурсные задачи по алгебре  решениями. Часть 6. Решение текстовых задач. Учебное пособие – 3-е изд., стер.- М.: Издательский отдел УНЦДО, 2003г (серия «В помощь абитуриенту»)
4. М.В.Лурье, Б.И.Александров. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство.- М.Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1990г.
5. Г.В Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. Пособие по математике для поступающих в вузы (избранные вопросы элементарной математики). – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1996г.
6. Б.Ф. Бутузов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. Математика. Учебник для экономистов 10 – 11 классов.- М.: Сантакс – Пресс, 1996г.
7. Г.Н. Тимофеев. Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. – Йошкар – Ола: Маар.гос. ун – т,2001г.
8. Н.И. Попов, А.Н. Марасанов. Задачи на составление уравнений. Учебное пособие, Йошкар -  Ола: МАР. Гос. Ун-т, 2003г.
9. А.Тоом. Как я учу решать текстовые задачи. – Еженедельная учебно – методическая газета «Математика», №46, 47, 2004г.
10. М.И . Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во втузы ( с решениями). М.: ОАО «Оригинал»,1997г.
11. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение, 1990г.
12. В. Булынин. Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно – методическая газета «Математика», №14, 2005г.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КЯХТИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №3»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по учебному курсу      «математика» 5 «а» класс (базовый уровень)

Разработана  учителем  математики

                                                                                                Нимаевой Людмилой Бимбаевной

Кяхта

2018 год

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА

Взаимосвязь результатов освоения предмета «Математика» можно системно представить в виде схемы. При этом обозначение ЛР указывает, что продвижение учащихся к новым образовательным результатам происходит в соответствии с  линиями  развития  средствами предмета.

Личностными результатами изучения предмета «Математика» являются следующие качества:

• независимость мышления;
• воля и настойчивость в достижении цели;
• представление о математической науке как сфере человеческой деятельности;
• креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математической задачи;
• умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

Метапредметными результатами изучения курса «Математика» является формирование универсальных учебных действий (УУД).

Регулятивные УУД:

•  самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности, выбирать тему проекта;
• выдвигать версии решения проблемы, осознавать (и интерпретировать в случае необходимости)конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных, а также искать их самостоятельно;
• составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта);
•  работая по плану, сверять свои действия с целью и, при необходимости, исправлять ошибки самостоятельно (в том числе и корректировать план);
•  в диалоге с учителем совершенствовать самостоятельно выработанные критерии оценки.

Познавательные УУД:

• анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;
• осуществлять сравнение, классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических операций;
• строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей;
• создавать математические модели;
•  составлять тезисы, различные виды планов (простых, сложных и т.п.). Преобразовывать информацию из одного вида в другой (таблицу в текст, диаграмму и пр.);
• вычитывать все уровни текстовой информации.
• уметь определять возможные источники необходимых сведений, производить поиск информации, анализировать и оценивать её достоверность.
• понимая позицию другого человека, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты; гипотезы. Для этого самостоятельно использовать различные виды чтения (изучающее, просмотровое, ознакомительное, поисковое), приёмы слушания.
• Уметь использовать компьютерные и коммуникационные технологии как инструмент для достижения своих целей.

Коммуникативные УУД:

• самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);
• отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;
• в дискуссии уметь  выдвинуть контраргументы;
• учиться критично относиться к своему мнению, с достоинством признавать ошибочность своего мнения (если оно таково) и корректировать его;
• понимая позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты; гипотезы,  аксиомы, теории;
• уметь взглянуть на ситуацию с иной позиции и договариваться с людьми иных позиций.

Предметные  результаты обучения математике в 5 классе

Арифметика

По окончании изучения курса учащийся научится:

• понимать особенности десятичной системы счисления;
• использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел;
• выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации;
• сравнивать и упорядочивать рациональные числа;
• выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы вычислений, применять калькулятор;
• использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, в ходе решения математических задач и задач из смежных предметов, выполнять несложные практические расчёты;

Учащийся получит возможность:

• углубить и развить представления о натуральных числах и свойствах делимости;
• научиться использовать приемы, рационализирующие вычисления, приобрести навык контролировать вычисления, выбирая подходящий для ситуации способ.

Числовые и буквенные выражения. Уравнения

По окончании изучения курса учащийся научится:

• выполнять операции с числовыми выражениями;
• решать линейные уравнения, решать текстовые задачи алгебраическим методом.

Учащийся получит возможность:

• развить представления о буквенных выражениях;
• овладеть специальными приёмами решения уравнений, применять аппарат уравнений для решения как текстовых, так и практических задач.

Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин

По окончании изучения курса учащийся научится:

• распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические фигуры и их элементы;
• строить углы, определять их градусную меру;
•  распознавать и изображать развёртки куба, прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды;
• вычислять   объём   прямоугольного   параллелепипеда и куба.

Учащийся получит возможность:

• научиться вычислять объём пространственных геометрических фигур, составленных из прямоугольных параллелепипедов;
• углубить и развить представления о пространственных геометрических фигурах;
• научиться применять понятие развёртки для выполнения практических расчётов.

Элементы статистики,

вероятности. Комбинаторные задачи

По окончании изучения курса учащийся научится:

• решать комбинаторные задачи на нахождение количества объектов или комбинаций.

Учащийся получит возможность:

• научиться некоторым специальным приёмам решения комбинаторных задач.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА

Содержание математического образования в 5 классе представлено в виде следующих содержательных разделов: «Арифметика», «Числовые и буквенные выражения. Уравнения», «Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин», «Элементы статистики, вероятности. Комбинаторные задачи», «Математика в историческом развитии».

Содержание раздела «Арифметика» служит базой для дальнейшего изучения учащимися математики и смежных дисциплин, способствует развитию вычислительной культуры и логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни. Развитие понятия о числе связано с изучением рациональных чисел: натуральных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

Содержание раздела «Числовые и буквенные выражения. Уравнения» формирует знания о математическом языке. Существенная роль при этом отводится овладению формальным аппаратом буквенного исчисления. Изучение материала способствует формированию у учащихся математического аппарата решения задач с помощью уравнений.

Содержание раздела «Геометрические фигуры. Измерения геометрических величин» формирует у учащихся понятия геометрических фигур на плоскости и в пространстве, закладывает основы формирования геометрической «речи», развивает пространственное воображение и логическое мышление.

Содержание раздела «Элементы статистики, вероятности. Комбинаторные задачи» — обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим  прежде всего для формирования у учащихся функциональной грамотности, умения воспринимать информацию, производить простейшие вероятностные расчёты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

Раздел «Математика в историческом развитии» предназначен для формирования представлений о математике как части человеческой культуры, для общего развития школьников, для создания культурно-исторической среды обучения.

Арифметика

Натуральные числа

• Ряд натуральных чисел. Десятичная запись натуральных чисел.
• Координатный луч. Шкала.
• Сравнение натуральных чисел. Сложение и вычитание натуральных чисел. Свойства сложения.
• Умножение и деление натуральных чисел.  Свойства умножения. Деление с остатком. Степень числа с натуральным показателем.
• Решение текстовых задач арифметическими способами.

Дроби

• Обыкновенные дроби .Правильные и неправильные дроби. Смешанные  числа.        
• Сравнение обыкновенных дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями.
• Десятичные дроби. Сравнение и округление десятичных  дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Прикидки результатов вычислений
• Проценты. Нахождение процентов от числа. Нахождение числа по его процентам.

• Решение текстовых задач арифметическими способами.

Величины. Зависимости между величинами

• Единицы длины, площади, объёма, массы, времени, скорости.
• Примеры зависимостей между величинами. Представление зависимостей в виде формул. Вычисления по формулам.

Числовые и буквенные  выражения. Уравнения

• Числовые выражения. Значение числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях. Буквенные выражения. Формулы.
• Уравнения. Решение текстовых задач с помощью уравнений.

Элементы статистики, вероятности. Комбинаторные задачи

• Среднее арифметическое. Среднее значение величины.
• . Решение комбинаторных задач.

Геометрические фигуры.

Измерения геометрических величин

• Отрезок. Построение отрезка. Длина отрезка, ломаной. Измерение длины отрезка, построение отрезка заданной  длины. Периметр многоугольника. Плоскость. Прямая. Луч.
• Угол. Виды углов. Градусная мера угла. Измерение и построение углов с помощью транспортира.
• Прямоугольник.   Квадрат.   Треугольник.   Виды  треугольников
• Равенство фигур. Площадь прямоугольника и квадрата. Ось симметрии фигуры.
• Наглядные представления о пространственных фигурах: прямоугольный параллелепипед,  куб,  пирамида. Объём прямоугольного параллелепипеда и куба.

Математика в  историческом развитии

Римская система счисления. Позиционные системы счисления. Обозначение цифр в Древней Руси. Старинные меры длины. Введение метра как единицы длины. Метрическая система мер в России, в Европе. История формирования математических символов. Дроби в Вавилоне, Египте, Риме, на Руси. Открытие десятичных дробей. Мир простых чисел. Золотое сечение. Число нуль.  Л.Ф. Магницкий. П.Л. Чебышев. А.Н. Колмогоров.

        Реализация национально-регионального компонента.

        При составлении тематического планирования ввожу  НРК на основе краеведческого материала, что способствует привитию интереса к своей Республики, как части России, развитию способностей учащихся понимать и оценивать природные и социальные явления и процессы. Провожу математические диктанты, когда используются числовые данные из сведений о республике, городе, селе. Например: Математический диктант по теме «Запись натуральных чисел»: запишите цифрами числа, встречающиеся в тексте: Население республики  Бурятии -978.625 человек. Численность населения г. Кяхты на 1 января 2015 года составило 20200 человек. Расстояние между Кяхтой и Улан-Удэ 235 км. Протяженность границы с Монголией составляет около 1214 км. Площадь территории Кяхтинского района  4684 кв.км.  С этими числами можно выполнять различные задания: записать в порядке возрастания, убывания, назвать соседей числа, умножить на 10, 100  и т.д. применять эти данные при прохождении темы приближенные значения и округление и других тем.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА