Методическая копилка

Предмет

Математика

Курс

1 

Тема урока

Возрастание и убывание функции.Экстремумы

Тип урока

Изучение и закрепление нового материала

Вид урока

Комбинированный

Форма обучения

Классно-урочная

Форма деятельности

Фронтальная и индивидуальная.

Цель урока

Формирование умений и навыков применения производной к исследованию функций; дать понятие монотонности промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции.

Задачи урока

1. Образовательные: организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции; способствовать овладению умениями и навыками по нахождению промежутков возрастания и убывания функции с помощью производной.                      

2. Развивающие: развитие у учащихся умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;развитие внимания,мышления,самостоятельности,позновательного интереса.

3. Воспитательные: формирование у студентов ответственного отношения к  учению; воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Оборудование

Мультимедийный проектор

Методическое оснащение

План-конспект, презентация,учебник.

Основные термины, понятия

Промежутки монотонности,экстремумы функции,производная,геометрический и физический смыслы производной

Продолжительность урока

90 минут

Планируемый результат

Предметные умения:

• знать признаки возрастания и убывания функций,определение экстремумов функций; алгоритмы применения производной к исследованию функций (исследование функции на монотонность, исследование функции на экстремумы, исследование функции на наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, составление уравнения касательной)
• уметь применять правила вычислений производных,признаки возрастания и убывания функций к исследованию функций.

 Личностные УУД:

    – независимость и критичность мышления;

    – воля и настойчивость в достижении цели.

Регулятивные УУД:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность;

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель;

умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

проговаривать последовательность действий на уроке;

работать по коллективно составленному плану;

оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

высказывать своё предположение.

Познавательные УУД:

      – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

     - искать и выделять необходимую информацию;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

- умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя

Коммуникативные УУД:

      – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

     - искать и выделять необходимую информацию;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

Этапы урока

Дидактические задачи

Организационный

(этап мотивации)(2 мин)

1. Создать эмоциональный настрой
2. Мотивация студентов на учебу

Актуализация  знаний , умений(10 мин)

1.  Контроль и актуализация опорных знаний по предыдущей теме

Постановка учебной проблемы

(15 мин)

1. Самостоятельное формулирование проблемы. На основе актуализации ранее полученных знаний подвести студентов к формулировке темы урока.

Формулирование проблемы, планирование деятельности (15 мин)

1. Подведение студентов к формулированию целей учебно-познавательной деятельности

Открытие новых знаний (15 мин)

1. Изучение построенного проекта;
2. Реализация построенного проекта индивидуально при выполнении задания.

Первичная проверка понимания материала

(10 мин)

1.  Создать условия для применения  теоретических знаний при решении задач.

Закрепление полученных  знаний

20. мин)

1. Создать условия для применения  теоретических знаний при решении задач.
2. Самостоятельное выполнение заданий учащимися с помощью построенного проекта;
3. Групповое выполнение более сложных заданий учащимися с помощью построенного проекта.

Рефлексия учебной деятельности

(3 мин)

1. Самостоятельная формулировка полученных умений;
2. Самостоятельная оценка достижения поставленной на уроке цели;
3. Самостоятельная оценка своей работы на уроке.

Задание на дом (1 мин)

Формируемые умения

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Организационный этап

Метапредметные (УУД):

регулятивные:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность, умение настраиваться на занятие

коммуникативные:

- уметь слушать и вступать в диалог.

Приветствие.

Мотивация на изучение новой темы.

Приветствуют преподавателя, проверяют свою готовность к уроку (наличие тетрадей, ручек)

Актуализация  знаний , умений

Предметные:

 знать определение возрастающей  и убывающей функции,производной,понятия приращения функции иаргумента,физический и геометрический смыслы производной;

 уметь применять полученные знания к решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Проверка усвоения изученного материала.

-Мы уже несколько пар говорим про производные функций.Давйте вспомним,

1. Что называется функцией?
2. Что называется областью определения функции?
3. Какая функция называется возрастающей на промежутке?
4. Какая функция называется убывающей на промежутке
5. Что называется приращением аргумента?
6. Что называется приращением функции?
7. Что называется производной функции?
8. В чем соостоит физический смысл производной?

Замечательно.

1.Зависимость одной переменной от другой   y=f(x),где f(x)-значение функции(зависимая переменная),х-аргумент(независимая переменная).

2. Множество всех значений по оси ОХ.

3.Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) 2)

4.Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) >f(x2).(слайд 2)

5.Разность значений аргумента в точке х.(слайд 2)

6.Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению ∆х называется разность f(x0 + ∆х) – f(x0).

7.Производной функции в данной точке

 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

8.производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0 x'(t). = ν(t) (слайд 4)

Постановка учебной проблемы.Формулирование проблемы, планирование деятельности

Предметные:

 знать определение возрастающей  и убывающей функции,производной,понятия приращения функции иаргумента,физический и геометрический смыслы производной;

 уметь применять полученные знания к решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

Регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Производная функции y = f(x) в точке x0 – это скорость изменения функции f (х) в точке x0 x'(t). = ν(t)

Из курса физики вспомним ,что такое скорость   и ускорение и по каким формулам  их находим.

Рассмотрим на примере графиков движения .

У нас есть два  вида равнопеременного движения-равноускоренное и равнозамедленное

Равноускоренное движение представляет ....

Равнозамедленное движение представляет..

И,так как производная функции это скорость изменения функции,то по определению...

Быстрота изменения положения тела в пространстве с течением времени ;V=,  где S зависимая переменная переменная, t-независимая переменная.

Ускорение –быстрота изменения скорости  

(слайд 5)

..возрастающую функцию(скорость растет)  

...убывающую функцию(скорость падает)

 = при t t0    vv0    v’(t)  при равноускоренном движении

 = при t t0    vv0    v’(t)  при равнозамедленном движении

Открытие новых знаний

Предметные:

Знать  

 достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

Одной из основных задач,возникающих при исследовании функции,является нахождение промежутков возрастания и убывания-промежутков монотонности функции.Такой анализ легко выполнить с помощью производной.Заполните,пожалуйста ,таблицу.(слайд 6)

Сформулируем признаки возрастания и убывания функции:

Итак,для исследования функции на монотонность мы воспользуемя алгоритмом...

При  исследовании функции

1)f(x) =2x3 -монотонно возрастает на всей числовой прямой

2) f(x) = х3-3х    она возрастает на одном интервале,убывает на другом интервале.Построим график функции.

 Рассмотрим окрестность точки х=-1......

Рассмотрим окрестность точки х=1....

Сформулируем определение.

Функция f(x) =2x3  не имеет экстремумов. Производная равна 0 в точке 0.Точки ,в которых производная функции равна 0,называются стационарными.

Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции.

 Приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума

(слайд 14)

1. Если  f/(x) >0 в каждой точке интервала,то функция f(x) возрастает на этом интервале.
2. Если  f/(x) <0 в каждой точке интервала,то функция f(x) убывает  на этом интервале.(слайд 8)

Алгоритм.

1.  Указать область определения функции.
2. Найти производную функции y=f(x).
3. Определить промежутки, в которых f/(x) )>0 и  f / (x)<0.
4. Сделать выводы о монотонности функции. (слайд 9)

1) 2)   (слайд 10)

Есть точки,в которых возрастание функции сменяется убыванием и наоборот.

...наибольшее значение данная функция в этой окрестности принимает вточке х=-1, точку х=-1 называют точкой максимума функции.      (слайд 13)

...наименьшее значение данная функция в этой окрестности принимает в точке х=1. Точку х=1 называют точкой минимума функции.       (слайд 13)

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x)< f(x0)  (слайд 11)

Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x) f(x0)  (слайд 12)

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) ,  и f”=(x0),тогда:1) если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) её производная меняет знак с «плюса» на «минус», то есть f’(x)>0 слева от точки x0 и f”(x)<0 справа от точки x0 , то x0  – точка максимума функции ;

(слайд 11)

2) если при переходе через стационарную точку x0  функции  f(x) её производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то x0 – точка минимума функции .

(слайд 12)

Первичная проверка понимания материала

Предметные:

Знать  

 достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

Определите промежутки монотонности функции

у = -3х3 + 4х2 + х – 10. (слайд 15)

Решение

1.Найдем область определения функции.

D(y) = 

2.Найдем производную функции.

y’ = (x – 1)(-9x – 1)

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале  производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале  производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале  производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках  функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на  и на .

Ответ: Функция возрастает на 

Функция убывает на  и на  (слайд 16)

Закрепление новых знаний

Предметные:

Знать  

 достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.    

регулятивные:

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

– отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;

- уметь слушать и вступать в диалог.

А теперь посмотрим, как это работает.

Даны  графики   производных функций.

1.Определить область определения,промежутки монотонности функции.

2. Определить количество промежутков возрастания, найти длину наибольшего. (слайд 17)

3.На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−0,5;4,3). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.

(слайд 18)

4. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−0,5;4,3). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.
(слайд 19)

5. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции

у = х5–5х4 +5х3 – 4. (слайд 15)

1)2)

3)

 Для функции f(x), у которой производная в точке x0 существует, f′(x0)>0 равносильно тому, что f(x) возрастает в x0.   На интервале (−0,5;4,3) целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f(x) возрастает только в 1, 2 и 4. Таким образом, производная функции y=f(x) положительна в 3 целых точках. Ответ: 3

4) 
 Для функции f(x), у которой производная в точке x0 имеет смысл, f′(x0)<0 равносильно тому, что f(x) убывает в x0.   На интервале (−0,5;4,3) целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f(x) убывает только в 0, 2 и 3. Таким образом, производная функции y=f(x) отрицательна в 3 целых точках. Ответ: 3

5) Решение:

y' =

1. Функция возрастает на ; функция убывает на .

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на ,хmax=1;хmin=3  (слайд 16)

Рефлексия учебной деятельности

Предметные:

Знать  

 достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

–  классифицировать и обобщать факты и явления;

    – строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

регулятивные:

–  осознавать конечный результат решения проблемы.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Преподаватель:

- Что вы сегодня узнали нового?

- Какова была цель вашей деятельности?

- Вы достигли поставленной цели?

- Что вы использовали, и что вам помогло в достижении цели?

 -Все, кто отвечал на уроке будут оценены.

Возможные варианты ответов:

С помощью поизводной можно легко найти промежутки монотонности,определить свойства фуннкции.

научиться применять производную к исследованию функций; познакомиться с  промежутками возрастания и убывания, экстремумами функции.

Мы достигли поставленной цели.

Определение производной функции,ее физический смысл.

Задание на   дом

     Ш.Алимов.Алгебра и начала анализа.10-11 кл.

№ 3,стр.101;№11.стр.107 (слайд 20)

№ группы

Достижение целей урока

Генерирование идей

Активное слушанье

Прохождение контроля

Рефлексия

Общий балл

1

6

4,4

4,9

5,1

5,7

26,1

2

6

4,1

5,2

5,3

5,6

26,2

Показатель

Тема изложена в форме традиционной лекции

Тема изучалась на основе методической разработки

Контрольная группа

Группа 1

Группа 2

Количество студентов

22

24

19

Успеваемость

100%

100%

100%

Качественная успеваемость

45%

75%

84%

Средний балл

3,5

4,0

4,1

«5»

2

7

6

«4»

8

11

10

«3»

12

6

3

«2»

-

-

-

Предмет

Математика

Курс

1

Тема урока

Первообразная

Тип урока

Изучение и закрепление нового материала

Вид урока

Комбинированный

Форма обучения

Классно-урочная

Форма деятельности

Фронтальная и индивидуальная.

Цель урока

Введение понятия первообразной и обучение нахождению первообразной,как действию,обратному нахождению производной.

Задачи урока

1. Образовательные: организовать деятельность учащихся по применению имеющихся знаний по теме «Производная» к понятию первообразной функции,к определению понятия первообразной функции, к установлению связи между производной и первообразной,повторить понятие производной функции, сформировать у студентов первичные знания по нахождению первообразной

2. Развивающие:  развитие у учащихся умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;развитиевнимания,мышления,самостоятельности,позновательного интереса.;формирование приемов обобщения, алгоритмизации.

3. Воспитательные: формирование у студентов ответственного отношения к  учению; воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Оборудование

Мультимедийный проектор

Методическое оснащение

План-конспект, презентация,учебник.

Основные термины, понятия

Дифференцирование,первообразная,производная,физический смысл производной

Продолжительность урока

90 минут

Планируемый результат

Предметные умения:

Знать:

• определение первообразной
• первообразная определяется неоднозначно

уметь:

• находить первообразные функции в простейших случаях
• проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 Личностные УУД:

   - независимость и критичность мышления;

   - воля и настойчивость в достижении цели.

• сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;
• понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

Метапредметные УУД

• умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
• умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
• владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыкам^ разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
• готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
• владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

Этапы урока

Дидактические задачи

Организационный

(этап мотивации)(2 мин)

1. Создать эмоциональный настрой
2. Мотивация студентов на учебу

Постановка учебной проблемы

(15 мин)

1. Самостоятельное формулирование проблемы. На основе актуализации ранее полученных знаний подвести студентов к формулировке темы урока.

Формулирование проблемы, планирование деятельности (15 мин)

1. Подведение студентов к формулированию целей учебно-познавательной деятельности

Открытие новых знаний (15 мин)

1. Изучение построенного проекта;
2. Реализация построенного проекта индивидуально при выполнении задания.

Первичная проверка понимания материала

(10 мин)

1.  Создать условия для применения  теоретических знаний при решении задач.

Закрепление полученных  знаний

20. мин)

1. Создать условия для применения  теоретических знаний при решении задач.
2. Самостоятельное выполнение заданий учащимися с помощью построенного проекта;
3. Групповое выполнение более сложных заданий учащимися с помощью построенного проекта.

Рефлексия учебной деятельности

(3 мин)

1. Самостоятельная формулировка полученных умений;
2. Самостоятельная оценка достижения поставленной на уроке цели;
3. Самостоятельная оценка своей работы на уроке.

Задание на дом (1 мин)

Формируемые умения

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Организационный этап

Метапредметные (УУД):

регулятивные:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность, умение настраиваться на занятие

коммуникативные:

- уметь слушать и вступать в диалог.

Приветствие.

Мотивация на изучение новой темы.

Приветствуют преподавателя, проверяют свою готовность к уроку (наличие тетрадей, ручек)

Постановка учебной проблемы.Формулирование проблемы, планирование деятельности

Предметные:

знать :   определение,производной,понятия приращения функции и аргумента,физический и геометрический  смыслы производной; производные элементарных  и сложных функций

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

- уметь самостоятельно определять цели в деятельности в ходе применения понятия производной функции к определению понятия первообразной

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

Регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

1. Определение производной функции

2. Физический смысл производной

Из курса физики вспомним ,что такое скорость   и ускорение и по каким формулам  их находим.

3.Есть путь,есть время-можем найти скорость.

4. Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону

s(t) = t3 +2t2 – 5t.

Найти функцию, выражающую закон изменения скорости движения v(t)

5.Решить обратную задачу.Найти путь.

Задача 2. Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону

v(t)=3 t2 +4t – 5.

Найти функцию s(t), выражающую зависимость перемещения точки от времени.

Какую функцию S(t) надо продифференцировать?

(Вспомнить таблицу и формулы производных)

1. Производной функции в данной точке

 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2. Производная функции y = f(x) в точке x0 – это скорость изменения функции f (х) в точке x0  x'(t). = ν(t)

v(t)=S/(t)-скорость есть производная пути по времени.

3.Быстрота изменения положения тела в пространстве с течением времени ;V=,  где S зависимая переменная переменная, t-независимая переменная.

4. v(t)=S/(t)=3 t2 +4t – 5.

5. v(t)=S/(t)-скорость есть производная пути по времени. Скорость  это результат производной пути по времени. S –это первоначальная величина.Так как,

v(t)=S/(t)=3t2 +4t – 5- требуется восстановить функцию S(t)-найти такую функцию,производная которой  равняется  данной функции.

s(t) = t3 +2t2 – 5t.

Открытие новых знаний

Знать: производные элементарных  и сложных функций

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

- уметь самостоятельно определять цели в деятельности в ходе применения понятия производной функции к определению понятия первообразной

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

Регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

1.Первоначальная величина-

2.Определение первообразной

3.Как проверить результат?

4. Как можно изменить первообразную  функции,чтобы ее производная оставалась постоянной?

5.Сколько первообразных может иметь функция?

6. Основное свойство первообразных:

7. Используя таблицу производных элементарных функций и основное свойство первообразных,заполните таблицу первообразных

1.первообразная.

2.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке Х, если для всех х из этого промежутка  F/(x)= f(x)

3. Найти производную  s(t) = t3 +2t2 – 5t

S/(t)=3t2 +4t – 5

4. Если вспомнить таблицу производных,то производная константы равна нулю.Если к первообразной функции прибавть константу. 

s(t) = t3 +2t2 – 5t+С, где С любое действительное число.

5.Множество, т.к. (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

6. если F(x) – первообразная функции f(x) на

некотором промежутке, то F(x)+C – первообразная функции f(x) на этом промежутке.

7.    

Первичная проверка понимания материала

Предметные:

  Знать:

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

1)  Например, функция F(х) = sin x  является первообразной функции f (x) = cos x

так как  (sin x ) ′ = cos x

3)Функция:        f(x) = 3х2

Производная функции:        

Первообразная функции:        

В данном примере производная от F(x) = х3 + С будет равна (как в определении):

Примеры.

1.  Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).

2. Найти все первообразные функции f(x) :

а) f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

б ) f(x) = sin(3x – 2)

в) 

3. Для функции f(x) = 4 – х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Решение примеров к таблице:найти первообразные

2) F(x)=x4    f(x) = 4x3

3)f´(x) = 3 · 2х = 6х

 где С -любое действительное число

F´(x) = (х3 + С)´ = 3х2 + 0 = 3х2 = f(x) (производная от С = 0, т. к. С — число)

1.Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).

2.

а)Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

б)Решение:

Ответ:

в)Решение:

Ответ:

3.Решение:

1) Найдем все первообразные функции f(x): 

2) Найдем число С , такое, чтобы график функции  проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10 , получим:

Следовательно, .

Ответ:

Закрепление новых знаний

Предметные:

  Знать:

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.    

регулятивные:

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

– отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;

- уметь слушать и вступать в диалог.

Работа в парах.

Найти все первообразные функции:

1. Функция f (x) = x5

2.f (x) = 3/x

3. f (x) = ex

4. f (x) = 4·sin x

5.f (x) = (3x - 4)5

6. f (x) = e - 3x + 5

7. f (x) = sin (6 — 7x)

8. f (x) = cos (6x — 5)

№983,984 учебника

1.

2. F (x) = 3 ln x + C

3. F (x) = ex + C

   4. f (x) = 4·sin x

   5

    6. F (x) = e - 3x + 5 + C

7. F (x) = ·(- cos (6 - 7x)) + C = cos (6 - 7x) + C

 8. F (x) = ·sin (6x — 5) + C

Рефлексия учебной деятельности

Предметные:

Знать:

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

–  классифицировать и обобщать факты и явления;

    – строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

регулятивные:

–  осознавать конечный результат решения проблемы.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Преподаватель:

- Что вы сегодня узнали нового?

- Какова была цель вашей деятельности?

- Вы достигли поставленной цели?

- Что вы использовали, и что вам помогло в достижении цели?

 -Все, кто отвечал на уроке будут оценены.

Возможные варианты ответов:

Производная –«производит» новую функцию. Первообразная - первичный образ.

• определение первообразной
• первообразная определяется неоднозначно

• находить первообразные функции в простейших случаях
• проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

Определение производной функции,ее физический смысл.

Задание на   дом

Урок № 22

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3993/start/225744/

Дисциплина

Астрономия

Курс

1

Тема урока

Солнечная система как комплекс тел, имеющих общее происхождение

Тип урока

Изучение и закрепление нового материала

Вид урока

Комбинированный

Форма обучения

Классно-урочная

Форма деятельности

Фронтальная и индивидуальная.

Цели урока

Предметные: сформировать общие представления о Солнечной системе и телах, входящих в её состав,формулировать основные положения гипотезы о формировании тел Солнечной системы, анализировать основные положения современных представлений о происхождении тел Солнечной системы, использовать положения современной теории происхождения тел Солнечной системы.

Метапредметные: сравнивать положения различных теорий происхождения Солнечной системы; доказывать научную обоснованность теории происхождения Солнечной системы, использовать методологические знания о структуре и способах подтверждения и опровержения научных теорий.

Личностные: отстаивать собственную точку зрения о Солнечной системе как комплексе тел общего происхождения.

Задачи урока

1. Образовательные: углубить знания о солнечной системе и планетах солнечной системы.

2. Развивающие: развитие у учащихся умений устанавливать связи, причины и следствия;развитие внимания,мышления,самостоятельности,позновательного интереса,формирование умений анализировать поставленную проблему и применять полученные выводы.

3. Воспитательные: формирование у студентов ответственного отношения к  учению; воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Оборудование

Мультимедийный проектор

Методическое оснащение

План-конспект, презентация,учебник.

Основные термины, понятия

Гипотеза,Солнечная система,планеты,спутники, теория происхождения Солнечной системы, О. Шмидт, планетезимали.

Продолжительность урока

45 минут

Планируемый результат

Предметные умения:

 Знать:планеты солнечной системы;их характеристики;возраст;процессы ,происходящие в ходе формирования

Уметь:разделять планеты на группы по трем характеристикам (размер, плотность и масса);   использовать справочный материал.

 Личностные УУД:

•  независимость и критичность мышления;
•  воля и настойчивость в достижении цели;
• владение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
• ясно,точно,грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,понимать  смысл

поставленной задачи; уметь контролировать  процесс и результат  учебной деятельности.

Регулятивные УУД:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность;

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель;

умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

проговаривать последовательность действий на уроке;

работать по коллективно составленному плану;

оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

высказывать своё предположение.

Познавательные УУД:

      – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;делать выводы,определять понятия;;

     - искать и выделять необходимую информацию;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

- умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя

Коммуникативные УУД:

      – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

     - искать и выделять необходимую информацию;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

Этапы урока

Дидактические задачи

Организационный

(этап мотивации)(2 мин)

1. Создать эмоциональный настрой
2. Мотивация студентов на учебу

Актуализация  знаний , умений(10 мин)

1.  Контроль и актуализация опорных знаний по предыдущей теме

Постановка учебной проблемы . Формулирование проблемы, планирование деятельности (5мин)

1. Самостоятельное формулирование проблемы. На основе актуализации ранее полученных знаний подвести студентов к формулировке темы урока.
2. Подведение студентов к формулированию целей учебно-познавательной деятельности

Открытие новых знаний (10 мин)

1. Изучение построенного проекта;
2. Реализация построенного проекта индивидуально при выполнении задания.

Первичная проверка понимания материала

(10 мин)

1.  Создать условия для применения  теоретических знаний при решении задач.

Закрепление полученных  знаний

(5мин)

1. Создать условия для применения  теоретических знаний при решении задач.
2. Самостоятельное выполнение заданий учащимися с помощью построенного проекта;
3. Групповое выполнение более сложных заданий учащимися с помощью построенного проекта.

Рефлексия учебной деятельности

(3 мин)

1. Самостоятельная формулировка полученных умений;
2. Самостоятельная оценка достижения поставленной на уроке цели;
3. Самостоятельная оценка своей работы на уроке.

Задание на дом (1 мин)

Формируемые умения

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Организационный этап

Метапредметные (УУД):

регулятивные:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность, умение настраиваться на занятие

коммуникативные:

- уметь слушать и вступать в диалог.

Приветствие.

Мотивация на изучение новой темы.

Приветствуют преподавателя, проверяют свою готовность к уроку (наличие тетрадей, ручек)

Актуализация  знаний , умений

Предметные:

 знать понятия геоцентрической и гелиоцентрической системы мира,конфигурации планет,виды планет,синодический и сидерический периоды обращения планет,законы движения планет(законы Кеплера),закон всемирного тяготения

 уметь применять полученные знания к решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Личностные (УУД):

понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Проверка усвоения изученного материала.

1.Изучив раздел «Строение Солнечной системы», у нас расширились представления о строении мира.  Перечислите основные теории, предшествовавшие современной теории строения мира.

2. В чем отличие системы Коперника от системы Птолемея?

3. Какие выводы в пользу гелиоцентрической системы Коперника следовали из открытий,сделанных с помощью телескопа?

4. В чем причина изменения условий видимости планет?

5. Какие виды конфигураций вы знаете?И,говоря о конфигурациях,на какие группы мы разделили планеты?

6. Сформулируйте законы движения планет Кеплера и закон всемирного тяготения. Каковы границы их применимости?

Замечательно.

1.Геоцентрическая система мировозрения К. Птолемея.

Гелиоцентрическая система мировозрения Н.Коперника.

2. Суточное движение всех светил обусловлено вращением Земли вокруг своей оси.

Все планеты,включая Землю,вращаются вокруг Солнца.

3. Солнце вращается.

Расстояния до звезд различны

4.В их конфигурациях,т.е различных расположениях относительно Земли и Солнца.

5.Противостояние,соедиенение,западная и восточная квадратуры-характерны для внешних планет:Марс,Юпитер,Сатурн,Уран,Нептун.

Верхнее инижнее соединения,восточная изападная элонгации-характерны для внутренних планет:Меркурий и Венера.

6. Первый закон Кеплера.

Для планет характерна траектория в виде замкнутой кривой в форме эллипса. Каждая орбита имеет два фокуса – точки, расположенные внутри орбиты на постоянных расстояниях. Кеплер выяснил, что все орбитальные планетарные траектории имеют одну плоскость. Наиболее вытянутые орбиты  у Марса и Плутона, у остальных планет форма орбиты близка к окружности. Именно поэтому Первый закон Кеплера часто называют законом эллипсов.

Второй закон Кеплера

Планетарные скорости достигают наибольшего значения в случае, когда планета находится на минимальном расстоянии от Солнца. Соответственно, наименьшие значения достигаются, когда расстояние от Солнца максимальное. Согласно Второму закону Кеплера, все планеты обращаются в плоскости, проходящей через солнечный центр. Радиус-вектор, который соединяет Солнце с планетой, за равные временные промежутки очерчивает равные площади.

Третий закон Кеплера

Квадраты периодов полного обращения планет соотносятся в той же степени, что и кубы наибольших полуосей орбит этих планет.

Этот закон отображает взаимосвязь между периодом орбитального обращения и расстоянием от планеты до Солнца.

Закон всемирноого тяготения:

любые материальные тела взаимно притягивают друг друга с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Действие силы происходит вдоль линии, соединяющей эти тела.

Границы применимости законов Кеплера: — применимы для описания движения планет, но не объясняют причин движения; — позволяют вычислить относительные расстояния планет от Солнца; — применимы к движению планет, их естественных и искусственных спутников, движению других небесных тел — астероидов, комет, звезд в двойных системах.

Постановка учебной проблемы.Формулирование проблемы, планирование деятельности

Предметные:

  Знать:планеты солнечной системы;их характеристики;возраст;процессы ,происходящие в ходе формирования;состав.

Уметь:разделять планеты на группы по трем характеристикам (размер, плотность и масса);   использовать справочный материал.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

Регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Из курса природоведения и окружающего мира мы знаем,что планеты делятся на две группы:планеты земной группы и планеты-гиганты.Первая группа располагается ближе к Солнцу,а вторая дальше.

Чем эти они отличаются друг от друга?

Как образовались эти планеты?

На эти вопросы мы сегодня ответим.

Открытие новых знаний

Предметные:

   Знать:планеты солнечной системы;их характеристики;возраст;процессы ,происходящие в ходе формирования;состав.

Уметь:разделять планеты на группы по трем характеристикам (размер, плотность и масса);   использовать справочный материал.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

Тема урока «Солнечная система как комплекс тел,имеющих общее происхождение»

Просмотр видеоролика:   https://youtu.be/asjvOU0c3nw

Гипотезы происхождения Солнечной системы (гипотезы  Канта и Лапласа)

Гипотезы об образовании нашей Солнечной системы можно разбить на две группы: катастрофические и эволюционные.

1. Гипотеза Канта - первая универсальная естественно-философская концепция, разработанная в 1747-1755гг. В его гипотезе небесные тела произошли из гигантского холодного пылевого облака под действием тяготения. В центре облака образовалось Солнце, а на периферии - планеты. Таким образом, изначально высказывалась мысль, что Солнце и планеты возникли одновременно.

2. Гипотеза Лапласа - в 1796г  выдвинул гипотезу о происхождении Солнечной системы из единой раскаленной вращающейся газовой туманности, не зная теории И. Канта. Планеты зарождались на границе туманности путем конденсации охлажденных паров в плоскости экватора и от охлаждения туманности постепенно сжималась, вращаясь все быстрее и когда центробежная сила становится равной силе тяготения, образуются многочисленные кольца, которые, уплотняясь, делясь на новые кольца, создали сперва газовые планеты, а центральный сгусток превратился в Солнце. Газовые планеты, остывали и сжимались, образуют вокруг кольца из которых затем возникли спутнике планет (кольцо Сатурна считал верностью своих рассуждений). В теории одновременно происходит формирование всех тел Солнечной системы: Солнца, планет, спутников. Приводит 5 фактов (явно недостаточно)- особенностей Солнечной системы, исходя из закона тяготения.  Это первая, разработанная в математической форме, теория и существовала почти 150 лет, вплоть до теории О. Ю. Шмидта.Гипотеза О. Ю. Шмидта

Согласно наиболее разработанной гипотезе, выдвинутой советским академиком Отто Юльевичем Шмидтом, Солнечная система сформировалась в результате длительной эволюции огромного холодного газопылевого облака.

Космогоническая гипотеза разработана О.Ю. Шмидтом в 1944-1949 г. г. и развита его сотрудниками и последователями.

Запись темы в тетрадях.

Первичная проверка понимания материала

Предметные:

Знать:планеты солнечной системы;их характеристики;возраст;процессы ,происходящие в ходе формирования;состав.

Уметь:разделять планеты на группы по трем характеристикам (размер, плотность и масса);   использовать справочный материал.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

На какие группы и по каким признакам можно разделить планеты Солнечной системы?

Давйте разберем общие характеристики планет.

Плотность:

  Большая часть массы планет земной группы приходится на долю твердого состояния вещества

Состав планет-гигантов и их плотность....

Физические харктеристики:планеты земной группы-Меркурий ,Венера,Земля,Марс.

Планеты-гиганты(газовые гиганты)-Юпитер,Сатурн,Уран,Нептуп.

различие плотности тел двух групп планет объясняется различием их химического состава и агрегатного состояния.

– оксидов и других соединений тяжелых химических элементов: железа, магния, алюминия и других металлов, а также кремния и других неметаллов.

 Малая плотность планет-гигантов (у Сатурна она меньше плотности воды) объясняется тем, что значительная часть их массы находится в газообразном и жидком состояниях.

В составе планет-гигантов преобладают водород и гелий. Этим они похожи на звезды.

Атмосфера планет-гигантов содержит различные соединения водорода, в частности метан и аммиак.

Скорость: планеты-гиганты быстрее вращаются вокруг оси,

чем планеты земной группы.

Наличие спутников: на четыре планеты земной группы приходится всего 3 спутника,

на четыре планеты-гиганта – 158.

Закрепление новых знаний

Предметные:

   Знать:планеты солнечной системы;их характеристики;возраст;процессы ,происходящие в ходе формирования;состав.

Уметь:разделять планеты на группы по трем характеристикам (размер, плотность и масса);   использовать справочный материал

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.    

регулятивные:

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

– отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;

- уметь слушать и вступать в диалог.

1.По каким характеристикам прослеживаются разделение планет на группы?

 2.90% массы Земли..

3. 98% состава планет гигантов

Каков возраст планет Солнечной системы?

Какие процессы происходили в ходе формирования планет?

Почему планеты земной группы располагаются ближе к Солнцу,а гиганты дальше?

Гипотеза О. Ю. Шмидта

1.Размер,масса,плотность,скорость вращения,химический состав.

2.Железо,кислород,кремний,магний

3. Водород,гелий

4,5 млдр.лет

Плавление,кристаллизация,окисление.

  Ближе к солнцу очень жарко, и оно сжигало газы, а воду превращало в пар.  Но только материалы которые могли выдержать эту температуру (металл и скальные породы)сохранились. И  поэтому планеты земной группы имеют твердую, скальную поверхность, а отдаленные планеты стали газовые.

Все вещества, что тяжелее в пртопланетном диске притягивались к центру гравитации, молодому светилу, сильнее, а те, что полегче соответственно на окраине и соединились в последствии в газовые, массивные космические обьекты.

Солнечная система сформировалась в результате длительной эволюции огромного холодного газопылевого облака.

Рефлексия учебной деятельности

Предметные:

   Знать:планеты солнечной системы;их характеристики;возраст;процессы ,происходящие в ходе формирования;состав.

Уметь:разделять планеты на группы по трем характеристикам (размер, плотность и масса);   использовать справочный материал.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

–  классифицировать и обобщать факты и явления;

    – строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

регулятивные:

–  осознавать конечный результат решения проблемы.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Преподаватель:

- Что вы сегодня узнали нового?

- Какова была цель вашей деятельности?

- Вы достигли поставленной цели?

 -Все, кто отвечал на уроке будут оценены.

Возможные варианты ответов:

Общие характеристики планет.Различия по физичиским и химическим характеристикам. Гипотезы об образовании нашей Солнечной системы.

Сформировать общие представления о Солнечной системе и телах, входящих в её состав, формулировать основные положения гипотезы о формировании тел Солнечной системы.

Да

Задание на   дом

      Б. А. Воронцов-Вельяминов,Е.К.Страут Астрономия (10-11).Базовый уровень.Учебник,2019г.

§ 15-16

Предмет

Математика

Курс

1 

Тема урока

Наименьшее и наибольшее значения функции

Тип урока

Изучение и закрепление нового материала

Вид урока

Комбинированный

Форма обучения

Классно-урочная

Форма деятельности

Фронтальная и индивидуальная.

Цель урока

Обучение нахождению наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной.

Задачи урока

1. Образовательные: формирование умений и навыков применения производной функции в нахождении промежутков возрастания и убывания функции, определения критических точек функции, а также нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.                      

2. Развивающие: развитие у учащихся умений устанавливать связи, причины и следствия;развитие внимания,мышления,самостоятельности,позновательного интереса,формирование умений анализировать поставленную проблему и применять полученные выводы.

3. Воспитательные: формирование у студентов ответственного отношения к  учению; воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Оборудование

Мультимедийный проектор

Методическое оснащение

План-конспект, презентация,учебник.

Основные термины, понятия

Промежутки монотонности,экстремумы функции,производная,геометрический и физический смыслы производной

Продолжительность урока

90 минут

Планируемый результат

Предметные умения:

•  знать основные понятия математического анализа и их свойствах
• знать признаки возрастания и убывания функций,определение экстремумов функций; алгоритмы применения производной к исследованию функций (исследование функции на монотонность, исследование функции на экстремумы, исследование функции на наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, составление уравнения касательной)
• уметь применять правила вычислений производных,признаки возрастания и убывания функций к исследованию функций.
• уметь характеризовать поведение функций, использовать полученные знания для описания и анализа реальных зависимостей

 Личностные УУД:

•  независимость и критичность мышления;
•  воля и настойчивость в достижении цели;
• владение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
• ясно,точно,грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,понимать  смысл

поставленной задачи; уметь контролировать  процесс и результат  учебной деятельности.

Регулятивные УУД:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность;

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель;

умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

проговаривать последовательность действий на уроке;

работать по коллективно составленному плану;

оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

высказывать своё предположение.

Познавательные УУД:

      – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;делать выводы,определять понятия;;

     - искать и выделять необходимую информацию;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

- умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя

Коммуникативные УУД:

      – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

     - искать и выделять необходимую информацию;

– строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

Этапы урока

Дидактические задачи

Организационный

(этап мотивации)(2 мин)

1. Создать эмоциональный настрой
2. Мотивация студентов на учебу

Актуализация  знаний , умений(10 мин)

1.  Контроль и актуализация опорных знаний по предыдущей теме

Постановка учебной проблемы

(15 мин)

1. Самостоятельное формулирование проблемы. На основе актуализации ранее полученных знаний подвести студентов к формулировке темы урока.

Формулирование проблемы, планирование деятельности (15 мин)

1. Подведение студентов к формулированию целей учебно-познавательной деятельности

Открытие новых знаний (15 мин)

1. Изучение построенного проекта;
2. Реализация построенного проекта индивидуально при выполнении задания.

Первичная проверка понимания материала

(10 мин)

1.  Создать условия для применения  теоретических знаний при решении задач.

Закрепление полученных  знаний

20. мин)

1. Создать условия для применения  теоретических знаний при решении задач.
2. Самостоятельное выполнение заданий учащимися с помощью построенного проекта;
3. Групповое выполнение более сложных заданий учащимися с помощью построенного проекта.

Рефлексия учебной деятельности

(3 мин)

1. Самостоятельная формулировка полученных умений;
2. Самостоятельная оценка достижения поставленной на уроке цели;
3. Самостоятельная оценка своей работы на уроке.

Задание на дом (1 мин)

Формируемые умения

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Организационный этап

Метапредметные (УУД):

регулятивные:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность, умение настраиваться на занятие

коммуникативные:

- уметь слушать и вступать в диалог.

Приветствие.

Мотивация на изучение новой темы.

Приветствуют преподавателя, проверяют свою готовность к уроку (наличие тетрадей, ручек)

Актуализация  знаний , умений

Предметные:

 знать определение возрастающей  и убывающей функции,производной,понятия приращения функции иаргумента,физический и геометрический смыслы производной;

 уметь применять полученные знания к решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Личностные (УУД):

понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Проверка усвоения изученного материала.

-Мы уже несколько пар говорим про производные функций.Давйте вспомним,

1. Что называется функцией?
2. Что называется областью определения функции?
3. Какая функция называется возрастающей на промежутке?
4. Какая функция называется убывающей на промежутке
5. Что называется приращением аргумента?
6. Что называется приращением функции?
7. Что называется производной функции?
8. В чем соостоит физический смысл производной?

Замечательно.

1.Зависимость одной переменной от другой   y=f(x),где f(x)-значение функции(зависимая переменная),х-аргумент(независимая переменная).

2. Множество всех значений по оси ОХ.

3.Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) 2)

4.Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) >f(x2).(слайд 2)

5.Разность значений аргумента в точке х.(слайд 2)

6.Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению ∆х называется разность f(x0 + ∆х) – f(x0).

7.Производной функции в данной точке

 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

8.производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0 x'(t). = ν(t) (слайд 4)

Постановка учебной проблемы.Формулирование проблемы, планирование деятельности

Предметные:

 знать определение возрастающей  и убывающей функции,производной,понятия приращения функции иаргумента,физический и геометрический смыслы производной;

 уметь применять полученные знания к решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

Регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Производная функции y = f(x) в точке x0 – это скорость изменения функции f (х) в точке x0 x'(t). = ν(t)

Из курса физики вспомним ,что такое скорость   и ускорение и по каким формулам  их находим.

Рассмотрим на примере графиков движения .

У нас есть два  вида равнопеременного движения-равноускоренное и равнозамедленное

Равноускоренное движение представляет ....

Равнозамедленное движение представляет..

И,так как производная функции это скорость изменения функции,то по определению...

Быстрота изменения положения тела в пространстве с течением времени ;V=,  где S зависимая переменная переменная, t-независимая переменная.

Ускорение –быстрота изменения скорости  

(слайд 5)

..возрастающую функцию(скорость растет)  

...убывающую функцию(скорость падает)

 = при t t0    vv0    v’(t)  при равноускоренном движении

 = при t t0    vv0    v’(t)  при равнозамедленном движении

Открытие новых знаний

Предметные:

Знать  

 достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

Одной из основных задач,возникающих при исследовании функции,является нахождение промежутков возрастания и убывания-промежутков монотонности функции.Такой анализ легко выполнить с помощью производной.Заполните,пожалуйста ,таблицу.(слайд 6)

Сформулируем признаки возрастания и убывания функции:

Итак,для исследования функции на монотонность мы воспользуемя алгоритмом...

При  исследовании функции

1)f(x) =2x3 -монотонно возрастает на всей числовой прямой

2) f(x) = х3-3х    она возрастает на одном интервале,убывает на другом интервале.Построим график функции.

 Рассмотрим окрестность точки х=-1......

Рассмотрим окрестность точки х=1....

Сформулируем определение.

Функция f(x) =2x3  не имеет экстремумов. Производная равна 0 в точке 0.Точки ,в которых производная функции равна 0,называются стационарными.

Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции.

 Приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума

(слайд 14)

1. Если  f/(x) >0 в каждой точке интервала,то функция f(x) возрастает на этом интервале.
2. Если  f/(x) <0 в каждой точке интервала,то функция f(x) убывает  на этом интервале.(слайд 8)

Алгоритм.

1.  Указать область определения функции.
2. Найти производную функции y=f(x).
3. Определить промежутки, в которых f/(x) )>0 и  f / (x)<0.
4. Сделать выводы о монотонности функции. (слайд 9)

1) 2)   (слайд 10)

Есть точки,в которых возрастание функции сменяется убыванием и наоборот.

...наибольшее значение данная функция в этой окрестности принимает вточке х=-1, точку х=-1 называют точкой максимума функции.      (слайд 13)

...наименьшее значение данная функция в этой окрестности принимает в точке х=1. Точку х=1 называют точкой минимума функции.       (слайд 13)

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x)< f(x0)  (слайд 11)

Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x) f(x0)  (слайд 12)

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) ,  и f”=(x0),тогда:1) если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) её производная меняет знак с «плюса» на «минус», то есть f’(x)>0 слева от точки x0 и f”(x)<0 справа от точки x0 , то x0  – точка максимума функции ;

(слайд 11)

2) если при переходе через стационарную точку x0  функции  f(x) её производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то x0 – точка минимума функции .

(слайд 12)

Первичная проверка понимания материала

Предметные:

Знать  

 достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

Определите промежутки монотонности функции

у = -3х3 + 4х2 + х – 10. (слайд 15)

Решение

1.Найдем область определения функции.

D(y) = 

2.Найдем производную функции.

y’ = (x – 1)(-9x – 1)

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале  производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале  производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале  производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках  функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на  и на .

Ответ: Функция возрастает на 

Функция убывает на  и на  (слайд 16)

Закрепление новых знаний

Предметные:

Знать  

 достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.    

регулятивные:

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

– отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;

- уметь слушать и вступать в диалог.

А теперь посмотрим, как это работает.

Даны  графики   производных функций.

1.Определить область определения,промежутки монотонности функции.

2. Определить количество промежутков возрастания, найти длину наибольшего. (слайд 17)

3.На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−0,5;4,3). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.

(слайд 18)

4. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−0,5;4,3). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.
(слайд 19)

5. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции

у = х5–5х4 +5х3 – 4. (слайд 15)

1)2)

3)

 Для функции f(x), у которой производная в точке x0 существует, f′(x0)>0 равносильно тому, что f(x) возрастает в x0.   На интервале (−0,5;4,3) целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f(x) возрастает только в 1, 2 и 4. Таким образом, производная функции y=f(x) положительна в 3 целых точках. Ответ: 3

4) 
 Для функции f(x), у которой производная в точке x0 имеет смысл, f′(x0)<0 равносильно тому, что f(x) убывает в x0.   На интервале (−0,5;4,3) целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f(x) убывает только в 0, 2 и 3. Таким образом, производная функции y=f(x) отрицательна в 3 целых точках. Ответ: 3

5) Решение:

y' =

1. Функция возрастает на ; функция убывает на .

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на ,хmax=1;хmin=3  (слайд 16)

Рефлексия учебной деятельности

Предметные:

Знать  

 достаточные условия возрастания и убывания функций, определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции;

уметь

применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции ,критических, стационарных точек и точек экстремума.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

–  классифицировать и обобщать факты и явления;

    – строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

регулятивные:

–  осознавать конечный результат решения проблемы.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Преподаватель:

- Что вы сегодня узнали нового?

- Какова была цель вашей деятельности?

- Вы достигли поставленной цели?

- Что вы использовали, и что вам помогло в достижении цели?

 -Все, кто отвечал на уроке будут оценены.

Возможные варианты ответов:

С помощью поизводной можно легко найти промежутки монотонности,определить свойства фуннкции.

научиться применять производную к исследованию функций; познакомиться с  промежутками возрастания и убывания, экстремумами функции.

Мы достигли поставленной цели.

Определение производной функции,ее физический смысл.

Задание на   дом

     Ш.Алимов.Алгебра и начала анализа.10-11 кл.

№ 3,стр.101;№11.стр.107 (слайд 20)

№ группы

Достижение целей урока

Генерирование идей

Активное слушанье

Прохождение контроля

Рефлексия

Общий балл

1

6

4,4

4,9

5,1

5,7

26,1

2

6

4,1

5,2

5,3

5,6

26,2

Показатель

Тема изложена в форме традиционной лекции

Тема изучалась на основе методической разработки

Контрольная группа

Группа 1

Группа 2

Количество студентов

22

24

19

Успеваемость

100%

100%

100%

Качественная успеваемость

45%

75%

84%

Средний балл

3,5

4,0

4,1

«5»

2

7

6

«4»

8

11

10

«3»

12

6

3

«2»

-

-

-