Численные методы_практические работы

Лапшина Ирина Вячеславовна
Опубликовано 02.02.2020 - 12:18 - Лапшина Ирина Вячеславовна

 практические работы по УД "Численные методы" на 2019-2020 уч.год

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл pr1.docx149.38 КБ
Файл pr2.docx61.01 КБ
Файл pr3.docx59.13 КБ
Файл pr4.docx29.9 КБ
Файл pr5.docx24.36 КБ
Файл pr6.docx30.61 КБ
Файл pr7.docx24.18 КБ
Файл pr8.docx29.84 КБ
Файл pr9.docx27.7 КБ
Файл pr10.docx61.04 КБ

Предварительный просмотр:

Практическая работа №1

Вычисление погрешностей величин и результатов арифметических действий

Задание 1:

1. Округлить числа до четырех значащих цифр и записать в соответствии с правилом записи приближенных чисел.

2. Округлить число до третьего десятичного знака (тысячных долей), указать значащие цифры.

3. Округлить до сотых и записать в форме .

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

254789

23,5689

4574896

56,3248

127548

24,2584

547821

25,4875

987402

9,2541

547891

5,5483

457132

2,1547

587496

3,1245

665541

22,2541

998547

9,2541

2

0,22157

0,00192

5,01241

0,00987

3,98702

0,12543

0,00215

0,32932

1,00254

0,00089

3

1,245±0,00234

6,912±0,00951

4,562±0,00451

9,122±0,00457

1,325±0,00411

0,124±0,00914

2,004±0,00254

7,894±0,00214

0,564±0,09451

0,124±0,00784

Вариант

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

478957 4,2547

147254 6,5454

587432 45,1473

968515 9,2594

125214 15,2362

697845 32,6542

665665 21,2154

251421 23,5452

985252 21,1245

586545 12,2149

2

2,00142

0,01245

0,00328

1,00023

5,23452

0,00124

0,09547

3,09547

1,02149

1,0987

3

3,129±0,00369

2,196±0,00478

5,124±0,00912

1,252±0,00128

0,005±0,00125

6,952±0,00659

1,124±0,00125

1,221±0,00965

1,025±0,00012

4,144±0,03259

Вариант

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1

789547 5,1458

547854 6,5496

987251 9,9812

654488 8,4587

124793 10,5512

231298 22,1221

322534 65,4987

458762 6,6651

129598 21,1212

122419 10,1054

2

3,00912

0,00891

1,10012

6,00261

0,99811

6,0063

0,00612

1,02101

9,00321

0,0099

3

1,959±0,00327

0,124±0,00259

5,564±0,00981

9,569±0,00591

0,002±0,00457

2,045±0,00275

4,451±0,00089

2,222±0,00022

3,333±0,00545

0,009±0,00069

Вариант

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

1

547812

2,45785

564821

11,1143

932142

12,3542

651274

32,6547

265812

99,2541

754821

2,12457

652989

21,453

333214

3,25419

665865

5,62548

112414

11,2145

2

0,12487

2,00113

0,00214

0,21543

3.00215

3,00219

9,58946

6,59800

03,0025

0,00012

3

2,359±0,00014

12,457±0,00047

2,395±0,00012

3,258±0,00487

56,487±0,00047

12,784±0,00124

0,012±0,00001

54,012±0,00014

0,124±0,00004

4,587±0,00457

Задание 2:

  1. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры:
  1. В узком смысле;
  2. В широком смысле.

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

42,564

12,951

9,871

2,451

36,124

23,984

1,111

2,245

32,123

98,251

Вариант

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

10,102

54,215

2,225

3,235

9,895

3,962

7,774

8,457

12,457

9,658

Вариант

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

0,001

0,124

4,012

8,009

45,007

5,451

9,352

78,458

3,124

23.124

Вариант

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

1,254

3,258

96,254

65,241

11,254

8,521

7,254

9,256

36,254

11,247

  1. Определить какое приближенное равенство более точно:

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

или

или

 или

или

 или

 или

или

 или

 или

 или

Вариант

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 или

или

 или

или

 или

 или

 или

 или

или

 или

Вариант

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

или

или

или

 или

 или

или

 или

 или

или

 или

Вариант

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

или

или

 или

 или

 или

 или

или

 или

 или

 или

  1. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:
  1. В узком смысле.
  2. В широком смысле.

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

А

0,65498

1,24579

0,05479

3,25412

0,12496

2,05647

5,01547

2,01547

3,65487

2,00145

∆А

0,00056

0,00025

0,00065

0,00012

0,00014

0,00078

0,00045

0,00031

0,00023

0,00036

Вариант

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

А

3,12547

2,01547

0,95472

1,95478

0,01247

1,24973

3,56478

9,45879

8,56478

2,01547

∆А

0,00054

0,00085

0,00023

0,00098

0,00045

0,00012

0,00025

0,00078

0,00091

0,00056

Вариант

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

А

5,45712

5,55478

2,22547

6,56487

2,12478

0,12952

4,45127

2,12457

0,12596

0,36598

∆А

0,00056

0,00025

0,00036

0,00074

0,00012

0,00045

0,00085

0,00074

0,00069

0,00036

Вариант

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

А

3,12547

5,45712

5,55478

6,56487

0,65498

0,95472

4,45127

2,12457

2,05647

1,24579

∆А

0,00056

0,00025

0,00012

0,00045

0,00085

0,00012

0,00036

0,00056

0,00078

0,00054

Задание 3: Произвести оценку точности вычислений:

  1. Строгим методом итоговой оценки.
  2. Методом строгого пооперационного учета погрешностей.
  3. Нестрогим методом пооперационной оценки.

x

y

1

2

3

4

5

0,5

0,52

6

7

8

9

10

1,0

1,02

11

12

13

14

15

1,5

1,52

16

17

18

19

20

2,0

2,02

21

22

23

24

25

2,5

2,52

26

27

28

29

30

3,0

3,02

31

32

33

34

35

3,5

3,52

36

37

38

39

40

4,0

4,02



Предварительный просмотр:

Практическая работа №2

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления и методом простой итерации.

Задание 1

Отделите корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом. Выполните это задание с применение одного из инструментальных средств.

Задание 2.

По методу половинного деления вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10-3:

  1. С помощью расчетной таблицы и калькулятора
  2. С помощью программы для компьютера (C#, python)

Задание 3.

Вычислите один корень заданного уравнения используя метод простой итерации. Можно использовать программу для компьютера на C# или python

Номер варианта

Уравнение

Номер варианта

Уравнение

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

 
на отрезке [-1;1]

27

13

28

14

29

15

30



Предварительный просмотр:

Практическая работа №3

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и касательных

Задание:

Вычислить корень уравнения f(x)=0 с точностью Е=0,001 тремя способами (метод хорд, касательных, комбинированный метод).

Номер варианта

Уравнение

Номер варианта

Уравнение

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

 
на отрезке [-1;1]

27

13

28

14

29

15

30



Предварительный просмотр:

Практическая работа №4

Решение систем линейных алгебраических  методом Гаусса

Задание: Решить систему методом Гаусса:

  1. Вручную по схеме единственного деления, получить решение с точностью 0,001. Определить невязки.
  2. С помощью ЭВМ получить значения корней с точностью 0,000005
  3. Вычислить погрешности результатов:  полученных в результате ручных расчетов.

A1

1

10,2

5.92

13.66

20.5

10.2

A2

2

9.28

2,72

-8.00

25.78

2.72

3

63,3

1,76

20.06

-15,6

20,06

4

2,25

3.80

4,5

10.4

-63.3

1

2

3

4

-91,4

-4,92

-8,14

10,6

1

2

3

4

5

6.07

-79,6

-4,92

-2.71

-1.84

2.43

9.38

4.7

6

7

8

9

10

-1.24

-9.71

-3,12

-1.76

-14,8

20,25

-31,18

7,24

11

12

13

14

15

11,45

-13,6

19,78

25,4

-8,14

9,28

-79,6

32,6

16

17

18

19

20

-7.8

17.62

5,34

4,2

50,3

-4,92

10,2

78,24

21

22

23

24

25

14.82

-5,29

9,16

-8,6

-26,8

-24,83

25,8

32,6

26

27

28

29

30

5,61

4,73

-3,33

0,58

19,96

-43,36

78,24

9,71

31

32

33

34

35

2,14

-2,14

0,31

0.48

4,52

-3,48

5,71

9,82

36

37

38

39

40

5,49

15,17

8,31

10,01

1

2

3

4

14,61

3,67

5,44

31,17

17,51

1

A4

A3

-8,06

4,32

-3,51

17,45

53,4

2

-17,6

-3,05

0,48

-45,4

-4.35

3

18,5

-2,16

4,22

32,1

14,55

4

50,3

-0,64

0,38

-6,96

2,40

1

B

25,8

0,26

0,32

1,92

1,93

2

32,6

1,34

2,16

-2,37

-1,84

3

17,8

-1,4

2,3

2,44

9.38

4



Предварительный просмотр:

Практическая работа №5

Решение систем линейных алгебраических  уравнений приближенными методами

Задание

Решить систему линейных уравнений вида методом простых  итераций  с  точностью до 0,0001, предварительно оценив число достаточных для этого итераций. Коэффициенты и свободные члены системы взять из  таблицы  соответственно  номеру варианта.

A1

1

0.5

0.15

0

-0.12

0.06

A2

2

0,19

0

-0,03

-0,01

-0.06

3

0,02

0,15

-0,02

0

-0,03

4

0.08

-0,05

0.08

0,07

0

1

2

3

4

0

0,15

-0,17

-0,01

1

2

3

4

5

-0,3

0,15

0

0,01

0,04

-0,18

0,02

-0.03

6

7

8

9

10

0.15

-0.3

0.04

-0.05

0,04

0,18

-0,18

0,06

11

12

13

14

15

0.02

0,01

-0,01

-0.04

-0,02

0,1

-0,44

0,12

16

17

18

19

20

-0,3

-0,18

0,15

-0,48

0,07

0,17

-0,03

-0,04

21

22

23

24

25

-0,12

0,14

-0,25

0,17

0,08

-0,08

0,15

0.03

26

27

28

29

30

0,02

-0,01

-0,02

0,01

0,07

-0,04

-0,03

-0,01

31

32

33

34

35

0.14

0.24

-0.15

0.06

0,14

-0,14

0,01

0

36

37

38

39

40

0,09

-0,3

0

0

1

2

3

4

0,04

0,14

0,02

0,01

0,4

1

A4

A3

0,05

0

0,28

-0,01

0

2

-0,25

0,05

-0,15

0

0,02

3

0,14

-0,15

0,01

0

-0,31

4

1,10

1,2

0,18

1,7

1,14

1

B

2,5

-0,8

-0,83

-1,5

2,15

2

-0,32

-1,3

0,5

-0,71

-2,1

3

0,51

0,5

1,2

0,18

-1,8

4



Предварительный просмотр:

Практическая работа №6

Составление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона

Задание 1:

По заданной таблице значений функции

X

x0

x1

x2

x3

y

y0

y1

y2

y3

составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Построить его график и

отметить на нем узловые точки.

Задание 2:

 Вычислить с помощью калькулятора одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность интерполяции

вариант

X0

X1

X2

X3

Y0

Y1

Y2

Y3

-1

0

3

4

-3

5

2

-6

2

3

5

6

4

1

7

2

0

2

3

5

-1

-4

2

-8

7

9

13

15

2

-2

3

-4

-3

-1

3

5

7

-1

4

-6

1

2

4

7

-3

-7

2

8

-1

-1

2

4

4

9

1

6

2

4

5

7

9

-3

6

-2

-4

-2

0

3

2

8

5

10

-1

1,5

3

5

4

-7

1

-8

2

4

7

8

-1

-6

3

12

-9

-7

-4

-1

3

-3

4

-9

0

1

4

6

7

-1

8

2

-8

-5

0

2

9

-2

4

6

-7

-5

-4

-1

4

-4

5

10

1

4

9

11

-2

9

3

-7

7

8

10

13

6

-2

7

-10

-4

0

2

5

4

8

-2

-9

-3

-1

1

3

11

-1

6

-2

0

3

8

11

1

5

-4

-8

Задание 3:

С помощью программы на компьютере уплотните часть таблицы заданной функции, пользуясь интерполяционными формулами Ньютона

Задание 4.

  1. Построить правильную таблицу разностей заданной функции f(x) = р(х) + q(x) на участке [0,15; 0,25] с шагом h = 0,01. Значения f(x) вычислить с помощью ЭВМ и округлить до 4 знаков после запятой.
  2. С помощью формул Ньютона вычислить значения функции f(x) в двух заданных точках c и d. Провести апостериорную оценку точности вычислений.

p(x)

c

1

2

3

4

5

1/x

0,152

6

7

8

9

10

x -2

0,153

11

12

13

14

15

e2x

0,155

16

17

18

19

20

e-3x

0,158

21

22

23

24

25

1/sinx

0,161

26

27

28

29

30

0,164

g(t)

tg 2x

ln x

sin x

cos4x

10x5

d

0,238

0,241

0,245

0,246

0,248



Предварительный просмотр:

Практическая работа №7

Нахождение интерполяционных многочленов сплайнами

С помощью таблицы, содержащей 5 узлов, задана функция у = f(x). Требуется:

а) построить для нее интерполяционный полином Лагранжа (найти его коэффициенты):

б) построить кубический сплайн с непрерывной второй производной;

в) нарисовать графики полученных полинома Лагранжа и сплайна.

Из верхней таблицы выбрать значения f(x) в 5 узлах. Номера узлов определить из нижней таблицы по номеру варианта. Например, варианту 7 соответствуют узлы с номерами 1, 3, 6, 8, 10.

N узла

x

y

 1

0,2

0,6

2

0,55

0,35

3

0,65

0,45

4

1,0

0,2

5

1,1

0,3

6

1,45

0,05

7

1,55

0,85

8

1,9

0,6

9

2,0

0,7

10

2,35

0,45

1

2

3

1

3

5

4

5

6

7

1

3

6

8

9

10

11

1

4

5

12

13

14

15

1

4

6

16

17

18

19

2

3

5

20

21

22

23

2

3

6

24

25

26

27

2

4

5

28

29

30

2

4

6

7

7

8

8

9

10

9

10



Предварительный просмотр:

Практическая работа №8

Вычисление интегралов по формулам Ньютона - Котеса.

Задание:

  1. Вычислить интеграл методом средних прямоугольников с точностью 0,001. Предварительно определить число частей разбиения отрезка [а,b] на основе априорной оценки.
  2. Вычислить этот же интеграл методом Трапеций при n = 16. Произвести оценку вычислений.
  3. Вычислить этот же интеграл методом Симпсона при n = 16. Произвести оценку точности полученного значения путем двойного просчета.

a

b

1

2

3

4

5

1,0

2,2

6

7

8

9

10

2,2

3,4

11

12

13

14

15

3,4

4,6

16

17

18

19

20

4,6

5,8

21

22

23

24

25

5,8

7,0

26

27

28

29

30

7,0

8,2

31

32

33

34

35

8,2

9,4

36

37

38

39

40

9,4

10,6

f(x)

tg(sin x)



Предварительный просмотр:

Практическая работа №9

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание:

Решить дифференциальное уравнение с заданным начальным условием методом Эйлера, усовершенствованным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Расчет провести на отрезке [с,d] дважды: с шагом 0,1 и 0,05. Сделать оценку погрешности полученного решения в точке d методом двойного просчета.

Данные взять из таблицы соответственно номеру варианта.

  1.            y'=0,133·(x2 + sin2x)+0,872y

x ∈  [0,2; 1,2];  y(0,2)= 0,25

  1.      y'=0,215·(x2 + сos1,5x)+1,283y

            x ∈    [0,2;  1,2];  y(0,2)=0,25

  1.                           y' = 2x + y2

x  ∈  [0; 1];  y(0)=0,3

4.                            y' = x2 + xy

                        x∈[0;1] ; y(0)=0,2

5.                           y'= 1+0,2y⋅ sin x-y2

x∈[0; 1];  y(0)=0

  1. y'=(1- y2)⋅ cos x +0,6y

                    x∈[0; 1];   y(0)=0

  1.         y'= cos (x +y) + 0,5(x -y)

                             x∈[0; 1];    y(0)=0

  1. y' =1+0,4y⋅ sin x-1,5y2

                  x∈[0; 1];  y(0)=0

  1.          y'= cos (1,5x +y)+(x-y)

                             x∈[0; 1] ; y(0)=0

10.           y '= x +cos (y/3,16)

           x∈[0,6; 1,6];   y(0,6) =0,8

11.            y'=0,158⋅ (x2 +sin 0,8x) +1,164y

                        x∈[ 0,2; 1,2 ]; y (0,.2)=0,25

12.     y'= 0,173⋅(x2+cos 0,7x) +0,754y

                 x∈[0,2; 1,2];  y(0,2)=0,25

13.                    y'= 0,2x + y2

                       x∈[0; 1];  y(0)= 0,1

14.                    y'= x2+y

                  x∈[0; 1];  y (0)= 0,4

15.                 y'= cos (2x +y) +1,5(x - y)

                          x∈[0; 1];  y(0) = 0

16.             y'= 1+0,8y⋅ sin x-2y2

                x∈[0; 1];  y (0) = 0

17.                 y'= cos (1,5x +y) +1,5 (x - y)

                        x∈ [0; 1];  y(0) = 0

18.           y' =1 +(1- x)⋅ sin y- (2+x)y

                    x∈[0; 1];  y(0)=0

19.             y'= 1+2,2⋅sin x -1,5y2

                  x∈[0; 1];  y(0)=0

20.             y'= x +cos (y/3,14)

               x∈[1,7; 2,7]; y(1,7)=5,3

21.            y'= 0,221⋅ (x2+ sin 1,2x)+0,452y

                 x∈[0,2; 1,2];  y(0,2)=0,25

22.          y'=0,163⋅(x2+cos 0,4x)+0,635y

                 x∈[0,2; 1,2]; y(0,2)=0,25

23.                          y'= x2+2y

                            x∈[0,1;];  y(0)=0

24.                     y'= x y + y2

                     x∈[0; 1];  y(0)= 0,6

25.       y'= cos (x + y) + 0,75(x - y)

               x∈[0; 1];  y(0)=0

26.           y'=(0,8-y2)⋅cos x+0,3y

                x∈[0; 1];  y(0)=0

27.       y'= cos (1,5+y) + 2,25(x + y)

                    x∈[0; 1];  y(0)=0

28.       y'=1+(x-1)⋅ sin y +2(x + y)

                     x∈[0; 1];  y(0)=0

29.                     y'= 0,6⋅sin x-1,25y2+1

                             x∈[0; 1];  y(0) = 0

30.            y'= x + sin(y/3,9)

               x∈[0,2; 1,2];  y(0,2)=1,1

  1. y'=0,218⋅ (x2+ sin 1,6x)+ 0,718y

                   x∈[0,2; 1,2]; y(0,2)= 0,25

  1. y'= 0,145⋅ (x2+ cos 0,5x) +0,842y

                      x∈ [0,2; 1,2 ];  y(0,2)=0,25

  1.                y'= x2 + y2

               x∈ [0; 1];  y(0) = 0,7

  1.                  y'= x2+ 0,2y2

                      x∈ [0; 1];  y(0) =0,2

  1.                y'= x +

                          x∈ [1; 2;];  y(1) = 1

  1. y' = +

           x∈ [1; 2];  y(1) = 1



Предварительный просмотр:

Практическая работа №10

Численное решение задачи  оптимизации.

Задание:

Найдите минимум функции f(x) на указанном отрезке двумя способами: половинного деления и золотого сечения:

  1. «Вручную» с точностью, доступной за 2 шага вычислительного процесса;
  2. С помощью программ для ЭВМ с точностью 1*10-6
  3. С помощью одного из инструментальных средств с точностью 10-6

Номер варианта

F(x)

Отрезок

Номер варианта

F(x)

Отрезок

1

[-3; 0]

16

[0,5; 4]

2

[0; 3]

17

[-1; 3]

3

[0; 3]

18

[-3; 2]

4

[0,2; 3]

19

[1; 3]

5

[0; 4]

20

[-3; 0]

6

[-4; 0]

21

[-3; 2]

7

[0,5; 4]

22

[0;1]

8

[0; 4]

23

[0; 1]

9

[5; 10]

24

[-1; 0]

10

[2; 6]

25

[0,5;1,5]

11

[-5; -0,5]

26

[0;1]

12

[2; 7]

27

[-1; 0]

13

[-2; 4]

28

[0;1]

14

[4; 9]

29

[0,8; 1,2]

15

[1; 3]

30

[0,5; 1]