Дистанционное обучение

Решение уравнений с модулем. 6-й класс

Цели урока:

• обучение решению уравнений со знаком модуля на основе применения свойств уравнений;
• развитие навыков теоретического мышления с применением навыков элементарных операций с модулем и определения модуля;  внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем.

ХОД УРОКА

I. Повторение

Внимательно рассмотрите предложенные уравнения:

1) | х | = х + 5;          2) | х | = – 3х + 5;                      3) | х – 3 | = 2;                4) | 2х – 5 | = х – 1;

5) = х – 1;                     6)  | 2х – 5 | = 2 – х;                       7)  | х + 2 | = 2(3 – х);

8)  | 3х – 5 | = | 5 – 2х | ;    9)  | х – 2 | = 3 | 3 – х | ;                              10) |  | х – 1 |  – 1 | = 2.

Мы должны научиться решать уравнения.

Учитель. Да. Но посмотрите еще раз на все эти уравнения и выделите их общую особенность.

Учащиеся. Все они содержат модуль.

Учитель. Как точнее сформулировать задачу нашего урока?

Учащиеся. Применять определение модуля при решении данных уравнений.

Учитель. Действительно, эту задачу мы и должны решить на уроке. По-другому ее можно сформулировать так: “Как решать уравнения с модулем?” Какие понятия, определения могут быть полезны при решении этой задачи?

Учитель. Вспомним, что такое модуль.

Учащиеся. По определению:

Повторение:  |10 | = 10;  | – 20 | = 20;  | 0 | = 0;     | – 100 | = 100.

Задание 2. Вычислите | а |, если: а = 3; а = – 5.

1) | а | = а,   если ,  поэтому | 3 | = 3, так как 3 > 0 (число положительное).

2) | а | = - а,   если  а < 0,    поэтому | – 5 | = – (- 5) = 5, так как – 5 < 0 (число отрицательное).

Задание 3. Преобразуйте  данные выражения к такому виду, чтобы в записи аналитического выражения не использовались знаки модулей.

а) | х – 3 |;                  б) | 2х + 4 | + Зх;                     в) | х – 1 | + | х – 2 |.

Решение.   а) Если х – 3  0,   то есть х  3,   то | х – 3 | = х – 3;

если х – 3 < 0, то есть х < 3, то | х – 3 | = (х – 3) = 3 – х.

Решение.   б) Если 2х + 4  0,  то есть  х  – 2,  то  | 2х + 4 | = 2х + 4  и мы получаем:

            | 2х + 4 | + 3х =  2х + 4 + 3х  =  5х + 4.

Если 2х + 4 < 0,  то есть  х < –2, то | 2х + 4 | = – (2х + 4)   и мы получаем:

       | 2х + 4 | + 3х  = – (2х + 4) +3х  = –2х – 4 + Зх =  х – 4.

Итак, по определению:

Решение.   в)  Если х < 1,  то х – 1 < 0,  х – 2 < 0,  значит,    | х – 1 | = – (х – 1),

 | х – 2 | = – (х – 2),    поэтому | х – 1 | + | х – 2 | = – (х – 1) – (х – 2) = 3 – 2х.

Если   1  х < 2, то (х – 1)  0, (х – 2) < 0,    значит | х – 1| = х – 1,    | х – 2 | = – (х – 2),

поэтому | х – 1| + | х – 2 | = (х – 1) – (х – 2) = 1.

Если  х 2, то (х – 1) > 0,  значит | х – 1 | = х – 1,     | х – 2 | = х – 2,  

поэтому | х – 1 | + | х – 2 | = х – 1 +  х – 2 = 2х – 3.

Учитель. Итак, повторяя, мы вспомнили, что модуль – это расстояние. Объясним это с помощью рисунков: | а – 0 | = | а | – расстояние на координатной прямой точки   а   от начала координат.

Учитель. Что такое | а – b | с точки зрения расстояния? | a – b | – это расстояние между точками а и b  на  координатной прямой.

Задание 4. Решите уравнение | х | = 5.

Учитель. Что нужно найти?

Учащиеся. Все значения x такие, что соответствующие точки х на координатной прямой удалены от начала координат на расстояние 5.

Учитель. Изобразите это на координатной прямой. Сколько получили точек?

Учащиеся. Две.

Учитель. Назовите их.

Учащиеся. 5 и – 5. (Отмечают их на координатной прямой.)

Учитель. Сколько корней имеет это уравнение?

Учащиеся. Два.

Учитель. Назовите их.

Учащиеся. 5 и – 5.

Учитель. Запишем решение этого уравнения.

| x | = 5,
x1 = 5,
x2 = –5.

Ответ: 5, –5.

Примечание. При решении уравнений   1) – 10)  обычно составляют систему, содержащую уравнение, требующее решения, и неравенство, учитывающее определение модуля.

В 6-м классе учащиеся еще не изучают решение числовых неравенств, поэтому мы вынуждены решать не систему, а уравнение, опираясь на определение модуля, и в конце делать проверку, чтобы удалить значения переменной, не являющиеся корнями уравнения.

Задание 5. Решите уравнение | х – 3 | = 2.

Учитель. Изобразим на координатной прямой  ( схематически).  Отметим расстояние от точки 3 влево и вправо на 2 единицы.

Учитель. Сколько точек получилось?

Учащиеся. Две.

Учитель. Найдите значения отмеченных точек при перемещении вправо и влево. Какие координаты отмеченных точек мы получим?

Учащиеся. 5 и 1.

Учитель. Что это за числа?

Учащиеся. Корни данного уравнения.

Учитель. Запишем решение данного уравнения.

| х – 3 | = 2.

Решение.

1).     х – 3 = 2,    х = 2 + 3,     х = 5;

2).     х – 3 = – 2,  х = –2 + 3,   х = 1.

Ответ: 5, 1.

Задание 6. Решите уравнение | 2х – 5 | = 2 – х.

Решение.

1).  2х – 5 = 2 – х,    2х + х = 2 + 5,    Зх = 7,      х = 2;

2).  2х – 5 = – (2 – х),    2х – 5 = –2 – х,     2х – х = – 2 + 5,     х = 3.

Проверка: | 2 · 2 – 5 | = 2 – 2;      | 2 · 2 – 5 | = – ;

| 2 · 3 – 5 | = 2 – 3, | 2 · 3 – 5 | = – 1.

В обоих случаях значение модуля оказывается меньше нуля, что противоречит свойству модуля. Значит, х = 2  и   х = 3 не являются корнями исходного уравнения.

Ответ: нет решений.

Пример.   Решить уравнение   | Зх – 5 | = | 5 – 2х |.

Решение. Рассмотрим  четыре  случая:

1).    Зх – 5 = 5 – 2х,   3х + 2х = 5 + 5,    5х = 10,   х = 2

      2). – (Зх – 5) = – (5 – 2х),   -3х + 5 = -5 + 2х,    - 5х = - 10,   х = 2

      3).   Зх – 5 = – (5 – 2х),  3х – 5 = - 5 + 2х,   Зх – 2х = – 5 + 5, х = 0.

      4).   – (Зх – 5) = 5 – 2х,  - 3х + 5 = 5 – 2х,  - х = 0,  х = 0

Ответ: 0, 2.

II. Самостоятельная работа

Решите по выбору одно из следующих уравнений.

1).    | х – 2 | = 1.               2).   | – | = х – 1.         3).    | х – 2 | = 3 | 3 – х |.

Критерии оценок:

• оценка “3” – уравнение 1;
• оценка “4” – уравнение 2;
• оценка “5” – уравнение 3.

Дополнительное задание.  Рассмотрим решение  уравнения       | | х – 1 | – 1 | = 2.

Решение.

1).  | х – 1 | – 1 = 2,

 | х – 1 | = 3;

х – 1 = 3  или  х – 1 = - 3

 х = 4  или  х =  -2

2).    | х – 1 | – 1 = – 2,

      | х – 1 | = – 1;

тогда нет решения, так как модуль (расстояние) – неотрицательное число.

Проверка:

| | 4 – 1 | – 1 = 2, | | 3 | – 1| = 2, | 3 – 1 | = 2, | 2 | = 2, 2 = 2 – верно;

| | - 2 – 1 | – 1| = 2, | | –3 | – 1 | = 2, | 3 – 1 | = 2, | 2 | = 2, 2 = 2 – верно.

Ответ: – 2, 4.

Вопросы при решении уравнения.

1. Чем данное уравнение отличается от предыдущих? (Двойным модулем.)

2. Сколько сначала составим уравнений? (Два.)

3. Какие могут получиться уравнения? (| х – 1 | – 2 = 2, | х – 1 | = 3; | х – 1 | – 1 = –2, | х – 1 | = –1.)

4. Что можно сказать об уравнении | х – 1 | = –1? (Нет решений, так как модуль (расстояние) – неотрицательное число.)

На этом уроке мы узнаем основное свойство дроби, узнаем, какие дроби являются эквивалентными друг другу. Научимся сокращать дроби, определять, является ли дробь сократимой, попрактикуемся в сокращении дробей и узнаем, когда стоит использовать сокращение, а когда нет.

  1. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Представьте себе такую ситуацию.

За столом 3 человека и 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достается по  яблока.

А за соседним столом еще 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по  яблока.

При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по   яблока.

Но это одно и то же.      .     Эти дроби эквивалентны.

Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.

В математике это формулируется так:   Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной.

Это свойство иногда называют «основным свойством дроби».

 Примеры эквивалентных дробей

1. Путь от города до деревни – 7 км.  Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя три столбика, три километра, мы понимаем, что прошли  пути.

Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 20 штук на каждый километр. То есть всего 140 на всем пути. Три километра –  столбов. То есть мы прошли 60 из 140 столбов, .

2. Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь  отметим точку с координатой 3 по оси  и 4 по оси .

 Проведем прямую из начала координат через нашу точку.

На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби .  

Они являются эквивалентными:       (см. Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к примеру                                                            Рис. 2. Иллюстрация к примеру

 3. На рисунке 2 два дома. Первый – высотой 6 метров и шириной 4, а второй – высотой 12 метров и шириной 8. Размеры разные, но дома по форме похожи. У них одинаковые пропорции, одинаковое отношение высоты к ширине.    

 2. Сокращение дроби

Дробь  можно было получить из    умножением числителя и знаменателя на 4:    

или из    умножением на 2:    

Но точно так же можно и вернуться назад.

У дроби  можно числитель и знаменатель разделить на 2, получить :      

Или числитель и знаменатель разделить на 4, получить :

Вот такой переход от одной дроби к другой с помощью деления числителя и знаменателя на одно и то же число называется  сокращением дроби.

У дроби     можно разделить числитель и знаменатель на 100.    Получим   .

Это эквивалентная запись, но она короче. Мы сократили запись. Сократили дробь:    

 3. Сократимые и несократимые дроби

Посмотрим еще раз на цепочку эквивалентных дробей.    

Дробь  можно сократить на 2 и получить  или сократить на 4 и получить .

Дробь  нам не получится сократить до  или , зато легко сократить на 5 и получить .

Только одну дробь  из  представленных  мы не можем сократить: .  

Такая дробь называется несократимой.   Ее нельзя сократить.   Остальные сократимые.

Их можно сократить.

 4. Пример 1

Рассмотрим дробь    .

Чтобы понять, можно ли ее сократить, нужно узнать, существует ли число, на которое делится и числитель, и знаменатель, есть ли общий делитель.

42 делится на 2, но 273 на 2 не делится.

42 делится на 3 (сумма цифр 6 делится на 3), и 273 делится на три (сумма цифр 12).

Значит, мы можем поделить числитель и знаменатель на 3, сократить дробь на 3.

Можно ли сократить полученную дробь дальше?

14 делится на 2 и на 7,   а    91 не делится на 2, но на 7 делится.

Значит, дробь можно сократить на 7.

Для чисел 2 и 13 нам уже не найти общего делителя.

Дробь  несократима.

Не всегда легко, глядя на дробь, понять, можно ее сократить или нет.

Что нам может помочь в этом?

Чтобы сократить дробь, нужно найти общий делитель для числителя и знаменателя.

Но делители числа и его множители – это одно и то же.

         2 и 5 – это множители, но на них можно разделить. Поэтому они же и делители.

То есть разложение на множители – это и разложение на делители.

Вернемся к нашему примеру.

Если бы числитель и знаменатель были разложены на множители, мы бы сразу поняли, как сократить дробь.

Общие множители (делители) – 3 и 7. На них и сокращаем.      

 5. Пример 2

Сократить дробь, разложив на множители числитель и знаменатель.  

Разложим 60 на множители:    

Разложим 126 на множители:    

Сократим на общие множители, на 2 и на 3. Больше общих множителей (делителей) нет. Перемножим оставшиеся множители:

 6. Задача

В школе 4 первых класса, и в каждом учится 27 учеников.  Есть 12 коробок мандаринов, в каждой по 45 штук. Сколько каждому первокласснику достанется мандаринов, если их поделить поровну?

Понятно, что надо количество мандаринов разделить на количество первоклассников.  

Найдем и то и другое.

 первоклассников.

 мандаринов.

Осталось разделить.         мандаринов на первоклассника.

Но можно было и упростить себе задачу, ведь у нас уже было разложение на множители:

Не будем сразу считать, сколько мандаринов и сколько учеников. Сначала сократим нашу дробь. 12 и 4 делятся на 4. 3 и 27 делятся на 3.      Это решение оказалось проще.

 7. Задание 1

Сейчас самостоятельно сократите следующие дроби:                

Проверка:

2.   ;                  3)    

8. Задача 2.   Докажите, что дробь несократима:          

Проверка:   разложим на простые множители числитель и знаменатель:

Общих множителей (общих делителей) нет. Значит, сократить невозможно. Дробь несократима.

Такие числа, как 220 и 273, не имеющие общих делителей, кроме 1, мы называем взаимно простыми.

То есть можно сказать про несократимую дробь следующее: дробь несократима, если ее числитель и знаменатель – взаимно простые числа.

 9. Заключение.     Подведем итог.

1. Сократить дробь – означает разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (не равное нулю). В результате получаем равную (эквивалентную) дробь, но с меньшими числителем и знаменателем.
2. Чтобы сократить дробь, нужно последовательно проверять, на что делятся числитель и знаменатель. Если находятся общий делитель, то на него и сокращать.
3. Если разложить числитель и знаменатель на множители, то это упростит сокращение.

 Всегда ли нужно сокращать?

Фраза: «Цена выросла на 20 %» буквально означает «цена выросла на », так как .

Дробь можно сократить. Получится .              Мы могли бы сказать: «цена выросла на ».  Это, конечно, то же самое. Но общая договоренность – говорить в процентах. Поэтому удобнее оставить эту величину в процентах, не сокращая дробь.

Сокращение – это инструмент. Но мы не обязаны его применять, если не считаем, что так станет проще.

 Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. http://​school-assistant.​ru/?​predmet=matematika&​theme=sokrashenie_​drobei
2. http://​www.​matematika-na.​ru/​6class/​mat_​6_​9.​php
3. http://​festival.​1september.​ru/​articles/​511420/​

Домашнее задание

1. Сократите заданные дроби.

Если дробь десятичная, то представьте ее в виде обыкновенной дроби:     ; ;

2. Решите задачу. На уроке физкультуры ученики 2 класса прыгали с места. Вася прыгнул на расстояние  метра, а Коля – на расстояние  метра. Чей прыжок длиннее и на сколько сантиметров?

3. Сравните дроби:     и   ;        и ;         и  ;      и  .

Домашнее задание по геометрии  к   09.03.2016.

 Переписать в свою рабочую тетрадь № 71,72,73.  Это поможет вам выучить теоретический материал и запомнить решение. К задачам необходимо выполнить рисунок и нанести данные.

Домашнее   задание  по  геометрии ( 8 класс)  к   11.03.2016.

Переписать в свою рабочую тетрадь.  Обязательно записать  ДАНО и выполнить рисунок.

ЗАДАЧА  ИЗ УЧЕБНИКА № 600.