Проблемное обучение

Учитель

Ученик

Доска  

Устно: 1) теория (в том числе свойства деления чисел)

             2) № 72, 75

(ab) : c = (a : c) b

(a + b) : c = a : c + b : c

Создание проблемной ситуации.

Следующее задание выполняйте в тетрадях:

Какие из чисел 37843, 48345, 75634, 112353, 846, 262370, 84537 а) кратны 2; б) кратны 5; в) кратны 10; г) кратны 3; д) кратны 9.

Побуждающий диалог:

1. Вы сумели выполнить задание?

2. Не полностью.

3. Что не получается?

4. Задания г) и д).

5. Какой возникает вопрос?
   
6. Какова тема урока?

7. Как узнать делится ли число на 3 и на 9?
   
8. Признаки делимости на 3 и 9.

Признаки делимости на 3 и 9.

Поиск решения.

1. Подумайте, нельзя ли использовать какое-либо свойство деления чисел?

1. Свойство деления суммы чисел на данное число.

(a + b) : c = a : c + b : c

2. Проверим, делится ли 48345 на 3. Для  этого представим число 48345 в виде суммы.

3. 48345 = 48000 + 300 + 45.
   

Каждое слагаемое делится на 3, значит,  число 48345 делится на 3.

48345 = 48000 + 300 + 45

4. А 846 делится на 3 или 9?

5. Представим в виде суммы:
   

846 = 800 + 40 + 6 – не подходит;

846 = 810 + 36 – каждое слагаемое делится на 3  (на 9), значит, число 846 делится на 3 (на 9).

846 = 800 + 40 + 6

846 = 810 + 36

6. Попробуете теперь быстро подобрать сумму для числа 112353!

7. Сложно.

8. Про числа 48345 и 846 мы уже знаем, что они делятся на 3. Найдите сумму цифр каждого числа.

9. Сумма цифр числа 48345 равна 24, а у числа 846 сумма цифр равна 18.

4+8+3+4+5 = 24

8+4+6 = 18

10. Обратим внимание, что числа 24 и 18 делятся на 3. Какой вывод теперь вы можете сделать?

11. Число делится на 3, если сумма цифр этого числа тоже делится на 3.

12. Аналогично формулируется признак делимости на 9.

13. Число делится на 9, если сумма цифр этого числа тоже делится на 9.

Учитель

Ученик

Доска  

Задание: заполнить таблицу.

Число

2

3

4

6

11

15

12

9

17

Его делители

(Устно проверить.)

Подводящий от проблемы диалог

1. На какие две группы можно разделить эти числа?
   

(вводим понятие простого и составного числа)

1. Однозначные и двузначные
   
2. Четные и нечетные
   
3. Имеющие два делителя и имеющие более двух делителей.

Натуральные числа имеющие:

два делителя

более двух делителей

называются

простыми числами

составными числами

(2, 3, 5, 7, 11, 13, …)

(4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, …)

8. О каком натуральном числе мы пока ничего не сказали?
   
9. Кто может объяснить, является ли 1 простым или составным числом?

10. О числе 1.
    

11. Число 1 не является ни простым, ни составным, т.к. имеет только один делитель.

1 -  ни простое, ни составное число.

1. Верно ли, что все четные числа – составные?

12. Нет. Число 2 – четное, но оно простое.

Четные числа – составные, кроме числа 2.

Историческая справка: ещё в III в. до н.э. древнегреческий математик Эратосфен предложил способ отыскания простых чисел, который до сих пор называется «решето Эратосфена». Он записывал все числа от 1 до какого-либо числа, а потом зачеркивал 1 (она не является ни простым, ни составным числом), затем зачеркивал через одно все числа, идущие после числа 2 (они все составные, т.к. кратны 2). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (они все кратны 3, т.е. составные). В конце такой работы оставались невычеркнутыми только простые числа. Так как греки писали на покрытых воском табличках или на папирусе, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце работы напоминала решето, в котором отсеяли простые числа от составных.

Учитель

Ученик

Доска  

Устно:

1) Давайте повторим правила округления чисел.

1. Если цифра, следующая за разрядом, до которого округляем меньше 5, то цифру нужного разряда оставляем прежней, а цифры справа от нее заменяем нулями и отбрасываем.
   
2. Если же цифра, следующая за разрядом, до которого округляем больше или равна 5, то цифру нужного разряда увеличиваем на 1, а цифры справа от нее заменяем нулями и отбрасываем.

Округлить число 14,527  

до сотых: 14,527≈14,53

до десятых: 14,527≈14,5

до единиц: 14,527≈15

2) А теперь вспомним, с какими геометрическими фигурами мы знакомы?

(На доску проецируются рисунки с изображением прямоугольника, квадрата.)

1. Какая это фигура?
   
2. Что можно найти измерением?
   
3. Что можем вычислить, зная длины сторон?
   
4. Какова формула периметра?

5. Прямоугольник./ Kвадрат.
   
6. Стороны.
   
7. Периметр.
   
8. P = 2(a +b) / P = 4a.

P = 2(a +b); P = 4a.

(На доску проецируются рисунок с изображением круга.)

9. Какая это фигура?
   
10. Какая фигура является границей круга?
    
11. Где в жизни мы встречаемся с формами, дающими представление об окружности?
    
12. Как мы можем измерить, например,  длину бордюра круглой клумбы или длину границы цирковой арены? 
    
13. Применим ли этот метод для измерения длины траектории движения спутника или длины экватора Земли?

1. Круг.
   
2. Окружность.
   
3. Обод колеса, бордюр клумбы, экватор, орбита космического корабля.
   
4. При помощи веревки, длину которой потом измерить линейкой или рулеткой.
   
5. Нет.

Сегодня на уроке перед нами стоит задача:

 найти универсальный способ для нахождения длины окружности.

Тему урока запишите в бланке лабораторной работы,  которые лежат перед вами. 

Длина окружности

С – длина окружности.

3) Давайте теперь вспомним основные элементы окружности. 

1. Назовите центр окружности?
   
2. Чем в окружности является отрезок АВ?
   
3. Чем является в окружности отрезок ОВ?
   
4. Какой буквой обозначаются радиус и диаметр?
   
5. Есть ли еще на рисунке радиусы?
   
6. Как связаны радиус и диаметр? 
   

1. Точка О.
   
2. Диаметром.
   

3. Радиусом.
   

4. r, d
   

5. OA
   
6. Диаметр равен двум радиусам.

Слайд  с изображением окружности и её элементов.

1. AB = d
   

2. ОB = r = OA
   

3. r, d
   

4. d = 2r

Лабораторная работа:

Ребята, а ведь еще в глубокой древности было установлено, что существует зависимость между длиной окружности и её диаметром. Давайте и мы попробуем найти эту зависимость,  для этого вы переходите к выполнению лабораторной работы, в которой будете использовать способ измерения длины окружности, предложенный вами, но для удобства будете пользоваться не верёвочкой и гибким метром, а ниткой и линейкой.

На слайде - описание лабораторной работы:

1. Проведите диаметр и измерьте его

2. С помощью нитки или гибкого метра измерьте длину окружности

3. Сделайте вывод: примерно во сколько раз длина окружности больше своего диаметра (результат деления округлите до целых).

Учащиеся выполняют лабораторную работу в тетрадях, а один ученик получает индивидуальное задание для работы у доски: разделить длину окружности на её диаметр, если С=22м, d=7м.

С=22м, d=7м

С : d = 22 : 7 =

1. Какой вывод вы сделали?

2. Для каждой окружности её длина примерно в 3 раза больше диаметра.

С : d ≈ 3

Беседа о числе π :

Ещё наши далекие предки много веков назад заметили, что для того, чтобы сплести корзину нужной ширины, или, как мы теперь говорим, диаметра, нужно было брать прутья примерно в три раза длиннее. Это было первое открытие, с тех пор прошло немало веков, прежде чем ученые доказали, что результат деления длины окружности на её диаметр будет одним и тем же и выражается не натуральным числом. Если вы, ребята, округлили ваш результат, то ваш товарищ  попробовал разделить С=22 на d=7 до конца. Посмотрим, что у него получилось?

С : d = 22 : 7 = =3,14159265389793238462643…

1. Какая получается десятичная дробь?
   

 К такому выводу пришел древнегреческий ученый Архимед. Именно он предложил считать это число равным . В 1706 году английский математик Уильямс Джонс для него ввел специальное обозначение:  π (пи) - это первая буква слова “периферия”, в переводе с греческого “окружность”.   О нём говорят, как о неуловимом числе. Вот как, например, выглядит значение π с семью знаками после запятой: 3,1415926… .  

Для запоминания этих цифр есть стихотворение:

Нужно только постараться,
И запомнить все как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

3. Бесконечная.

Портрет Архимеда.

π (пи) – от греческого “периферия”- “окружность”

π =

π = 3,1415926… .

Вывод формулы (заключение):

Итак, мы получили, что отношение длины окружности к её диаметру равно числу π.

4. Выразите  из этой формулы длину окружности С.
   
5. А что получим, если учесть зависимость между диаметром и радиусом окружности?

6. С = π d
   

7. С = 2π r

С : d = π

С = π d

С = 2π r

Эта формула - это и есть универсальный способ для нахождения длины окружности.

Учитель

Ученик

Доска  

Выполните задания в тетради.

1) Проверьте, верны ли равенства:

 = ;  = 0,6; 0,8 : 0,3 = 8 : 3;

15 : 10 = 25 : 20.

Один ученик выполняет проверку у доски так, чтобы остальные не видели результата его работы.

1) =  - не верно;

  = 0,6 - верно;

0,8 : 0,3 = 8 : 3 - верно;

15 : 10 = 25 : 20 – не верно.

2) Найдите отношения чисел:

3 и 4;  0,8 и 0,9;  5 и 4;  15 и 20;  16 и 18;

0,2 и 0, 16.

3 : 4 =  = 0,75

0,8 : 0,9 = 8 : 9 =

5 : 4 =  = 1,25

15 : 20 =  =  = 0,75

16 : 18 =  =

0,2 : 0,16 = 20 : 16 =  = 1,25

3) Подчеркните равные отношения. Запишите верные равенства.

3 : 4 = 15 : 20

0,8 : 0,9 = 16 : 18

5 : 4 = 0,2 : 0,16

Каждое из записанных равенств представляет собой равенство двух отношений. Такие равенства называют пропорцией.

1. Какова же тема нашего урока?

2. Пропорция.

Пропорция

1. Запишите определение пропорции в тетрадь.

2. Равенство двух отношений называется пропорцией.

3 : 4 = 15 : 20

0,8 : 0,9 = 16 : 18

5 : 4 = 0,2 : 0,16

0,8 : 0,3 = 8 : 3

1. Найдите в первом задании пропорцию.

2. 0,8 : 0,3 = 8 : 3

Пропорцию читают так: «нуль целых восемь десятых так относится к нулю целым трем десятым, как 8 относится к 3»

Учащиеся проговаривают на примере других пропорций.

Далее вводим понятия крайних и средних членов пропорции.

0,8 : 0,3 = 8 : 3

0,8 и 3 – крайние члены пропорции

0,3 и 8 – средние члены пропорции

4) Найдите в каждой пропорции произведение крайних и средних членов.

0,8 ∙ 3 = 2,4 и 0,3 ∙ 8 = 2,4

0,8 ∙ 18 = 14,4 и 0,9 ∙ 16 = 14,4

5 ∙ 0,16 = 0,8  и 4 ∙ 0,2 = 0,8

0,8 ∙ 3 = 0,3 ∙ 8

0,8 ∙ 18 = 0,9 ∙ 16

5 ∙ 0,16 = 4 ∙ 0,2

1. Какой вывод можно сделать?

2. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Это утверждение в математике в математике называется основным свойством пропорции.

Основное свойство пропорции используется для нахождения неизвестного члена пропорции.

a : b = c : d

a ∙ d = b ∙ c – основное свойство пропорции

х : 12 = 75 : 15

15 ∙ х = 12 ∙ 75

15 х = 900

х = 900 : 15

х = 60

Ответ: 60