Квадратичная функция с параметрами в природе, физике, экономике.

  Группа «физики»: «Квадратичная функция с параметрами в физике»

        В Древней Индии были  распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические уравнения».

Изучение многих физических процессов и закономерностей приводит к решению задач с параметрами. Рассматривая траекторию полета камня, брошенного над горизонтом, линии струй фонтана, полет космической ракеты мы видим их разнообразие и явное сходство.

Параболы используются в радиолокации при создании узконаправленных антенн, в астрономии –радиотелескопы, ярким примером является Зеленчугская обсерватория. Для уменьшения размеров телескопов используются параболические зеркала. А также применение парабол мы наблюдаем в самолетостроении, в баллистике и автомобильной промышленности (для уменьшения сопротивления воздуха-обтекаемости). В спортивных состязаниях в таких видах, как метание копья и молота, толкание ядра и других видах легкой атлетики присутствует движение по параболе. Зададим вопрос, отчего зависит многообразие линий параболы и можем сказать: «От разных значений коэффициентов квадратичной функции, то есть параметров».

           1.Зависимость перемещения тела от времени при равноускоренном движении прямо пропорционально квадрату времени движения S=at2/2.

2. При стрельбе на горизонтальной поверхности под различными углами к горизонту зависимость дальности полета снаряда от угла вылета выражается формулой:

Из этой формулы следует, что при изменении угла вылета снаряда от 90° до 0° дальность его падения сначала увеличится от нуля до некоторого максимального значения, а затем снова уменьшится до нуля. Из этой формулы следует, что максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе) под углом 450;

3. Примерами  зависимостей квадратичной функции являются зависимости мощности электрического тока P=I2R при постоянном сопротивлении, угол поворота при равнопеременном движении ϕ=ω0t+εt2/2, кинетической энергии E=mv2/2 и другие формулы, связывающие различные физические величины.

4. Иллюстрацией вида графика квадратичной функции (параболы) является траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

5.Основное уравнение МКТ идеального газа (различные формы записи)Р=1/3 рv2, где Р-давление, р-плотность, v-средняя квадратичная скорость.

6. При протекании электротока I(Ампер) через проводник, на концах его наводится разница потенциалов – электронапряжение U(Вольт), значит проводник имеет некоторое электрическое сопротивление R(Ом):

R=U/I =t*U/Q =U2/P, где Р-мощность преобразования энергии.

7. Квадратичная зависимость скорости света подтверждается астрономическими наблюдениями. Количественный преобразовательный коэффициент равен:

 СZ = S*w2 = r2*w2 = (r*w)2, (метр2)

и есть полная площадь сечения материи, описывает количество материи для электрической индуктивности и выражено в квадратичной зависимости от величины «длинна» и величины «число витков».

Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки (рис. 1) под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения.

Рис. 1

Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (рис. 2).

Рис. 2

Очевидно, что пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в ее фокусе. На этом основана идея телескопов-рефлекторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения. Любопытно, что параболоид вращения образует поверхность жидкости в цилиндрическом сосуде, если его вращать относительно своей оси.

Если параболоид вращения равномерно сжать к одной из плоскостей, проходящих через его ось, то получается поверхность, которая называется эллиптическим параболоидом. Это название объясняется тем, что любое плоское сечение этой поверхности - либо эллипс, либо парабола (рис. 3). Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

.

Рис. 3

Если , то такой эллиптический параболоид будет параболоидом вращения.