Тема урока:

Методы решения тригонометрических уравнений.

    Цели: Отработка навыков решения тригонометрических уравнений различными способами. Развивать монологическую речь в ходе обоснования выполняемых действий. Развивать интерес к предмету. Продолжать развивать навыки групповой работы. Воспитание самостоятельности и ответственности за качество своих знаний.

             Эпиграф: «Начни,  и дело будет                                                                                      сделано». Гёте.                                              Учитель: Сегодня мы повторим и отработаем методы решения тригонометрических уравнений.                                                                             Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы быстро решить то или иное уравнение на экзамене в форме ЕГЭ.

Оборудование: таблица с методами решения тригонометрических уравнений

Методы:

1) Разложение на множители                                                            

2) Сведение к квадратному уравнению

3) Универсальная подстановка 

Sin x=

Cos x=

4)Введение вспомогательного угла

5) Метод деления левой и правой части на sin или cos в степени равной степени уравнения (однородные уравнения)

6) Использование условия равенства тригонометрических функций

7) Использование свойств ограниченности функций (метод оценки левой и правой части)

8) Понижение степени с помощью формул:    

Sin²x=

Cos²x=

9) Графический метод

                    План урока:

        1.Актуализация знаний  с помощью  таблицы методов решения тригонометрических уравнений.

        2.Индивидуальная работа по решению заданий группы С, В.

        3. Работа в группах.

        4. Защита решений групп у доски.

        5. Итог урока.

        6. Домашнее задание.

                          ХОД  УРОКА:

1.Актуализация знаний.

 Выбрать способ решения уравнения:

1) cos²x - 5cos x + 4=0

2) 5sin x - 2cos x=0

3) Sin2x - sin x=0

4) =1

5) Tg x= (cos⁴  - sin⁴ )

6) sin²x – 2sin x cos x – 3cos²x=0

7) Cos x + sin x =1

8) Cos2x=cos x

9)2cos4x + 5sin4x= -2

10) Sin² 2x + sin²3x + sin²6x=0

11) Sin  - cos6x=2

12) 2sin(x - ) + 1|=a            [-2π;2π]

Учащиеся  проговаривают способ  решения уравнения №12   (график, которого высвечивается на

компьютере ).

Сколько корней имеет уравнение?

Если а<0

Если а=0

Если 0<а<1

Если а=1

Если 1<а<3

Если а=3

2. Индивидуальная работа  (решение задач из ЕГЭ).

Решение задач из группы С  (работают 2 ученика у доски, остальные на местах).

1 уравнение.

 + =8

Решение:                                                               + =8                               =|x| , то имеем: |sin0,5x-3|+|2sin0,5x-5|=8

Ограничение:  sin0,5x € [-1;1]

                            Sin 0,5x € [-4;-2]

                          2sin0,5x € [-2;2]

                          2sin0,5x-5 € [-7;-3]

         |x|=         x, если x>0

                           x, если x<0

-sin 0,5 x+3-2sin0,5x+5=8

    -3sin0,5x=0              

-sin0,5x=0

0,5x=π_n            x=2π_{n, n€z}

2 уравнение.

sin²2z + sin²3z + sin²4z + sin²5z=2

Решение:

 +  +  + =2

cos4z+cos6z+cos8z+cos10z=0

2cos5z×cos z + 2cos9z ×cos z=0

2cosz (cos5z + cos9z) =0

    2cos z × cos7z × cos2z=0

cos z=0                 cos7z=0                              cos2z=0

z₁= +π_{n, n€z}                 7z= +π_n                                              2z= +π_n

                                                z₂= + , n z                    z₃= + ,n€z

        - 2 ученика выполняют задания из группы В

В1. Сколько корней имеет уравнение

(2cos²  - 1) =0

Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла:

2cos²  - 1=0

25 – 4x²≥0

B2. Метод ограниченности левой и правой части

Cos x = x²+1

Левая cos x € [-1;1]

Правая x²+1 € [1;∞)

Общее у обеих частей 1

X²+1=1; x=0      Делаем проверку.   Ответ: 0.

Учитель: Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как делает сосед. Поэтому сегодня будем не наблюдать, а отрабатывать методы решения тригонометрических уравнений.

3. Групповая работа (класс разбит на 3 группы). Каждая группа  решает уравнение своим способом.

Итак, уравнение               sin x + cos x=1

1группа.  Метод  решения: введение вспомогательного угла.

 sin x +  cos x=                

sin(x + )=

x+ =(-1)ⁿ   +π_n

x=(-1)ⁿ  - +π_n,n€z

 2группа. Метод решения: универсальная подстановка.

+ =1

2tg +1-tg² =1+tg²

2tg -2tg² =0

2tg (1-tg )=0

tg =0                    tg =1

=π_n                                   = +π_n

x=2 _n                             x= +2π_{n, n€z}

3группа. Метод решения: сведение к однородному уравнению.

2sin cos +cos² -sin² -sin² -cos² =0

2sin cos -2sin² =0             (:cos² )

2tg -2tg² =0                      tg

2tg (1-tg )=0                    =π_n

1-tg =0                              x₁=2π_n

tg =1                                 x₂= +2π_n,n€z

_{4.  Работа с шаблоном.}

_{Учитель: Вспомним  графический   метод решения уравнения у доски:}

sin x + cos x=1  

           Sin x + cos x=1

Sin x=-cos+1

y=sin x             y=-cos x + 1 (смещение на оси 1 вверх по оси ОУ)

Ответ:

X₁=2π_n

X=  +2π_n   

5. Итог урока:

-Что нового мы узнали на уроке?

- Достигли  ли мы поставленных целей?

- Какие способы решения тригонометрических                       уравнений вам больше нравятся?

-Что вызывает затруднения?

- Обогатился ли ваш запас знаний?

6. Домашнее задание:

Задача из ЕГЭ: Сколько корней имеет уравнение на     [-2π;2π]

|2sin(x- ) +1|=a