Подготовка к ЕГЭ

Слайд 1

Вариант 5. ЕГЭ 2013. Кузбасс Соловьёв Леонид Максимович, Соловьёва Галина Николаевна, учителя математики МОУ «СОШ № 3» г. Анжеро-Судженск Кемеровской области 2013 г . авторское решение ДМ 2014 авторское решение ДМ 2014 - New

Слайд 4

Окружности радиусов 13 и 20 с центрами О₁ и О₂ соответственно касаются внешним образом в точке С. АО₁ и ВО₂ - параллельные радиусы этих окружностей, причём угол АО₁О₂ равен 60⁰. Найдите АВ.

Слайд 5

1 киловатт-час электроэнергии стоит 2 рубля 90 копеек. Счётчик электроэнергии 1 показывал 45285 киловатт-часов, а 1 февраля Показывал 45430 киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за январь? Ответ дайте в рублях. Показания счётчика 1 февраля 1 января Расход электроэнергии за январь 45430 45285 145 Стоимость 1 киловатт-часа в рублях 2,9 Сумма оплаты за январь: ∙ 145 = 420,5 - В1 ДМ 2014 Цена после повышения 15 ─ 100% ─ 120% Х Х = 18 100 : 18 → 5 билетов купит на 100р Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

Слайд 6

На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимал Бахрейн, десятое место — Новая Зеландия. Какое место занимал Мозамбик? В2 1 10 ❷ ❸ ❹ ответ

Слайд 7

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке. В3 а S = a ∙ h h 2 3 = 6 з абыли формулу… формула площади параллелограмма квадрат 3 3 S кв. = 9 S ∆ = 1 ½ ∙ 3 ∙ 1 их два S ∆ = 3 S = 6 ДМ 2014 A B D C E G H F диагональ 10 E G H F средняя линия 5 РОМБ периметр 20 Середины последовательных сторон прямоугольника, диагонали которого равны 10, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

Слайд 8

Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 5% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 25% на услуги мобильного интернета. Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 600 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 200 рублей на звонки в другие регионы и 500 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме? В 4 Услуги: звонки в своём регионе звонки в другие регионы мобильный интернет была плата Скидка в % Скидка в рублях Внимательное чтение! Соответствие данных! 600 5% 200 20% 500 25% а% числа М М — 100% х — а% х = М ∙ а : 100 Или х = М ∙ 0,01а ? 600 ∙ 0,05 200 ∙ 0,02 500 ∙ 0,25 = 30 = 4 = 125 Ответ

Слайд 9

Строительная фирма планирует купить 70 м ³ пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой? Постав- щик Стоимость пеноблоков (руб. за 1м ³ ) Стоимость Доставки (руб.) Дополнительные условия A 2 6 00 руб. 10 0 00 Б 2 800 руб. 8 000 При заказе на сумму свыше 150 000 руб. доставка бесплатная В 2 700 руб. 8 000 При заказе на сумму свыше 200000 руб. доставка бесплатная ДМ 2014. В2 и 4 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с отрицательной среднемесячной температурой в 1973 году. 2 6 00 ∙70 192 0 00 2 8 00 ∙70 196 0 00 2 7 00 ∙70 197 0 00 3 2 отрицательной Ответ: 5 ответ

Слайд 10

Найдите значение выражения − 42 tg34 ⁰∙tg56⁰ + 6 В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол С равен 108⁰, угол CAD равен 8⁰. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. В5 Найдите корень уравнения log ₂ (−3x+ 13) = 8 В 6 A B C D ) ) 108 ⁰ 8 ⁰ 8 ⁰ 56 ⁰ По определению логарифма 2 8 = − 3х + 13 256 = − 3х + 13 3х = 13− 256 3х = − 243 х = − 81 корень единственный ответ показатель степени чертёж работает 16 ⁰ Сумма углов треугольника 180 ⁰ Угол В 180 ⁰ − (108 ⁰ + 16⁰ ) В7 углу к одному − 42 tg34⁰∙tg ( 90 ⁰ − 34 ⁰) + 6 = − 42 tg34 ⁰ ∙ ТФ меняем с tg34 ⁰ = I четв + = 1 − 42 Ф. приведения

Слайд 11

ДМ 2014 - В5 ДМ 2014 - В 6 ДМ 2014 - В7 Найдите корень уравнения log₃( х – 3) = 2. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен 32⁰ Найдите sin α , если cos α =0,6 и π< α <2 π . log₃( х–3) = 2 показатель степени логарифм х–3 3 2 = х–3 9 = х–3 х = 12 ● О А В С 32 ⁰ ? Угол ВАС вписанный Угол ВОС центральный углы опираются на одну дугу дуга АВ 64⁰ 64⁰ Косинус и синус связаны тождеством! sin² α + cos² α = 1 sin² α +0,36 = 1 sin² α = 0,64 sin α = ± 0, 8 π< α <2 π III и IV четв. sin α < 0 ─ 0, 8 64⁰ В 9 new

Слайд 12

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀ . Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀ . В8 1. Через точку уровнем ниже параллельно оси ОХ 2. Через точку уровнем выше параллельно оси ОУ 3. Треугольник 4. Угол наклона касательной к положительному направлению ОХ α 5. f ´ (x) = tg α π - α 6. tg( π - α )= по определению 10 8 10 : 8 = 1,25 7 . tg( π - α )= − = − 1,25 Геометрический смысл Ф. приведения = − 1,25 ТФ Не меняем II четв − На прямой ● ● tg α

Слайд 13

B8 № 500248. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x) . На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂,…x₉ . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек. ДМ 2014 – В 8 Внимательно читаем f ’ (x) < 0 там. где f(x) убывает Точки, принадлежащие этим промежуткам ● ● ● Ответ: 3 Почему не берём х₃ и х₆ ? ● ● Точки экстремума! f ’ (x) = 0 В 9 new

Слайд 14

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А,В,С,С ₁ правильной треугольной призмы А В С А ₁ В ₁ С ₁ , , площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6. Высота конуса равна 16, а длина образующей равна 34. Найдите диаметр основание конуса. В 9 В 1 1 11 чертёж работает 16 34 R D = 2R ▪ т. Пифагора R² = 34² − 16² = Рациональный счёт ! ( 34 − 16 ) ∙ ( 34 + 16 )= 18 ∙ 50 = 900 R = 30 D = 60 А В С А ₁ В ₁ С ₁ • • • • S ABC = 7 6 Пирамида основание высота, так как призма правильная V C₁ABC = ⅓ S ABC ∙ CC₁ = 14

Слайд 15

ДМ 2014 – В 9 ДМ 2014 – В 11 Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания которого равен 3, а образующая равна 5. А М В О 3 5 А М В О вынесенный чертёж 3 5 S сеч = S ∆ AMB = ¹⁄₂ AB∙MO = 6 MO т. Пифагора = 4 4 12 Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в три раза больше, радиус основания в два раза меньше, чем у второго. Найдите объём второго цилиндра. V₁ = 12 V = π R ² H R H π R H ² = 12 3H R 2 R 2 π ( ) ² 3H = π R 4 ² 3 H = внимание! 12 ∙ 3 4 = 9 V ₂ - та же формула со своими R и H !

Слайд 16

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см . На какой высоте будет находиться уровень жидкости , если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см. В10 new Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2 . Най - дите образующую конуса В1 3 new 16 R 2R сохраняется π R ² H V = = π ( 2 R ) ² Х 16 4 R ² = Х 16 4 Х = 4 R ² π = π Х x ● 10√2 10√2 т. Пифагора L = 20

Слайд 17

ДМ 2014 – В10 В 10 В сборнике билетов по истории всего 5 0 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса про Александра Второго. Вероятностью p события А отношение , к общему числу n случаев. благоприятных этому числа m случаев, событию m p( A ) = ― называется n общее число случаев n всего билетов 50 благоприятных - не достанется 50 - 13 37 Вероятность p события 37 ― 50 = 0,74 В сборнике билетов по биологии всего 2 5 билетов, в 2 из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах. 25 25 - 2 23 23 ― 25 = 0,92 В 6 new

Слайд 18

В 12 При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f₀ = 120 Гц и определяется следующим выражением: Гц), где с – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 14 м/с и v = 11 м/с - скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 125 Гц? ≥ 125 решим неравенство подставим 12 0 ∙ с + 14 с − 11 ≥ 125 │:5 24 ∙ с + 14 с − 11 ≥ 25 24 ∙ с + 14 с − 11 − 25 ≥ 0 В одну часть к общему знаменателю 24 ( с + 14) с − 11) − 25 ( ≥ 0 с − 11 с − 11 -с + 611 ≥ 0 с−11 -(с-611) ≥ 0 с−11 с-611 ≤ 0 к методу интервалов метод интервалов 11 611 /////////// Ответ: 611

Слайд 19

ДМ 2014 – В12 Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сиг - нала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м /c ) и частоты связаны соотношением v = c ∙ , где с = 1500 м/с – скорость звука в воде, f₀ - частота испускаемого сигнала (в МГц), f - частота отражённого сиг - нала (в МГц), Найдите частоту отражённого сигнала, если батискаф погружается со скоростью 2 м/с. f - f ₀ f + f ₀ f - f₀ f + f₀ v = c∙ = 2 f - f₀ f + f₀ c ∙ = 2 f - f₀ f + f₀ c ∙ 1500 ∙ f - 749 f + 749 = 1 f - 749 f + 749 750 ∙ I : 2 по правилу пропорции 750 ( f − 749) = f + 749 f = 751 f ₀ 750 f − 749 ∙750 = f + 749 7 49 f = 749 ∙750 + 749 7 49 f = 749 ( 750 + 1) решение! Кликнуть после самостоятельного решения! В1 2 new

Слайд 20

В 1 3 Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать таких же рубашек дороже куртки? Пусть куртка – 100% То 9 рубашек – 90% 1 рубашка – 10% 11 рубашек – 110% Дороже на – 10% В 1 4 Найти наименьшее значение функции y = 56cos x + 59x + 42 на отрезке [ 0; ³̸₂ π ]. ОДЗ у ( х ) Производная у ’ ( х ) Уравнение у ’ ( х ) = 0 Общий алгоритм решения: (- ∞; + ∞) y ’(x) = -56sinx + 59 -56sinx + 59 = 0 -56sinx = - 59 sinx = 59/56 > 1 Ø Находим: у(0) = у( ³̸₂ π ) = 98 59∙³̸₂ π + 42 Не для бланка ответов ответ! Можно проще! > 0 -1 ≤ sinx ≤ 1 у( x ) - возрастает у(0) = 98

Слайд 21

/////////// //////// /////////// Найдите точку максимума функции y = ln(x+4) ² + 2 х + 7 В1 5 new ОДЗ у(х) Производная у ’(х) Уравнение у ’(х) = 0 На числовой прямой Х Общий алгоритм решения: С производной - а) знаки производной - б) монотонность - точка экстремума без [ ; ] в заданиях без [ ; ] х ≠ −4 y = ln(x+4)² + 2 х + 7 y = 2 ln(x+4) + 2 х + 7 y ′ = 2 1 x+4 ( x+4 ) ′ + 2 y ′ = 2 x+4 + 2 =1 y ′ = x+4 2х+10 x+4 2х+10 = 0 -5 -4 -5 -4 метод интервалов точка «мах» Ответ: -5

Слайд 22

ДМ 2014 – В13 № 500253 y - собственная скорость катера, Весной катер идёт против течения реки в 1⅔ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт про- тив течения в 1½ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). Весна Лето по течению против теч. Тогда летом скорость составит Пусть x - скорость течения реки весной . Составим таблицу по данным задачи: у + х у − х х + у − 1 х − у + 1 Решение: у ˃ х х ˃ 1 5/3 3/2 (х−1) ; Система: у + х у − х = 5/3 у + х -1 у − х +1 = 3 / 2 по правилу пропорции 3( у + х ) = 5( у - х ) 2( у + х -1 ) = 3( у - х + 1 ) 3 у + 3 х = 5 у - 5 х 2 у + 2 х -2 = 3 у - 3 х + 3 у = 4 х у = 5 х − 5 х = 5 y = 5 0 х = 5 в км/ч Весной по течен. быстрее Летом по течен. быстрее Данной задачи нет в банке заданий ЕГЭ. Уровень слож- ности выше базового. Но попала в ДМ! ? Информация к размышлению… В1 4 new

Слайд 23

ДМ 2014 – В14 Найдите наименьшее значение функции у = (х − 1) е ͯ на отрезке [-1;1] ОДЗ у ( х ) Производная у ’ ( х ) Уравнение у ’ ( х ) = 0 Общий алгоритм исследования функции на отрезке [ ; ] Значения функции на концах отрезка и в точках отрезка - наибольшее (наименьшее) значение функции Точки, принадлежат отрезку (- ∞; + ∞) у ΄ (х) = (х −1) ΄ + х ∙ е (х −1) х ∙( е ) ΄ = х = е + (х −1) х ∙ е х = е ( 1 + х −1). х е ∙ х = 0 ≠ 0 х = 0 х = 0 Є [ −1;1] y(0) = y(-1) = y(1) = произведения подставляем −е⁰ = −1 −2е ⁻¹ = −2 ∙ ¹/е 0

Слайд 24

C1 а) Решите уравнение sin2x = √2 sin ( ½ π – x). б) найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ ⁵̸₂ π ; ⁷̸₂π ]. sin (½ π – x) = Формула приведения ТФ меняем I четв. + cos x sin2x = синус двойного угла 2 sinx cosx 2 sinx cosx = √2 cos x 2 sinx cosx - √2 cosx = 0 в одну часть cosx выносим cosx (2 sinx -√2 = 0 произведение равно нулю cosx = 0 2 sinx -√2 = 0 → Sinx = √2/2 Формулы корней π ̸₂ π 3 π ̸₂ 2 π 0 По определению ТФ ● ● x ₁ = x ₂ = π ̸₂ +2 π n , n ϵ Z - π ̸₂ +2 π n , n ϵ Z ● √2/2 ● ● синус какого угла равен √2/2 ? π ̸ ₄ - π ̸ ₄ +2 π k , k ϵ Z +2 π k , k ϵ Z x ₃ = x ₄ = π ̸ ₄ - π ̸ ₄ К двойным неравенствам π ̸₂ +2 π n +2 π k π ̸ ₄ +2 π k - π ̸ ₄ - π ̸₂ +2 π n ⁵̸₂ π ≤ ≤ ⁷̸₂π ⁵̸₂ π ≤ ≤ ⁷̸₂π ⁵̸₂ π ≤ ≤ ⁷̸₂π ⁵̸₂ π ≤ ≤ ⁷̸₂π : π

Слайд 25

К двойным неравенствам π ̸₂ +2 π n - π ̸₂ +2 π n ⁵̸₂ π ≤ ≤ ⁷̸₂π ⁵̸₂ π ≤ ≤ ⁷̸₂π : π ¹ ̸₂ +2 n ⁵̸₂ ≤ ≤ ⁷̸₂ ǀ∙2 5 ≤ 1 + 4n ≤ 7 ǀ-1 4 ≤ 4n ≤ 6 ǀ:4 1 ≤ n ≤ 1,5 +2 π k π ̸₄ +2 π k - π ̸₄ ⁵̸₂ π ≤ ≤ ⁷̸₂π ⁵̸₂ π ≤ ≤ ⁷̸₂π : π n = 1 ⁵̸₂ π - ¹ ̸₂ +2 n ⁵̸₂ ≤ ≤ ⁷̸₂ ǀ∙2 5 ≤ -1 + 4n ≤ 7 ǀ+1 6 ≤ 4n ≤ 8 ǀ:4 1,5 ≤ n ≤ 2 n = 2 ⁷/ ₂ π +2 k ¹ ̸₄ ⁵̸₂ ≤ ≤ ⁷̸₂ ǀ∙4 10 ≤ 1 + 8k ≤ 14 ǀ-1 9 ≤ 8k ≤ 13 ǀ:8 1,… ≤ k ≤ 1,.. k – целых нет +2 k - ¹ ̸₄ ⁵̸₂ ≤ ≤ ⁷̸₂ ǀ∙4 10 ≤ -1 + 8k ≤ 14 ǀ + 1 11 ≤ 8k ≤ 1 5 ǀ:8 1,… ≤ k ≤ 1 ,.. k – целых нет Ответ: а) ± π ̸₂ +2 π n ; +2 π k ; n, k ϵ Z ± π ̸ ₄ б) Корни, принадлежащие отрезку [⁵̸₂ π ; ⁷̸₂π ] ⁵̸₂ π , ⁷/ ₂ π Самостоятельно

Слайд 26

В правильной четырёхугольной призме АВСДА ₁ В ₁ С ₁ D ₁ сторона основания равна 28, а боковое ребро АА ₁ = 3. Точка Q принадлежит ребру C ₁ D ₁ и делит его в отношении 3 : 4 , считая от вершины C ₁ . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A , C и Q . C1 A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ A B C D Q 28 3 3 k 4 k сечение Q Т II AC T H 16 12 P 16 ● 12 A C Q T ▪ H 28 √ 2 16 √ 2 6 √ 2 ? S - ? ∆QPC QC = √ 153 √ 153 ∆ATH TH = 9 S = 198 √ 2 по формуле т. Пифагора ∆ ADC и ∆ AD₁C₁ Р Q C 3 k + 4 k = 28

Слайд 27

////////////////////////////// ////////////////////////////// ////////////////////////////// ///////////////////// ////////////////////////// ////////////////////////////// C3 Решите систему неравенств log 3-x (x-3)⁴ x ≥ 4 x²-12x+10 x - 1 + x²-5x+5 x - 5 ≤ 2x-11 I. ОДЗ (x-3)⁴ > 0, при всех х ≠ 3, то x > 0, 3-x > 0, 3-x ≠ 1, x - 1 x - 5 ≠ 0, ≠ 0. > 0 x < 3 , x ≠ 2, x ≠ 1, x ≠ 5. 3 0 3 2 1 5 x ϵ (0;1) ∩ (1;2) ∩ (2;3)

Слайд 28

II. Первое неравенство log 3-x (x-3)⁴ x ≥ 4 log 3-x (x-3)⁴ x log 3-x (x-3)⁴ ≥ 0 4 – логарифм с основанием (3-х) и – влево ─ как логарифм частного log 3-x (x-3)⁴ x (x-3)⁴ ≥ 0 log 3-x x 1 ≥ 0 0 – логарифм с основанием (3-х) log 3-x x 1 ≥ log 1 3-x //////////// //////// log 3-x x 1 ≥ log 1 3-x «Красивая» формула > ˂ − (a-1)(x-y) > ˂ − 0 x 1 - 1 ( ) ( ) 3 - x - 1 ≥ 0 Продолжение ( ) 2 - x x 1 - х ≥ 0 x ( x – 2) ( x – 1) ≥ 0 к методу интервалов метод интервалов 0 1 2 x ϵ (0; 1 ] ∩ ( 2 ; + ∞) +

Слайд 29

Решить неравенство x²-12x+10 x - 1 x²-5x+5 x - 5 ≤ 2x-11 В одну часть, к общему знаменателю Но рациональнее! К выделению целой части! x²- x x - 1 -10 x +10 - x = x - 1 x (х - 1) -10( x -1) - x = x -10 - x - 1 x x²-5x+5 x - 5 = x - 5 x (х - 5) +5 = x + x - 5 5 x -10 - x - 1 x + x + x - 5 5 ≤ 2x-11 x - 5 5 + 1 ≤ 0 (x – 5)(x ‒1) 5 x - 5 - х²+ 5 х +x² - 6x+5 ≤ 0 (x – 5)(x ‒1) 4 x ≤ 0 + /////// //////////// Метод интервалов 1 Ответ: x ϵ ( - ∞ ;0] U (1;5) 29 4 = 28 4 + 1 = 7 + 1 4 * Выделить целую часть * Из 29 выдели ближайшее целое , которое делится на 4 величину (29) сохраняем делим на 4 7 a) б ) 37 π 6 = 6 π ‒ π 6 Ваш ответ «Искусственный» от слова приём решения ИСКУССТВО Выделение целой части Слагаемые разбить на подобные, чтобы сгруппировать и разложить на множители и ДЕЛИТЬ! В копилку знаний, умений и навыков! - x - 1 x 5 0

Слайд 30

//////////// /////////// 1 -е неравенство 0 1 2 x ϵ (0; 1 ] ∩ ( 2 ; + ∞) /////// ///////////////// 2-е неравенство 1 5 0 x ϵ ( - ∞ ;0] U (1;5) Выбор ответа системы - технология Ответ: x ϵ [2;5)

Слайд 31

Окружности радиусов 13 и 20 с центрами О₁ и О₂ соответственно касаются внешним образом в точке С. АО₁ и ВО₂ - параллельные радиусы этих окружностей, причём угол АО₁О₂ равен 60⁰. Найдите АВ. ● ● О₁ ● О₂ С 60 ⁰ А В ? 13 20 ВО₂ - параллельно АО ₁ 120⁰ К 33 13 7 Угол АКВ = Проведём АК II O ₁ O ₂ → ∆ А B К всё о нём: 120⁰ т. косинусов для АВ АВ ² = АК ² + ВК ² ‒ 2АК ∙ ВК ∙ со s АКВ АВ² = 1089 + 49 ‒ 2 ∙ 33 ∙ 7 ∙ ( ‒ 0,5) = 1369 АВ = 3 7 Случай 2 ● О₁ 60 ⁰ А ● ● О₂ С 13 20 ВО₂ - параллельно АО ₁ В ? 60 ⁰ 60⁰ 60⁰ 60⁰ 60⁰ Треугольники правильные АВ = 3 3 ЕГЭ 2013 - Сибирь Окружности радиусов 1 1 и 2 1 с центрами О₁ и О₂ соответственно касаются внутренним образом в точке С. МО₁ и КО₂ - параллельные радиусы этих окружностей, причём угол МО₁О₂ равен 120⁰. Найдите МК. ● ● ● O₂ O₁ M ● R 29 «ИЩИ ∆» « удачно » дострой ! 13 20 C4

Слайд 32

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x² + (a - 3)² = |x + 3 – a| + |x + a – 3| имеет единственный корень. C5 x² + (a - 3)² = |x – (a – 3)| + |x + (a – 3)| Запишем уравнение Исследуем уравнение, введя t = a – 3 x² + t ² = |x – t | + |x + t | y ₁ графическая модель ситуации у ₂ y ₃ парабола «уголки» – t t ● ● y ₃ у ₂ ● Единственное решение при х = 0 подставим (a - 3)² = |a – 3| + |a – 3| Продолжим исследование От модуля 1) a = 3 Подставим в данное уравнение х ² = |x| + |x| х ² = 2 |x| | х |² - 2 |x| = 0 |x| (| х | - 2 ) = 0 x=0, x = 2, x = -2, Три корня 2) a < 3 (a - 3)² = - a + 3 - a + 3 a² - 6а +9 = -2а + 6 a² - 4а + 3 = 0 3 и 1 2) a > 3 a² - 6а +9 = a - 3 + a - 3 a² - 8а + 15 = 0 3 и 5 Ответ: 1 и 5

Слайд 33

//////////////////////////////// Найти все значения а , при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 2ax + | x² - 8x + 7 | больше 1. С5 ДМ 2014 NEW ● 1 ● 7 промежутки х < 1 1 ≤ х < 7 х ≥ 7 От модуля /////////////// / ////////////////// //////////////////////////////////// f(x)=2ax+x²-8x+7 f(x)=2ax-x²+8x-7 f(x)=2ax+x²-8x+7 f(x)=x²+2(a-4)x+7 f(x)=-x²+2(a+4)x-7 f(x)=x²+2(a-4)x+7 ветви вверх Наименьшее в Х верш. Х верш.= -b/2a .= -a+4 f( Х верш. ) = ● -a ² + 8а - 9 -a+4 < 1 -a²+ 8а-10 > 0 К условию a > 3 4-√6 < a < 4+ √ 6 вниз 3 ≤ a < 4+ √ 6 знаки подмодуля ● ● ● ● 1 1 7 a+4 f( 1 ) > 1 f( 7 ) > 1 f( a+4 ) > 1 a > ½ a > ¹ / ₁₄ К условию 1 ≤ a+4 < 7 -3 ≤ a < 3 ( a+4)² > 8 a < -4-2√2 и a > -4+2√2 ¹̷₂ < a < 4+√6 парабола ¹̷₂ ////////////// -3 3 ////////////// 3 4+√6 ////////// 4-√6 -a+4 ≥ 7 -a²+ 8а-10 > 0 a ≤ 3 a< 4- √ 6 и a> 4+ √ 6 a< 4- √ 6 вверх Ia+4I>2√2