обобщенный метод интервалов

«НЕРАВЕНСТВА. МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ»

       При подготовке учащихся к итоговой аттестации в форме и по материалам ЕГЭ необходимо вырабатывать навыки решения неравенств. Существует много методов их решения. Ученики не всегда могут правильно определить,  каким именно способом наиболее рационально решать конкретное неравенство.

Обобщенный метод интервалов наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Поэтому именно ему я отдаю предпочтение, вместе с тем рассматриваю и другие методы и не ограничиваю своих учеников в их выборе.

Схема решения выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.
2. Найти область определения функции
3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение  (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)
4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
5. Определить знаки функции  на полученных интервалах.
6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Решим неравенство:

Рассмотрим функцию:

Нули функции: .

Точка разрыва функции: .

Эти четыре точки разбивают числовую прямую на пять промежутков:

.

Нам надо было решить неравенство .

Ответ можно записать двумя способами:

1) ;

2) .

Пример 1: Решить неравенство:

Рассмотрим функцию

Отметим на координатной прямой  закрашенными точками нули функции, т.е. точки -6; -2; 1; 3 и незакрашенными кружочками точки разрыва этой функции, т.е. точки 0 и 7. Обратим внимание, что точки -2 и 0 являются двойными. Расставим знаки по рассмотренному правилу и отберём промежутки, где .

Ответ: .

Пример 2:

Приведём неравенство к виду позволяющему применить метод интервалов:

 при любых значениях х, поэтому последнее неравенство равносильно неравенству:

Ответ: ; ; .

Пример 3:

Рассмотрим функцию (обязательно надо обращать внимание на то, что метод основан именно на знакопостоянстве функции в отдельных промежутках):

Нули функции: -6; --2; 1; 3.

Точки разрыва функции: 0; 7.

Ответ: .

.

Ответ: .

Пример 4:

Приведём неравенство к виду, позволяющему применить метод интервалов:

Сократив дробь на  при условии, что , получим систему, равносильную последнему неравенству.

Неравенство системы решим методом интервалов:

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что число х=6 исключаем из уже найденного решения неравенства системы.

Ответ:.

а) Рациональные неравенства

Пример 1. Вычислите сумму всех целых решений неравенства:

.

,

,

Выпишем и найдём сумму всех целых решений неравенства: .

Ответ: 12.

Пример 2. Найти количество всех целых решений неравенства: , принадлежащих промежутку .

,

,

Целые решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: -3; 1.

Ответ: 2.

б) Общий метод решения неравенств, где любая алгебраическая или трансцендентная функция (метод интервалов).

Пример 1:  

Найти число целых решений неравенства.

Рассмотрим функцию:

1.  

2.  при  посторонний корень, т.к.

,

, ;

 при .

Целые решения неравенства: -3;-2;-1;0;1.

Ответ: 5.

Пример 2: .

ОДЗ:                   .

.

Рассмотрим функцию:

Найдём нули функции: , (*)

Имеем  посторонний корень уравнения (*).

Нуль функции:

, , ;

 при .

Ответ: , .

Пример 3: Решить неравенство .

Рассмотрим функцию:

Найдём область определения функции, решив систему:

Нули функции: , , , .

 при .

Ответ: .

Пример 4: .

ОДЗ:         

Учитывая ОДЗ, сократим дробь в левой части неравенства на выражение .

Рассмотрим функцию:

Нули функции: , , .

Точки разрыва учтены в ОДЗ неравенства.

Ответ: .

Пример 4: .

Рассмотрим функцию: .

        .

Нули функции: , , т.к.

; .

 при , .

Ответ: ; .