Олимпиады

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

2012/2013 учебный год

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь  равна целому числу.
2. Решить уравнение .
3. Известно, что в ABC  ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.
4. Решить систему неравенств:
5. Делится ли  на 61?
6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?
7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

2012/2013 учебный год

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь  равна целому числу.
2. Решить уравнение .
3. Известно, что в ABC  ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.
4. Решить систему неравенств:
5. Делится ли  на 61?
6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?
7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

2012/2013 учебный год

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь  равна целому числу.
2. Решить уравнение .
3. Известно, что в ABC  ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.
4. Решить систему неравенств:
5. Делится ли  на 61?
6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?
7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

   ---

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2012/2013 учебный год

1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.
2. Найдите все решения уравнения: .
3. Вычислить без таблиц:
4. Определить числа а и b так, чтобы многочлен  делился без остатка на многочлен .
5. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.
6. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?
7. Найти значение выражения:  при .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2012/2013 учебный год

1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.
2. Найдите все решения уравнения: .
3. Вычислить без таблиц:
4. Определить числа а и b так, чтобы многочлен  делился без остатка на многочлен .
5. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.
6. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?
7. Найти значение выражения:  при .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2012/2013 учебный год

1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.
2. Найдите все решения уравнения: .
3. Вычислить без таблиц:
4. Определить числа а и b так, чтобы многочлен  делился без остатка на многочлен .
5. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.
6. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?
7. Найти значение выражения:  при .

   ---

Решения 10 класс

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь  равна целому числу.

Решение.  – целое число, если  – целое, т.е. .

При   , значит  не выполняется.

При   , значит  не выполняется.

При   , значит  не выполняется.

При   , значит  выполняется.

При   , значит  не выполняется.

И т.д.

При   , значит  выполняется.

Ответ. 4 и 21.

2. Решить уравнение .

Решение. I способ. Обозначив , где , получим , откуда , ( – не подходит). Далее, решая , получим уравнения  и  (не имеет действительных корней), находим из первого уравнения .

Ответ. .

3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

Решение. Проведем биссектрису AD. Тогда ∠1 = ∠2 = ∠3. В ADC  AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что ABD ~ ABC по двум углам (∠В – общий, ∠1 = ∠3).

Из подобия имеем: ,

или .

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, получим  откуда , тогда  значит АВ = 4см, ВС = 6см.

II способ. Указание: применить теорему синусов.

Ответ. AB = 4см, ВС = 6см.

4. Решить систему неравенств:

Решение.

Ответ: 0 < x < 1.

5. Делится ли  на 61?

Решение. Разложить заданное число на множители. Тогда, получим    – делится на 61.

6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?

Решение. I способ:

Пусть  откуда  тогда согласно т. Виета имеем:  .

Составим систему уравнений

 откуда получим .

II способ:

 где , тогда

решая последнее, получим .

Ответ: .

7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Решение.  откуда

, получили систему:

Т.к. прогрессия возрастает, то  следовательно,

 – формула n-ого члена а.п.

Ответ: .

Решения 11 класс

1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.

Решение. По условию задачи точка N – середина DC.

Известно, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную  другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскость сечения пересечет основания А1В1C1D1 и ABCD по параллельным отрезкам. Проведем BD, BD  B1D1.

Из точки N проводим MN ∥BD, значит MN ∥B1D1. Соединим точки B1 и М, D1 и N, тогда B1D1NM – искомое сечение. Таким образом, в четырехугольнике B1D1NM имеем B1D1 ∥NM, значит B1D1NM – трапеция (по определению).

2. Найдите все решения уравнения: .

Решение. 

Ответ: 

3. Вычислить без таблиц:

Решение. Поскольку  то

 имеем:

Ответ: 1,5.

4. Определить числа а и b так, чтобы многочлен  делился без остатка на многочлен .

Решение. 

Ответ: 1) а = –7, b = –1; 2) a = –12, b = –2.

5. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.

Решение. Пусть сторона квадрата –  тогда   , . В равнобедренном треугольнике по теореме косинусов найдем косинус угла ACB. .

Следовательно,

Ответ: 

6. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

Решение. Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

7. Найти значение выражения:  при .

Решение. 

Если , то .

Ответ: –2002.

Школьная олимпиада  по информатике 2013–2014 уч. года

1. (10 баллов) На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Алексей, Егор, Виктор и Михаил. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Токарь, Столяр, Хирург и Окулист, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что: 1) Токарь живет левее Столяра 2) Хирург живет правее Окулиста 3) Окулист живет рядом со Столяром 4) Токарь живет не рядом со Столяром 5) Виктор живет правее Окулиста 6) Михаил не Токарь 7) Егор живет рядом со Столяром 8) Виктор живет левее Егора Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Константин, Николай, Роман и Олег, ответ был бы: КНРО

2.  (15 баллов) В программе используется одномерный целочисленный массив A с индексами от 0 до 10. Ниже представлен фрагмент программы, записанный на разных языках программирования, в котором значения элементов сначала задаются, а затем меняются.

  Чему будут равны элементы этого массива после выполнения фрагмента программы?

3.  (20 баллов)

4.  (20 баллов) Проверить, поместится ли на диске компьютера музыкальная композиция, которая длится m минут и n секунд, если свободное дисковое пространство 6 мегабайт, а для записи одной секунды звука необходимо 16 килобайт (записать программу на одном из языков программирования).

5. (20 баллов ) На координатной плоскости своими действительными координатами (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) задан выпуклый четырехугольник. Если он является параллелограммом, найти площадь той его части, которая расположена во второй координатной четверти.

Пример работы правильной программы
Введите координаты вершин четырехугольника
–2 3 2 3 2 –3 –3 –4
Четырехугольник не является параллелограммом
Введите координаты вершин четырехугольника
–5 –2 1 4 5 4 –1 –2
Четырехугольник является параллелограммом
Искомая площадь 4.5

6. (20 баллов) На одном из секретных заводов осуществляется обработка радиоактивных материалов, в результате которой образуются радиоактивные отходы двух типов: типа A — особо опасные и типа B — неопасные. Все отходы упаковываются в специальные прямоугольные контейнеры одинаковых размеров, после чего эти контейнеры укладываются в стопку (один над другим) для захоронения. Стопка является взрывоопасной, если в ней подряд идут более чем два контейнера с отходами типа A.

Требуется написать программу, которая подсчитывает количество возможных вариантов формирования взрывоопасной стопки для заданного числа контейнеров N.

Технические требования:

Имя входного файла: INPUT.TXT

Имя выходного файла: OUTPUT.TXT

Формат входных данных:
единственная строка входного файла содержит целое число N — количество контейнеров в стопке (1 <= N <= 31).

Формат выходных данных:
в единственной строке выходного файла должно содержаться искомое количество вариантов взрывоопасных стопок.

Пример файла входных данных:
4

Пример файла выходных данных (для приведенного выше входного файла):
3